9. (2025·徐州期末)如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=5,E为BC上的点.将△ABE沿AE折叠,使点B落在长方形内的点F处.连接DF,已知DF=3.
(1)求证:△ADF为直角三角形;
(2)求线段BE的长.
(1)求证:△ADF为直角三角形;
(2)求线段BE的长.
答案：9.(1)$\because$将$△ ABE$沿$AE$折叠,使点$B$落在长方形内的点$F$处,$AB=4$,$\therefore AB=AF=4$.
在$△ ADF$中,$AD=5$,$DF=3$,且$3^2+4^2=5^2$,
$\therefore FD^2+AF^2=AD^2$,$\therefore △ ADF$是直角三角形.
(2)由(1)知$∠AFD=90°$,设$BE=x$,则$EF=x$. 根据折叠可知$∠AFE=∠B=90°$. 又$∠AFD=90°$,$\therefore ∠DFE=180°$,$\therefore D,F,E$三点在同一条直线上,$\therefore DE=3+x$,$CE=5-x$,$DC=AB=4$,
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中,根据勾股定理,得$DE^2=DC^2+EC^2$,
$\therefore (3+x)^2=4^2+(5-x)^2$,解得$x=2$,$\therefore BE$的长为2.
在$△ ADF$中,$AD=5$,$DF=3$,且$3^2+4^2=5^2$,
$\therefore FD^2+AF^2=AD^2$,$\therefore △ ADF$是直角三角形.
(2)由(1)知$∠AFD=90°$,设$BE=x$,则$EF=x$. 根据折叠可知$∠AFE=∠B=90°$. 又$∠AFD=90°$,$\therefore ∠DFE=180°$,$\therefore D,F,E$三点在同一条直线上,$\therefore DE=3+x$,$CE=5-x$,$DC=AB=4$,
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中,根据勾股定理,得$DE^2=DC^2+EC^2$,
$\therefore (3+x)^2=4^2+(5-x)^2$,解得$x=2$,$\therefore BE$的长为2.
10. 类比法 新考法 探究规律 寻求某些勾股数的规律.
(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后,就得到了一组新的勾股数.例如:$3^2 + 4^2 = 5^2$,若把它扩大2倍、3倍,就分别得到$6^2 + 8^2 = 10^2$和$9^2 + 12^2 = 15^2$,…,若把它扩大11倍,就得到
(2)对于任意一个大于1的奇数,存在下列勾股数:
若勾股数为3,4,5,因为$3^2 = 5^2 - 4^2$,则有$3^2 = 4 + 5$;
若勾股数为5,12,13,则有$5^2 = 12 + 13$.
①若勾股数为7,24,25,则有
②若勾股数为17,$a$,$b$($17 ＜ a ＜ b$),根据以上的规律,求$a$,$b$的值.
(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后,就得到了一组新的勾股数.例如:$3^2 + 4^2 = 5^2$,若把它扩大2倍、3倍,就分别得到$6^2 + 8^2 = 10^2$和$9^2 + 12^2 = 15^2$,…,若把它扩大11倍,就得到
$33^2+44^2=55^2$
,若把它扩大$n$倍($n$为正整数),就得到$(3n)^2+(4n)^2=(5n)^2$
;(2)对于任意一个大于1的奇数,存在下列勾股数:
若勾股数为3,4,5,因为$3^2 = 5^2 - 4^2$,则有$3^2 = 4 + 5$;
若勾股数为5,12,13,则有$5^2 = 12 + 13$.
①若勾股数为7,24,25,则有
$7^2=25+24$
;②若勾股数为17,$a$,$b$($17 ＜ a ＜ b$),根据以上的规律,求$a$,$b$的值.
答案：10.(1)$33^2+44^2=55^2$ $(3n)^2+(4n)^2=(5n)^2$
[解析]$\because 3,4,5$分别扩大11倍得到33,44,55,$\therefore 33^2+44^2=55^2$. 又3,4,5分别扩大$n$倍得到$3n,4n,5n$,$\therefore (3n)^2+(4n)^2=(5n)^2$.
(2)①$7^2=25+24$
②$3^2=5^2-4^2$,$3^2=4+5$,$5^2=13^2-12^2$,$5^2=12+13$,$7^2=25^2-24^2$,$7^2=49=24+25$,$···$,以此类推,$(2n+1)^2=m+m+1$,$(2n+1)^2=(m+1)^2-m^2$($m,n$都为正整数),$\therefore 17^2=a+b$,$b=a+1$,$\therefore 17^2=289=2a+1$,$\therefore a=144$,$\therefore b=a+1=145$.
[解析]$\because 3,4,5$分别扩大11倍得到33,44,55,$\therefore 33^2+44^2=55^2$. 又3,4,5分别扩大$n$倍得到$3n,4n,5n$,$\therefore (3n)^2+(4n)^2=(5n)^2$.
(2)①$7^2=25+24$
②$3^2=5^2-4^2$,$3^2=4+5$,$5^2=13^2-12^2$,$5^2=12+13$,$7^2=25^2-24^2$,$7^2=49=24+25$,$···$,以此类推,$(2n+1)^2=m+m+1$,$(2n+1)^2=(m+1)^2-m^2$($m,n$都为正整数),$\therefore 17^2=a+b$,$b=a+1$,$\therefore 17^2=289=2a+1$,$\therefore a=144$,$\therefore b=a+1=145$.
11. (2025·扬州中考)清代扬州数学家罗士琳痴迷于对勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，根据上述规律，写出第⑤组勾股数为
11,60,61
。答案：11. 11,60,61
[解析]通过观察得：
第①组勾股数分别为$2×1+1=3$,$2×1^2+2×1=4$,$2×1^2+2×1+1=5$;第②组勾股数分别为$2×2+1=5$,$2×2^2+2×2=12$,$2×2^2+2×2+1=13$;第③组勾股数分别为$2×3+1=7$,$2×3^2+2×3=24$,$2×3^2+2×3+1=25$;第④组勾股数为$2×4+1=9$,$2×4^2+2×4=40$,$2×4^2+2×4+1=41$;所以第⑤组勾股数为$2×5+1=11$,$2×5^2+2×5=60$,$2×5^2+2×5+1=61$.
[解析]通过观察得：
第①组勾股数分别为$2×1+1=3$,$2×1^2+2×1=4$,$2×1^2+2×1+1=5$;第②组勾股数分别为$2×2+1=5$,$2×2^2+2×2=12$,$2×2^2+2×2+1=13$;第③组勾股数分别为$2×3+1=7$,$2×3^2+2×3=24$,$2×3^2+2×3+1=25$;第④组勾股数为$2×4+1=9$,$2×4^2+2×4=40$,$2×4^2+2×4+1=41$;所以第⑤组勾股数为$2×5+1=11$,$2×5^2+2×5=60$,$2×5^2+2×5+1=61$.