1. 如图，以$Rt△ ABC$的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为$S_1$，$S_2$，若斜边AB的长为10，则$S_1+S_2$的值为（
A.8
B.32
C.64
D.100
D
）。A.8
B.32
C.64
D.100
答案：1.D
[解析]
∵以 Rt△ABC 的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为 $S_1,S_2,\therefore S_1 = BC^2,S_2 = AC^2,BC^2 + AC^2 = AB^2,\therefore S_1 + S_2$ 的值为 $AB^2=100$. 故选 D.
[解析]
∵以 Rt△ABC 的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为 $S_1,S_2,\therefore S_1 = BC^2,S_2 = AC^2,BC^2 + AC^2 = AB^2,\therefore S_1 + S_2$ 的值为 $AB^2=100$. 故选 D.
2. 分类讨论思想 一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（
A.5
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{5}$
D.5 或 $\sqrt{7}$
D
）。A.5
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{5}$
D.5 或 $\sqrt{7}$
答案：2.D
[解析]一直角三角形的两边长分别为 3 和 4. 分两种情况讨论:①由勾股定理,得第三边长$=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$;
→当直角三角形的两直角边分别为 3 和 4 时
②由勾股定理,得第三边长$=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$.
→当 4 为斜边,3 为直角边时
综上所述,第三边的长为 5 或$\sqrt{7}$. 故选 D.
[解析]一直角三角形的两边长分别为 3 和 4. 分两种情况讨论:①由勾股定理,得第三边长$=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$;
→当直角三角形的两直角边分别为 3 和 4 时
②由勾股定理,得第三边长$=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$.
→当 4 为斜边,3 为直角边时
综上所述,第三边的长为 5 或$\sqrt{7}$. 故选 D.
3. (2026·盐城东台期末)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD，AB=5，CD=$\sqrt{13}$，则$BC^2+AD^2=$
38
。答案：3. 38
[解析]
∵四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O, $AC⊥ BD$. 在 $Rt△ OBC$ 中, 由勾股定理得 $BC^2 = OB^2 + OC^2$;
在 $Rt△ OAD$ 中, 由勾股定理得 $AD^2 = AO^2 + OD^2$;
在 $Rt△ AOB$ 中, 由勾股定理得 $OB^2 + OA^2 = AB^2 = 25$;
在 $Rt△ OCD$ 中, 由勾股定理得 $OD^2 + OC^2 = CD^2 = 13$;
$\therefore BC^2 + AD^2 = OB^2 + OC^2 + AO^2 + OD^2 = (OB^2 + AO^2)+(OC^2 + OD^2)=AB^2 + CD^2 = 25 + 13 = 38$.
[解析]
∵四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O, $AC⊥ BD$. 在 $Rt△ OBC$ 中, 由勾股定理得 $BC^2 = OB^2 + OC^2$;
在 $Rt△ OAD$ 中, 由勾股定理得 $AD^2 = AO^2 + OD^2$;
在 $Rt△ AOB$ 中, 由勾股定理得 $OB^2 + OA^2 = AB^2 = 25$;
在 $Rt△ OCD$ 中, 由勾股定理得 $OD^2 + OC^2 = CD^2 = 13$;
$\therefore BC^2 + AD^2 = OB^2 + OC^2 + AO^2 + OD^2 = (OB^2 + AO^2)+(OC^2 + OD^2)=AB^2 + CD^2 = 25 + 13 = 38$.
4. (2025·盐城东台期中)如图,正方形网格的每个小方格边长均为1,△ABC的顶点在格点上.
(1)直接写出$AB^2=$
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
(1)直接写出$AB^2=$
20
, $BC^2=$5
, $AC^2=$25
;(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
答案：4.(1)20 5 25
(2)$△ ABC$ 是直角三角形. 理由如下:$\because AB^2 + BC^2 = 20 + 5 = 25 = AC^2$,$\therefore△ ABC$ 是直角三角形.
(2)$△ ABC$ 是直角三角形. 理由如下:$\because AB^2 + BC^2 = 20 + 5 = 25 = AC^2$,$\therefore△ ABC$ 是直角三角形.
5. (2025·扬州江都区期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E$在$AC$上,$CE=5$,$BC=13$,$BE=12$.
(1)判断$△ ABE$的形状,并说明理由;
(2)求线段$AB$的长.
(1)判断$△ ABE$的形状,并说明理由;
(2)求线段$AB$的长.
答案：5.(1)$△ ABE$ 是直角三角形. 理由如下:在 $△ BCE$ 中, $BE^2 + EC^2 = 12^2 + 5^2 = 13^2 = BC^2$,$\therefore△ BCE$ 是以 BC 为斜边的直角三角形,$\therefore∠ BEC = 90°$,$\therefore∠ AEB = 90°$,$\therefore△ ABE$ 是直角三角形.
(2)设 $AB = x$, 则 $AE = x - 5$, 在 $Rt△ ABE$ 中, 由勾股定理, 得 $x^2 = 12^2 + (x - 5)^2$, 解得 $x = 16.9$.
(2)设 $AB = x$, 则 $AE = x - 5$, 在 $Rt△ ABE$ 中, 由勾股定理, 得 $x^2 = 12^2 + (x - 5)^2$, 解得 $x = 16.9$.
6.如图,在$△ ABC$中,E为边AB上的一点,连接CE并延长,过点A作$AD⊥ CE$,垂足为D,若$AD=7$,$AB=20$,$BC=15$,$DC=24$.
(1)求证:$∠ B$为直角;
(2)记$△ ADE$的面积为$S_1$,$△ BCE$的面积为$S_2$,则$S_2 - S_1$的值为
(1)求证:$∠ B$为直角;
(2)记$△ ADE$的面积为$S_1$,$△ BCE$的面积为$S_2$,则$S_2 - S_1$的值为
66
.答案：6.(1)$\because AD⊥ CE$,$\therefore∠ D = 90°$. $\because AD = 7$,$DC = 24$,$\therefore AC^2 = AD^2 + DC^2 = 625$. 又 $AB = 20$,$BC = 15$,$20^2 + 15^2 = 625$,$\therefore AB^2 + BC^2 = AC^2$,$\therefore△ ABC$ 是直角三角形,且$∠ B$ 为直角.
(2)66
[解析]$\because S_1 + S_{△ ACE} = S_{△ ACD}$,$S_2 + S_{△ ACE} = S_{△ ABC}$,$\therefore S_1 = S_{△ ACD} - S_{△ ACE}$,$S_2 = S_{△ ABC} - S_{△ ACE}$,
$\therefore S_2 - S_1 = (S_{△ ABC} - S_{△ ACE}) - (S_{△ ACD} - S_{△ ACE}) = S_{△ ABC} - S_{△ ACD}$. $\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AB = \frac{1}{2} × 15 × 20 = 150$,$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} AD · CD = \frac{1}{2} × 7 × 24 = 84$,$\therefore S_2 - S_1 = 150 - 84 = 66$.
(2)66
[解析]$\because S_1 + S_{△ ACE} = S_{△ ACD}$,$S_2 + S_{△ ACE} = S_{△ ABC}$,$\therefore S_1 = S_{△ ACD} - S_{△ ACE}$,$S_2 = S_{△ ABC} - S_{△ ACE}$,
$\therefore S_2 - S_1 = (S_{△ ABC} - S_{△ ACE}) - (S_{△ ACD} - S_{△ ACE}) = S_{△ ABC} - S_{△ ACD}$. $\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AB = \frac{1}{2} × 15 × 20 = 150$,$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} AD · CD = \frac{1}{2} × 7 × 24 = 84$,$\therefore S_2 - S_1 = 150 - 84 = 66$.
7.（广东深圳中学自主招生）一个三角形三边长分别为5k，12k，13k，面积$S≤900$，满足情况的正整数k有
5
个.答案：7.5
[解析]由题意,得$(5k)^2 + (12k)^2 = (13k)^2$,
$\therefore$ 三角形为直角三角形,且两直角边分别是 $5k$,$12k$,
$\therefore S = \frac{1}{2} × 5k × 12k = 30k^2$. $\because S ≤ 900$,$\therefore 30k^2 ≤ 900$,
$\therefore k^2 ≤ 30$. 又 $k$ 为正整数,$\therefore k = 1,2,3,4,5$,
$\therefore$ 满足情况的正整数 $k$ 有 5 个.
[解析]由题意,得$(5k)^2 + (12k)^2 = (13k)^2$,
$\therefore$ 三角形为直角三角形,且两直角边分别是 $5k$,$12k$,
$\therefore S = \frac{1}{2} × 5k × 12k = 30k^2$. $\because S ≤ 900$,$\therefore 30k^2 ≤ 900$,
$\therefore k^2 ≤ 30$. 又 $k$ 为正整数,$\therefore k = 1,2,3,4,5$,
$\therefore$ 满足情况的正整数 $k$ 有 5 个.
8.在一次“探究性学习”课中，数学老师给出如表所示的数据：
(1)请你认真观察线段a,b,c的长与n之间的关系，用含n(n为自然数，且n＞1)的代数式表示：
a=
(2)猜想：以线段a,b,c为边的三角形是否是直角三角形？并说明你的结论.
(1)请你认真观察线段a,b,c的长与n之间的关系，用含n(n为自然数，且n＞1)的代数式表示：
a=
n²-1
;b=2n
;c=n²+1
.(2)猜想：以线段a,b,c为边的三角形是否是直角三角形？并说明你的结论.
答案：8.(1)$n^2 - 1$ $2n$ $n^2 + 1$
(2)是直角三角形. $\because (n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4 + 2n^2 + 1 = (n^2 + 1)^2$,
$\therefore$ 该三角形是直角三角形.
(2)是直角三角形. $\because (n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4 + 2n^2 + 1 = (n^2 + 1)^2$,
$\therefore$ 该三角形是直角三角形.