13. (2026·河南洛阳期末)已知点$P(2a-2,a+5)$在第二象限，且它到$x$轴、$y$轴的距离相等，求$a$的值.
答案：由题意,得$|2a-2|=|a+5|$,
∴$2a-2=a+5$ 或 $2a-2=-(a+5)$,
解得 $a=7$ 或 $a=-1$.
当 $a=7$ 时,$2a-2=12$,不符合题意,舍去;
当 $a=-1$ 时,$2a-2=-4$,符合题意.
故 $a$ 的值为$-1$.
∴$2a-2=a+5$ 或 $2a-2=-(a+5)$,
解得 $a=7$ 或 $a=-1$.
当 $a=7$ 时,$2a-2=12$,不符合题意,舍去;
当 $a=-1$ 时,$2a-2=-4$,符合题意.
故 $a$ 的值为$-1$.
14. (2026·安徽宣城期末)已知平面直角坐标系中一点$P(a+2,2a-2)$；
(1)当点$P$在$x$轴上时，求点$P$的坐标；
(2)当点$P$到两坐标轴的距离相等时，求$a$的值。
(1)当点$P$在$x$轴上时，求点$P$的坐标；
(2)当点$P$到两坐标轴的距离相等时，求$a$的值。
答案：(1)根据题意可知,$2a-2=0$,解得 $a=1$,
∴$a+2=3$,即点 P 的坐标为$(3,0)$.
(2)根据题意,得$|a+2|=|2a-2|$,
∴$a+2=2a-2$ 或 $a+2+2a-2=0$,
解得 $a=4$ 或 $a=0$.
∴$a+2=3$,即点 P 的坐标为$(3,0)$.
(2)根据题意,得$|a+2|=|2a-2|$,
∴$a+2=2a-2$ 或 $a+2+2a-2=0$,
解得 $a=4$ 或 $a=0$.
15. 分类讨论思想[了解概念]
在平面直角坐标系$xOy$中，若$P(a,b)$，$Q(c,d)$，式子$|a - c| + |b - d|$的值就叫作线段$PQ$的“勾股距”，记作$d_{PQ}=|a - c| + |b - d|$，同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫作“等距三角形”。
[理解运用]
在平面直角坐标系$xOy$中，$A(2,3)$，$B(4,2)$，$C(m,n)$。
(1)线段$OA$的“勾股距”$d_{OA}=$
(2)若点$C$在第三象限，且$d_{OC}=2d_{AB}$，求$d_{AC}$并判断$△ ABC$是否为“等距三角形”；
[拓展提升]
(3)若点$C$在$x$轴上，$△ ABC$是“等距三角形”，请直接写出$m$的取值范围。
在平面直角坐标系$xOy$中，若$P(a,b)$，$Q(c,d)$，式子$|a - c| + |b - d|$的值就叫作线段$PQ$的“勾股距”，记作$d_{PQ}=|a - c| + |b - d|$，同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫作“等距三角形”。
[理解运用]
在平面直角坐标系$xOy$中，$A(2,3)$，$B(4,2)$，$C(m,n)$。
(1)线段$OA$的“勾股距”$d_{OA}=$
5
；(2)若点$C$在第三象限，且$d_{OC}=2d_{AB}$，求$d_{AC}$并判断$△ ABC$是否为“等距三角形”；
[拓展提升]
(3)若点$C$在$x$轴上，$△ ABC$是“等距三角形”，请直接写出$m$的取值范围。
答案：(1)5 [解析]由“勾股距”的定义知，
$d_{OA}=|0-2|+|0-3|=2+3=5$.
(2)
∵$d_{AB}=|2-4|+|3-2|=2+1=3$,
∴$d_{OC}=2d_{AB}=6$.
∵点 C 在第三象限，
∴$m＜0,n＜0$,$d_{OC}=|m-0|+|n-0|=|m|+|n|=-m-n=-(m+n)$,
∴$-(m+n)=6$,即 $m+n=-6$,
∴$d_{AC}=|2-m|+|3-n|=2-m+3-n=5-(m+n)=5+6=11$,$d_{BC}=|4-m|+|2-n|=4-m+2-n=6-(m+n)=6+6=12$.
∵$3+11≠12$,$11+12≠3$,$12+3≠11$,
∴△ABC 不是“等距三角形”.
(3)当点 C 在 x 轴上时,设点 $C(m,0)$,
则 $d_{AC}=|2-m|+3$,$d_{BC}=|4-m|+2$.
①当 $m＜2$ 时,$d_{AC}=2-m+3=5-m$,$d_{BC}=4-m+2=6-m$. 若△ABC 是“等距三角形”,则 $5-m+6-m=11-2m=3$,解得 $m=4$(不合题意). 又 $5-m+3=8-m≠6-m$,$6-m+3=9-m≠5-m$,
∴当 $m＜2$ 时,△ABC 不是“等距三角形”;
②当 $2≤m＜4$ 时,$d_{AC}=m-2+3=m+1$,$d_{BC}=4-m+2=6-m$. 若△ABC 是“等距三角形”,则 $m+1+6-m=7≠3$(舍去),$6-m+3=m+1$,解得 $m=4$(不合题意),$m+1+3=6-m$,解得 $m=1$(不合题意),
∴当 $2≤m＜4$ 时,△ABC 不是“等距三角形”;
③当 $m≥4$ 时,$d_{AC}=m+1$,$d_{BC}=m-2$. 若△ABC 是“等距三角形”,则 $m+1+m-2=3$,解得 $m=2$(不合题意),$m+1+3=m+4≠m-2$(舍去),$m-2+3=m+1$ 恒成立,
∴当 $m≥4$ 时,△ABC 是“等距三角形”. 当 $m=8$ 时,点 A,B,C 在同一直线上,无法构成三角形,
∴$m≠8$.
综上所述,当△ABC 是“等距三角形”时,m 的取值范围为 $m≥4$ 且 $m≠8$.
归纳总结 本题考查坐标与图形的性质,关键是对“勾股距”和“等距三角形”新概念的理解,运用“勾股距”和“等距三角形”的概念解题.
$d_{OA}=|0-2|+|0-3|=2+3=5$.
(2)
∵$d_{AB}=|2-4|+|3-2|=2+1=3$,
∴$d_{OC}=2d_{AB}=6$.
∵点 C 在第三象限，
∴$m＜0,n＜0$,$d_{OC}=|m-0|+|n-0|=|m|+|n|=-m-n=-(m+n)$,
∴$-(m+n)=6$,即 $m+n=-6$,
∴$d_{AC}=|2-m|+|3-n|=2-m+3-n=5-(m+n)=5+6=11$,$d_{BC}=|4-m|+|2-n|=4-m+2-n=6-(m+n)=6+6=12$.
∵$3+11≠12$,$11+12≠3$,$12+3≠11$,
∴△ABC 不是“等距三角形”.
(3)当点 C 在 x 轴上时,设点 $C(m,0)$,
则 $d_{AC}=|2-m|+3$,$d_{BC}=|4-m|+2$.
①当 $m＜2$ 时,$d_{AC}=2-m+3=5-m$,$d_{BC}=4-m+2=6-m$. 若△ABC 是“等距三角形”,则 $5-m+6-m=11-2m=3$,解得 $m=4$(不合题意). 又 $5-m+3=8-m≠6-m$,$6-m+3=9-m≠5-m$,
∴当 $m＜2$ 时,△ABC 不是“等距三角形”;
②当 $2≤m＜4$ 时,$d_{AC}=m-2+3=m+1$,$d_{BC}=4-m+2=6-m$. 若△ABC 是“等距三角形”,则 $m+1+6-m=7≠3$(舍去),$6-m+3=m+1$,解得 $m=4$(不合题意),$m+1+3=6-m$,解得 $m=1$(不合题意),
∴当 $2≤m＜4$ 时,△ABC 不是“等距三角形”;
③当 $m≥4$ 时,$d_{AC}=m+1$,$d_{BC}=m-2$. 若△ABC 是“等距三角形”,则 $m+1+m-2=3$,解得 $m=2$(不合题意),$m+1+3=m+4≠m-2$(舍去),$m-2+3=m+1$ 恒成立,
∴当 $m≥4$ 时,△ABC 是“等距三角形”. 当 $m=8$ 时,点 A,B,C 在同一直线上,无法构成三角形,
∴$m≠8$.
综上所述,当△ABC 是“等距三角形”时,m 的取值范围为 $m≥4$ 且 $m≠8$.
归纳总结 本题考查坐标与图形的性质,关键是对“勾股距”和“等距三角形”新概念的理解,运用“勾股距”和“等距三角形”的概念解题.