6. (2026·扬州期末)在平面直角坐标系中,给出如下定义:点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”,点Q到x轴、y轴的距离相等时,称点Q为“角平分线点”.
(1)点A(-3,5)的“长距”为
(2)若点B(4−2a,−2)是“角平分线点”,求a的值;
(3)若点C(−2,3b−2)的长距为4,且点C在第二象限内,点D的坐标为(9−2b,−5),请判断点D是否为“角平分线点”,并说明理由.
(1)点A(-3,5)的“长距”为
5
;(2)若点B(4−2a,−2)是“角平分线点”,求a的值;
(3)若点C(−2,3b−2)的长距为4,且点C在第二象限内,点D的坐标为(9−2b,−5),请判断点D是否为“角平分线点”,并说明理由.
答案：(1)5 [解析]
∵点A(-3,5)到x轴的距离为5,到y轴的距离为3,点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”,
∴点A的“长距”为5.
(2)
∵B(4−2a,−2)是“角平分线点”,
∴|4−2a|=|−2|,
∴4−2a=2或4−2a=−2,
解得a=1或a=3.
(3)
∵点C(−2,3b−2)的长距为4,且点C在第二象限内,
∴3b−2=4,解得b=2,
∴9−2b=5,
∴点D的坐标为(5,−5),
∴点D到x轴、y轴的距离都是5,
∴点D是“角平分线点”.
∵点A(-3,5)到x轴的距离为5,到y轴的距离为3,点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”,
∴点A的“长距”为5.
(2)
∵B(4−2a,−2)是“角平分线点”,
∴|4−2a|=|−2|,
∴4−2a=2或4−2a=−2,
解得a=1或a=3.
(3)
∵点C(−2,3b−2)的长距为4,且点C在第二象限内,
∴3b−2=4,解得b=2,
∴9−2b=5,
∴点D的坐标为(5,−5),
∴点D到x轴、y轴的距离都是5,
∴点D是“角平分线点”.
7. 分类讨论思想 如图，$A(-1,0),C(1,4)$，点$B$在$x$轴上，且$AB=3$.
(1)求点$B$的坐标.
(2)求$△ ABC$的面积.
(3)在$y$轴上是否存在点$P$，使以$A,B,P$三点为顶点的三角形的面积为$10$？若存在，请直接写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)求点$B$的坐标.
(2)求$△ ABC$的面积.
(3)在$y$轴上是否存在点$P$，使以$A,B,P$三点为顶点的三角形的面积为$10$？若存在，请直接写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：(1)当点B在点A的右边时，−1+3=2，
当点B在点A的左边时，−1−3=−4，
所以点B的坐标为(2,0)或(−4,0).
(2)$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×4=6$.
(3)存在.理由如下：
设点P到x轴的距离为h，
则$\frac{1}{2}×3h=10$,解得$h=\frac{20}{3}$.
故点P的坐标为$(0,\frac{20}{3})$或$(0,-\frac{20}{3})$.
当点B在点A的左边时，−1−3=−4，
所以点B的坐标为(2,0)或(−4,0).
(2)$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×4=6$.
(3)存在.理由如下：
设点P到x轴的距离为h，
则$\frac{1}{2}×3h=10$,解得$h=\frac{20}{3}$.
故点P的坐标为$(0,\frac{20}{3})$或$(0,-\frac{20}{3})$.
8. 跨学科 科技创新 (2024·贵州中考)为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为$(-2,0),(0,0)$，则“技”所在的象限为(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
).A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：
如图,建立平面直角坐标系,则“技”在第一象限.故选A.
如图,建立平面直角坐标系,则“技”在第一象限.故选A.