例1（2025·镇江句容期中）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA=5 m，PB=4 m，那么点A与点B之间的距离不可能是（
A.6 m
B.7 m
C.8 m
D.9 m
名师启发 由三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边，得到$1＜AB＜9$，即可得到答案。
D
）。A.6 m
B.7 m
C.8 m
D.9 m
名师启发 由三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边，得到$1＜AB＜9$，即可得到答案。
答案：
∵PA,PB,AB能构成三角形，
∴PA−PB＜AB＜PA+PB，即1 m＜AB＜9 m，
∴A,B之间的距离不可能是9 m。故选D.
∵PA,PB,AB能构成三角形，
∴PA−PB＜AB＜PA+PB，即1 m＜AB＜9 m，
∴A,B之间的距离不可能是9 m。故选D.
解析：
【分析】
要判断AB的不可能长度，首先可知A、B、P三点可构成三角形，PA、PB、AB为三角形的三条边，因此可以利用三角形三边关系求出AB的取值范围，再对照选项找出不在取值范围内的数值即可。
【解析】
∵PA、PB、AB能构成三角形，根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，
∴$PA-PB ＜ AB ＜ PA+PB$，
代入$PA=5\ \mathrm{m}$，$PB=4\ \mathrm{m}$，可得$5-4 ＜ AB ＜ 5+4$，即$1\ \mathrm{m} ＜ AB ＜ 9\ \mathrm{m}$，
因此AB的长度不可能是9m。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用题，解题核心是从实际场景中抽象出三角形模型，通过三边关系确定未知边的取值范围再判断选项，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.9
要判断AB的不可能长度，首先可知A、B、P三点可构成三角形，PA、PB、AB为三角形的三条边，因此可以利用三角形三边关系求出AB的取值范围，再对照选项找出不在取值范围内的数值即可。
【解析】
∵PA、PB、AB能构成三角形，根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，
∴$PA-PB ＜ AB ＜ PA+PB$，
代入$PA=5\ \mathrm{m}$，$PB=4\ \mathrm{m}$，可得$5-4 ＜ AB ＜ 5+4$，即$1\ \mathrm{m} ＜ AB ＜ 9\ \mathrm{m}$，
因此AB的长度不可能是9m。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用题，解题核心是从实际场景中抽象出三角形模型，通过三边关系确定未知边的取值范围再判断选项，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.9
例2 (2025·西安雁塔区二模)如图，在$△ ABC$中，AD是它的角平分线，AE是它的中线，$AB=5$，
$AC=3,BC=7$,则$ED$长为(
A.$\dfrac{15}{7}$
B.$\dfrac{7}{15}$
C.$\dfrac{7}{8}$
D.$\dfrac{8}{7}$
名师启发 过点$D$作$DG ⊥ AB$于点$G$,$DH ⊥ AC$于点$H$,根据角平分线的性质得到$DG=DH$,根据三角形面积公式求出$BD$,再根据三角形的中线的概念求出$BE$,进而求出$DE$.
$AC=3,BC=7$,则$ED$长为(
C
).A.$\dfrac{15}{7}$
B.$\dfrac{7}{15}$
C.$\dfrac{7}{8}$
D.$\dfrac{8}{7}$
名师启发 过点$D$作$DG ⊥ AB$于点$G$,$DH ⊥ AC$于点$H$,根据角平分线的性质得到$DG=DH$,根据三角形面积公式求出$BD$,再根据三角形的中线的概念求出$BE$,进而求出$DE$.
答案：
过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H。
∵AD平分∠BAC,DG⊥AB,DH⊥AC，
∴DG=DH，
∵$\frac{S_{△ BAD}}{S_{△ CAD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3}$，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{5}{3}$。
∵BC=7，
∴$BD=\frac{35}{8}$。
∵AE是△ABC的中线，BC=7，
∴$BE=\frac{7}{2}$，
∴$DE=BD-BE=\frac{35}{8}-\frac{7}{2}=\frac{7}{8}$。故选C.
过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H。
∵AD平分∠BAC,DG⊥AB,DH⊥AC，
∴DG=DH，
∵$\frac{S_{△ BAD}}{S_{△ CAD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3}$，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{5}{3}$。
∵BC=7，
∴$BD=\frac{35}{8}$。
∵AE是△ABC的中线，BC=7，
∴$BE=\frac{7}{2}$，
∴$DE=BD-BE=\frac{35}{8}-\frac{7}{2}=\frac{7}{8}$。故选C.
解析：
【分析】
解题思路可按以下步骤梳理：1. 看到AD是角平分线，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此考虑过D向AB、AC作高，得到两条高相等；2. △BAD和△CAD的面积比可以用两种方式表示：一是分别以AB、AC为底，DG、DH为高，因为DG=DH，所以面积比等于AB:AC；二是两个三角形同高（以A到BC的垂线段为高），面积比等于底BD:DC，由此可推出BD与DC的比例关系，结合BC的长度算出BD的长；3. AE是中线，根据中线定义，BE等于BC的一半，最后用BD减去BE即可得到ED的长度。
【解析】
过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H。
∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DH⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得DG=DH，
∵$S_{△BAD}=\frac{1}{2}AB· DG$，$S_{△CAD}=\frac{1}{2}AC· DH$，
∴$\frac{S_{△ BAD}}{S_{△ CAD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3}$，
又
∵△BAD和△CAD以BD、DC为底时，高相同，
∴$\frac{S_{△ BAD}}{S_{△ CAD}}=\frac{BD}{DC}=\frac{5}{3}$。
∵BC=7，
∴$BD=7×\frac{5}{5+3}=\frac{35}{8}$。
∵AE是△ABC的中线，BC=7，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{7}{2}$，
∴$DE=BD-BE=\frac{35}{8}-\frac{7}{2}=\frac{35}{8}-\frac{28}{8}=\frac{7}{8}$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形中线定义；面积法求比例
【点评】
本题是三角形部分的典型应用题，解题核心是利用面积法沟通角平分线性质和线段比例的关系，将角平分线的性质转化为对应线段的比例，再结合中线的定义计算所求线段长度，解题时要灵活运用三角形面积的不同表示方法建立等量关系。
【难度系数】
0.7
解题思路可按以下步骤梳理：1. 看到AD是角平分线，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此考虑过D向AB、AC作高，得到两条高相等；2. △BAD和△CAD的面积比可以用两种方式表示：一是分别以AB、AC为底，DG、DH为高，因为DG=DH，所以面积比等于AB:AC；二是两个三角形同高（以A到BC的垂线段为高），面积比等于底BD:DC，由此可推出BD与DC的比例关系，结合BC的长度算出BD的长；3. AE是中线，根据中线定义，BE等于BC的一半，最后用BD减去BE即可得到ED的长度。
【解析】
过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H。
∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DH⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得DG=DH，
∵$S_{△BAD}=\frac{1}{2}AB· DG$，$S_{△CAD}=\frac{1}{2}AC· DH$，
∴$\frac{S_{△ BAD}}{S_{△ CAD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3}$，
又
∵△BAD和△CAD以BD、DC为底时，高相同，
∴$\frac{S_{△ BAD}}{S_{△ CAD}}=\frac{BD}{DC}=\frac{5}{3}$。
∵BC=7，
∴$BD=7×\frac{5}{5+3}=\frac{35}{8}$。
∵AE是△ABC的中线，BC=7，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{7}{2}$，
∴$DE=BD-BE=\frac{35}{8}-\frac{7}{2}=\frac{35}{8}-\frac{28}{8}=\frac{7}{8}$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形中线定义；面积法求比例
【点评】
本题是三角形部分的典型应用题，解题核心是利用面积法沟通角平分线性质和线段比例的关系，将角平分线的性质转化为对应线段的比例，再结合中线的定义计算所求线段长度，解题时要灵活运用三角形面积的不同表示方法建立等量关系。
【难度系数】
0.7