例3 如图，$△ ABC ≌ △ DBC$，$∠ A = 34°$，$∠ ACD = 72°$，则$∠ DBC$的度数是（
A.$110°$
B.$105°$
C.$64°$
D.$100°$
名师启发 根据全等三角形的性质得出$∠ D = ∠ A = 34°$，$∠ ACB = ∠ DCB$，求出$∠ DCB$的度数，再根据三角形内角和定理求出$∠ DBC$。
A
）。A.$110°$
B.$105°$
C.$64°$
D.$100°$
名师启发 根据全等三角形的性质得出$∠ D = ∠ A = 34°$，$∠ ACB = ∠ DCB$，求出$∠ DCB$的度数，再根据三角形内角和定理求出$∠ DBC$。
答案：
∵△ABC≌△DBC，∠A=34°，
∴∠D=∠A=34°，∠ACB=∠DCB。
∵∠ACD=72°，
∴∠DCB=∠ACB=36°，
∴∠DBC=180°−∠D−∠DCB=110°。故选A.
∵△ABC≌△DBC，∠A=34°，
∴∠D=∠A=34°，∠ACB=∠DCB。
∵∠ACD=72°，
∴∠DCB=∠ACB=36°，
∴∠DBC=180°−∠D−∠DCB=110°。故选A.
解析：
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：①$△ ABC ≌ △ DBC$；②$∠ A=34°$；③$∠ ACD=72°$。首先回忆全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，由此可得$∠ D=∠ A$，$∠ ACB=∠ DCB$。再观察$∠ ACD$的构成，它是$∠ ACB$和$∠ DCB$的和，结合已知的$∠ ACD$度数就能算出$∠ DCB$的大小。最后在$△ DBC$中，利用三角形内角和为$180°$，减去两个已知内角的度数，即可求出$∠ DBC$的度数。
【解析】
$\because △ ABC ≌ △ DBC$，$∠ A=34°$，
$\therefore ∠ D=∠ A=34°$，$∠ ACB=∠ DCB$（全等三角形对应角相等）。
$\because ∠ ACD=∠ ACB+∠ DCB=72°$，
$\therefore ∠ DCB=∠ ACB=72°÷2=36°$，
在$△ DBC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ DBC=180°-∠ D-∠ DCB=180°-34°-36°=110°$。
故选A。
【答案】A
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础综合题，解题关键是准确识别全等三角形的对应角，结合已知角的关系逐步推导未知角度，再利用内角和定理计算结果，解题时注意不要混淆全等三角形的对应元素。
【难度系数】
0.7
拿到题目先梳理已知条件：①$△ ABC ≌ △ DBC$；②$∠ A=34°$；③$∠ ACD=72°$。首先回忆全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，由此可得$∠ D=∠ A$，$∠ ACB=∠ DCB$。再观察$∠ ACD$的构成，它是$∠ ACB$和$∠ DCB$的和，结合已知的$∠ ACD$度数就能算出$∠ DCB$的大小。最后在$△ DBC$中，利用三角形内角和为$180°$，减去两个已知内角的度数，即可求出$∠ DBC$的度数。
【解析】
$\because △ ABC ≌ △ DBC$，$∠ A=34°$，
$\therefore ∠ D=∠ A=34°$，$∠ ACB=∠ DCB$（全等三角形对应角相等）。
$\because ∠ ACD=∠ ACB+∠ DCB=72°$，
$\therefore ∠ DCB=∠ ACB=72°÷2=36°$，
在$△ DBC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ DBC=180°-∠ D-∠ DCB=180°-34°-36°=110°$。
故选A。
【答案】A
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础综合题，解题关键是准确识别全等三角形的对应角，结合已知角的关系逐步推导未知角度，再利用内角和定理计算结果，解题时注意不要混淆全等三角形的对应元素。
【难度系数】
0.7
例4 (2026·扬州邗江区期末)一个三角形的三边长分别为3,7,x,另一个三角形的三边长分别为3,9,y,若这两个三角形全等,则$x+y=$
名师启发 根据已知条件分清对应边,结合全等三角形的性质可得出答案.
16
.名师启发 根据已知条件分清对应边,结合全等三角形的性质可得出答案.
答案：
∵一个三角形的三边长分别为3,7,x，另一个三角形的三边长分别为3,9,y，且这两个三角形全等，
∴x=9，y=7，
∴x+y=16.
∵一个三角形的三边长分别为3,7,x，另一个三角形的三边长分别为3,9,y，且这两个三角形全等，
∴x=9，y=7，
∴x+y=16.
解析：
【分析】
解题时先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。首先观察两个三角形的边长，二者都有长度为3的边，可确定这条边是一组对应边，剩余的两组边也需分别对应相等。第一个三角形剩余边长为7和x，第二个剩余边长为9和y，因此x对应另一三角形的9，y对应第一个三角形的7，最后计算x与y的和即可。
【解析】
∵一个三角形的三边长分别为3,7,x，另一个三角形的三边长分别为3,9,y，且这两个三角形全等，
∴两个三角形的对应边相等，长度为3的边为公共对应边，因此剩余两边分别对应相等，即x=9，y=7，
∴x+y=9+7=16。
【答案】
16
【知识点】
全等三角形对应边相等
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题关键是准确识别对应边，避免混淆边的对应关系，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。首先观察两个三角形的边长，二者都有长度为3的边，可确定这条边是一组对应边，剩余的两组边也需分别对应相等。第一个三角形剩余边长为7和x，第二个剩余边长为9和y，因此x对应另一三角形的9，y对应第一个三角形的7，最后计算x与y的和即可。
【解析】
∵一个三角形的三边长分别为3,7,x，另一个三角形的三边长分别为3,9,y，且这两个三角形全等，
∴两个三角形的对应边相等，长度为3的边为公共对应边，因此剩余两边分别对应相等，即x=9，y=7，
∴x+y=9+7=16。
【答案】
16
【知识点】
全等三角形对应边相等
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题关键是准确识别对应边，避免混淆边的对应关系，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
例5 (2025·拉萨一模)如图,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB//DE,∠ACB=∠F.求证:△ABC≌△DEF.
名师启发 根据平行线的性质可知∠B=∠DEF.因为BE=CF,所以BC=EF,因为∠ACB=∠F,根据ASA可知△ABC≌△DEF.
名师启发 根据平行线的性质可知∠B=∠DEF.因为BE=CF,所以BC=EF,因为∠ACB=∠F,根据ASA可知△ABC≌△DEF.
答案：
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF。
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} ∠B=∠DEF, \\ BC=EF, \\ ∠ACB=∠F, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(ASA).
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF。
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} ∠B=∠DEF, \\ BC=EF, \\ ∠ACB=∠F, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(ASA).
解析：
【分析】
要证明△ABC≌△DEF，需先推导全等判定所需的对应相等的边和角：首先根据AB//DE，利用平行线的性质可得一组对应角∠B=∠DEF；再由BE=CF，结合线段和差的性质，两边同时加公共线段EC，可推得对应边BC=EF；最后结合已知的∠ACB=∠F，刚好符合ASA的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF。
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} ∠B=∠DEF, \\ BC=EF, \\ ∠ACB=∠F, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(ASA)。
【答案】
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF。
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} ∠B=∠DEF, \\ BC=EF, \\ ∠ACB=∠F, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(ASA)。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形ASA判定、等式的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，核心考查对平行线性质和全等判定定理的运用能力，解题的关键是通过线段的和差关系得到相等的对应边，再结合已知角的条件匹配对应的全等判定规则即可。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC≌△DEF，需先推导全等判定所需的对应相等的边和角：首先根据AB//DE，利用平行线的性质可得一组对应角∠B=∠DEF；再由BE=CF，结合线段和差的性质，两边同时加公共线段EC，可推得对应边BC=EF；最后结合已知的∠ACB=∠F，刚好符合ASA的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF。
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} ∠B=∠DEF, \\ BC=EF, \\ ∠ACB=∠F, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(ASA)。
【答案】
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF。
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} ∠B=∠DEF, \\ BC=EF, \\ ∠ACB=∠F, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(ASA)。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形ASA判定、等式的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，核心考查对平行线性质和全等判定定理的运用能力，解题的关键是通过线段的和差关系得到相等的对应边，再结合已知角的条件匹配对应的全等判定规则即可。
【难度系数】
0.8
例6 (2025·盐城盐都区月考)小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千,如图,小明坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面0.8 m高的B处接住他后用力一推,爸爸在C处接住他,若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和2 m,∠BOC=90°.
(1)$△ OBD$与$△ COE$全等吗?请说明理由.
(2)小明的爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的?
名师启发 (1)根据同角的余角相等先证得$∠ COE=∠ OBD$,再根据AAS即可证明结论;
(2)由$△ COE≌△ OBD$,得出$CE=OD$,$OE=BD$,即可推出结果.
(1)$△ OBD$与$△ COE$全等吗?请说明理由.
(2)小明的爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的?
名师启发 (1)根据同角的余角相等先证得$∠ COE=∠ OBD$,再根据AAS即可证明结论;
(2)由$△ COE≌△ OBD$,得出$CE=OD$,$OE=BD$,即可推出结果.
答案：(1)△OBD与△COE全等.理由如下：
由题意可知∠CEO=∠BDO=90°,BO=CO，∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD。
在△COE和△OBD中，$\begin{cases} ∠COE=∠OBD, \\ ∠OEC=∠BDO, \\ OC=BO, \end{cases}$
∴△COE≌△OBD(AAS)。
(2)
∵△COE≌△OBD，
∴CE=OD，OE=BD。
又BD,CE分别为1.4 m和2 m，
∴DE=OD−OE=CE−BD=2−1.4=0.6(m)，
∴AE=DE+AD=0.6+0.8=1.4(m)。
故小明的爸爸是在距离地面1.4 m处接住小明的。
由题意可知∠CEO=∠BDO=90°,BO=CO，∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD。
在△COE和△OBD中，$\begin{cases} ∠COE=∠OBD, \\ ∠OEC=∠BDO, \\ OC=BO, \end{cases}$
∴△COE≌△OBD(AAS)。
(2)
∵△COE≌△OBD，
∴CE=OD，OE=BD。
又BD,CE分别为1.4 m和2 m，
∴DE=OD−OE=CE−BD=2−1.4=0.6(m)，
∴AE=DE+AD=0.6+0.8=1.4(m)。
故小明的爸爸是在距离地面1.4 m处接住小明的。
解析：
【分析】
(1) 要判断△OBD和△COE是否全等，先梳理已知条件：两个三角形都是直角三角形，即∠CEO=∠BDO=90°，秋千绳长相等故OB=OC，且∠BOC=90°。根据同角的余角相等，可推导得∠COE=∠OBD，结合三个条件即可用AAS判定两三角形全等。
(2) 要求爸爸接住小明的高度，即求C点到地面的距离AE。已知B点距地面高度AD=0.8m，只需求出DE的长度再加AD即可。利用全等三角形对应边相等的性质，可得CE=OD，OE=BD，代入已知的BD、CE长度，即可算出DE的长度，最终得到AE的长度。
【解析】
(1) △OBD与△COE全等，理由如下：
由题意可知∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC（秋千绳长相等），∠BOC=90°，
∴ ∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴ ∠COE=∠OBD。
在△COE和△OBD中：
$\begin{cases} ∠COE=∠OBD, \\ ∠OEC=∠BDO, \\ OC=BO, \end{cases}$
∴ △COE≌△OBD（AAS）。
(2)
∵ △COE≌△OBD，
∴ CE=OD，OE=BD。
已知BD=1.4m，CE=2m，
∴ DE=OD−OE=CE−BD=2−1.4=0.6(m)，
又
∵ B处距地面高度AD=0.8m，
∴ AE=DE+AD=0.6+0.8=1.4(m)。
【答案】
(1) △OBD与△COE全等，理由见解析；
(2) 小明的爸爸是在距离地面1.4 m的地方接住小明的。
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题结合荡秋千的生活场景考查几何知识的实际应用，解题核心是通过角的互余关系推导全等条件，再利用全等三角形对应边相等的性质求解线段长度，能有效锻炼将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△OBD和△COE是否全等，先梳理已知条件：两个三角形都是直角三角形，即∠CEO=∠BDO=90°，秋千绳长相等故OB=OC，且∠BOC=90°。根据同角的余角相等，可推导得∠COE=∠OBD，结合三个条件即可用AAS判定两三角形全等。
(2) 要求爸爸接住小明的高度，即求C点到地面的距离AE。已知B点距地面高度AD=0.8m，只需求出DE的长度再加AD即可。利用全等三角形对应边相等的性质，可得CE=OD，OE=BD，代入已知的BD、CE长度，即可算出DE的长度，最终得到AE的长度。
【解析】
(1) △OBD与△COE全等，理由如下：
由题意可知∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC（秋千绳长相等），∠BOC=90°，
∴ ∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴ ∠COE=∠OBD。
在△COE和△OBD中：
$\begin{cases} ∠COE=∠OBD, \\ ∠OEC=∠BDO, \\ OC=BO, \end{cases}$
∴ △COE≌△OBD（AAS）。
(2)
∵ △COE≌△OBD，
∴ CE=OD，OE=BD。
已知BD=1.4m，CE=2m，
∴ DE=OD−OE=CE−BD=2−1.4=0.6(m)，
又
∵ B处距地面高度AD=0.8m，
∴ AE=DE+AD=0.6+0.8=1.4(m)。
【答案】
(1) △OBD与△COE全等，理由见解析；
(2) 小明的爸爸是在距离地面1.4 m的地方接住小明的。
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题结合荡秋千的生活场景考查几何知识的实际应用，解题核心是通过角的互余关系推导全等条件，再利用全等三角形对应边相等的性质求解线段长度，能有效锻炼将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7