例7 (2026·扬州江都区期末)如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=4，则△ABC的面积是
名师启发 过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，由角平分线的性质推出OD=OM=ON=4，由三角形面积公式得到△ABC的面积= $\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·OD$，即可求出△ABC的面积。
归纳总结
本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，解题的关键是由角平分线的性质推出OD=OM=ON，由三角形面积公式得到△ABC的面积。
42
。名师启发 过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，由角平分线的性质推出OD=OM=ON=4，由三角形面积公式得到△ABC的面积= $\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·OD$，即可求出△ABC的面积。
归纳总结
本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，解题的关键是由角平分线的性质推出OD=OM=ON，由三角形面积公式得到△ABC的面积。
答案：过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接OA。
∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，
∴OD=OM=ON=4。
∵△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}AB·OM+\frac{1}{2}BC·OD+\frac{1}{2}AC·ON=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·OD$。
∵△ABC的周长=21，OD=4，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}×21×4=42$。
∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，
∴OD=OM=ON=4。
∵△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}AB·OM+\frac{1}{2}BC·OD+\frac{1}{2}AC·ON=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·OD$。
∵△ABC的周长=21，OD=4，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}×21×4=42$。
解析：
【分析】
解题时首先观察题干条件，出现角平分线和点到边的垂线段，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知BO、CO是角平分线，OD⊥BC，因此可过O作AB、AC的垂线，得到O到三边的距离都等于OD=4。接下来求△ABC的面积，可采用割补法，将其拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积和，三个小三角形的高均为4，底之和恰好是△ABC的周长，代入数值即可计算出总面积。
【解析】
过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接OA。
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OM⊥AB，ON⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得：OD=OM=ON=4。
△ABC的面积可拆分为三个小三角形的面积之和，即：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
代入三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·OM+\frac{1}{2}BC·OD+\frac{1}{2}AC·ON$
∵OM=OD=ON=4，提取公因式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·OD$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=21$，OD=4，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×21×4=42$
【答案】
42
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是角平分线性质与三角形面积结合的典型题型，解题的核心是利用角平分线的性质得到点O到三角形三边的距离相等，再通过割补法将大三角形面积转化为三个同高小三角形的面积和，结合周长整体代入即可快速求解，避免了分别求各边长的繁琐。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件，出现角平分线和点到边的垂线段，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知BO、CO是角平分线，OD⊥BC，因此可过O作AB、AC的垂线，得到O到三边的距离都等于OD=4。接下来求△ABC的面积，可采用割补法，将其拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积和，三个小三角形的高均为4，底之和恰好是△ABC的周长，代入数值即可计算出总面积。
【解析】
过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接OA。
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OM⊥AB，ON⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得：OD=OM=ON=4。
△ABC的面积可拆分为三个小三角形的面积之和，即：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
代入三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·OM+\frac{1}{2}BC·OD+\frac{1}{2}AC·ON$
∵OM=OD=ON=4，提取公因式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·OD$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=21$，OD=4，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×21×4=42$
【答案】
42
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是角平分线性质与三角形面积结合的典型题型，解题的核心是利用角平分线的性质得到点O到三角形三边的距离相等，再通过割补法将大三角形面积转化为三个同高小三角形的面积和，结合周长整体代入即可快速求解，避免了分别求各边长的繁琐。
【难度系数】
0.7
例8 如图，$△ ABC$的外角$∠ DAC$的平分线交边BC的垂直平分线于点$P$，$PD⊥ BD$于点$D$，$PE⊥ AC$于点$E$。
(1)求证:$BD=CE$；
(2)若$AB=6\ \mathrm{cm},AC=10\ \mathrm{cm}$,求$AD$的长。
名师启发 (1)连接$BP,CP$,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得$BP=CP$,根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得$DP=EP$,然后利用“HL”证明$\mathrm{Rt}△ BDP$和$\mathrm{Rt}△ CEP$全等,根据全等三角形对应边相等证明即可；
(2)利用“HL”证明$\mathrm{Rt}△ ADP$和$\mathrm{Rt}△ AEP$全等,根据全等三角形对应边相等可得$AD=AE$,再根据$AB,AC$的长度表示出$BD,CE$,然后解方程即可。
归纳总结
在使用线段的垂直平分线的性质及其判定时要注意它们的区别:性质的条件是“已知点在线段的垂直平分线上”,结论是“该点到线段两端点的距离相等”;判定正好相反,它们是一对互逆定理。
(1)求证:$BD=CE$；
(2)若$AB=6\ \mathrm{cm},AC=10\ \mathrm{cm}$,求$AD$的长。
名师启发 (1)连接$BP,CP$,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得$BP=CP$,根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得$DP=EP$,然后利用“HL”证明$\mathrm{Rt}△ BDP$和$\mathrm{Rt}△ CEP$全等,根据全等三角形对应边相等证明即可；
(2)利用“HL”证明$\mathrm{Rt}△ ADP$和$\mathrm{Rt}△ AEP$全等,根据全等三角形对应边相等可得$AD=AE$,再根据$AB,AC$的长度表示出$BD,CE$,然后解方程即可。
归纳总结
在使用线段的垂直平分线的性质及其判定时要注意它们的区别:性质的条件是“已知点在线段的垂直平分线上”,结论是“该点到线段两端点的距离相等”;判定正好相反,它们是一对互逆定理。
答案：(1)连接BP,CP。
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP=CP。
∵AP是∠DAC的平分线，PD⊥BD，PE⊥AC，
∴DP=EP。
在Rt△BDP和Rt△CEP中，$\begin{cases} BP=CP, \\ DP=EP, \end{cases}$
∴Rt△BDP≌Rt△CEP(HL)，
∴BD=CE。
(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中，
$\begin{cases} AP=AP, \\ DP=EP, \end{cases}$
∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL)，
∴AD=AE。
∵AB=6 cm，AC=10 cm，
∴6+AD=10−AE，
即6+AD=10−AD，解得AD=2 cm。
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP=CP。
∵AP是∠DAC的平分线，PD⊥BD，PE⊥AC，
∴DP=EP。
在Rt△BDP和Rt△CEP中，$\begin{cases} BP=CP, \\ DP=EP, \end{cases}$
∴Rt△BDP≌Rt△CEP(HL)，
∴BD=CE。
(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中，
$\begin{cases} AP=AP, \\ DP=EP, \end{cases}$
∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL)，
∴AD=AE。
∵AB=6 cm，AC=10 cm，
∴6+AD=10−AE，
即6+AD=10−AD，解得AD=2 cm。
解析：
【分析】
(1)要证明$BD=CE$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等推导。首先连接$BP$、$CP$，根据线段垂直平分线的性质可得$BP=CP$；再根据角平分线的性质，$AP$是$∠ DAC$的角平分线且$PD⊥ BD$、$PE⊥ AC$，可得$DP=EP$，最后用HL证明$\mathrm{Rt}△ BDP$和$\mathrm{Rt}△ CEP$全等，即可得$BD=CE$。
(2)求$AD$的长时，先证明$\mathrm{Rt}△ ADP$和$\mathrm{Rt}△ AEP$全等，得到$AD=AE$；结合第一问$BD=CE$的结论，将$BD$表示为$AB+AD$，$CE$表示为$AC-AE$，代入已知的$AB$、$AC$长度和$AD=AE$的关系，列方程即可求解$AD$。
【解析】
(1)连接$BP$，$CP$。
∵点$P$在$BC$的垂直平分线上，
∴$BP=CP$。
∵$AP$是$∠ DAC$的平分线，$PD⊥ BD$，$PE⊥ AC$，
∴$DP=EP$。
在$\mathrm{Rt}△ BDP$和$\mathrm{Rt}△ CEP$中，$\begin{cases} BP=CP, \\ DP=EP, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BDP≌\mathrm{Rt}△ CEP(\mathrm{HL})$，
∴$BD=CE$。
(2)在$\mathrm{Rt}△ ADP$和$\mathrm{Rt}△ AEP$中，
$\begin{cases} AP=AP, \\ DP=EP, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADP≌\mathrm{Rt}△ AEP(\mathrm{HL})$，
∴$AD=AE$。
∵$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，且$BD=CE$，$BD=AB+AD$，$CE=AC-AE$，
∴$6+AD=10-AE$，
又
∵$AD=AE$，
∴$6+AD=10-AD$，解得$AD=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$AD=2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于三角形综合基础题，核心解题思路是通过添加辅助线构造全等三角形，利用垂直平分线、角平分线的性质得到全等所需的等边条件，再通过全等转化线段关系，第二问运用方程思想求解线段长度，是几何计算中的常用方法。
【难度系数】
0.6
(1)要证明$BD=CE$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等推导。首先连接$BP$、$CP$，根据线段垂直平分线的性质可得$BP=CP$；再根据角平分线的性质，$AP$是$∠ DAC$的角平分线且$PD⊥ BD$、$PE⊥ AC$，可得$DP=EP$，最后用HL证明$\mathrm{Rt}△ BDP$和$\mathrm{Rt}△ CEP$全等，即可得$BD=CE$。
(2)求$AD$的长时，先证明$\mathrm{Rt}△ ADP$和$\mathrm{Rt}△ AEP$全等，得到$AD=AE$；结合第一问$BD=CE$的结论，将$BD$表示为$AB+AD$，$CE$表示为$AC-AE$，代入已知的$AB$、$AC$长度和$AD=AE$的关系，列方程即可求解$AD$。
【解析】
(1)连接$BP$，$CP$。
∵点$P$在$BC$的垂直平分线上，
∴$BP=CP$。
∵$AP$是$∠ DAC$的平分线，$PD⊥ BD$，$PE⊥ AC$，
∴$DP=EP$。
在$\mathrm{Rt}△ BDP$和$\mathrm{Rt}△ CEP$中，$\begin{cases} BP=CP, \\ DP=EP, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BDP≌\mathrm{Rt}△ CEP(\mathrm{HL})$，
∴$BD=CE$。
(2)在$\mathrm{Rt}△ ADP$和$\mathrm{Rt}△ AEP$中，
$\begin{cases} AP=AP, \\ DP=EP, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADP≌\mathrm{Rt}△ AEP(\mathrm{HL})$，
∴$AD=AE$。
∵$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，且$BD=CE$，$BD=AB+AD$，$CE=AC-AE$，
∴$6+AD=10-AE$，
又
∵$AD=AE$，
∴$6+AD=10-AD$，解得$AD=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$AD=2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于三角形综合基础题，核心解题思路是通过添加辅助线构造全等三角形，利用垂直平分线、角平分线的性质得到全等所需的等边条件，再通过全等转化线段关系，第二问运用方程思想求解线段长度，是几何计算中的常用方法。
【难度系数】
0.6