【分析】
要证明DE=BD+EC，观察图形可知DE被点O分为DO和OE两段，因此只需证明BD=DO、EC=OE即可。首先根据角平分线的定义，可得到两组相等的角；再结合DE//BC的条件，利用平行线的性质推出内错角相等，经等量代换可证得△DBO和△ECO均为等腰三角形，得到BD=DO、OE=EC，最后将DE=DO+OE中的线段进行等量替换，即可得出结论。
【解析】
∵在△ABC中，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB。
∵DE//BC，
∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，
∴BD=DO，OE=EC。
∵DE=DO+OE，
∴DE=BD+EC。
【答案】
DE=BD+EC
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线构造等腰三角形”这一经典几何模型的应用，解题时通过拆分待证的线段和，分别证明线段相等再进行等量代换即可得证，掌握该模型能快速解决同类几何证明问题。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合D是BC中点，利用等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD⊥BC且AD平分∠BAC，只需在Rt△ADC中根据三角形内角和求出∠CAD的度数，即可得到∠BAD的度数。
(2) 要证明NB=NM，根据“等角对等边”的判定，只需证明∠NBM=∠NMB即可。利用平行线的性质可推出∠NMB=∠CBM，再结合BM是角平分线的条件可得∠NBM=∠CBM，通过等量代换得到两角相等，即可完成证明。
【解析】
(1)
∵AB=AC，D是边BC上的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），
∴∠ADC=90°。
∵∠C=72°，
∴∠CAD=180°−∠ADC−∠C=180°−90°−72°=18°，
∴∠BAD=∠CAD=18°。
(2)
证明：
∵MN//BC，
∴∠NMB=∠CBM（两直线平行，内错角相等）。
∵BM平分∠ABC，
∴∠NBM=∠CBM（角平分线的定义）。
∴∠NBM=∠NMB，
∴NB=NM（等角对等边）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{18°}$；(2) 证明如上。
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查等腰三角形相关性质和平行线、角平分线的综合应用，解题核心是通过角度的等量推导得到所需结论，是等腰三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）①要证OE=BE，可通过“等角对等边”推导：先利用角平分线的定义得到∠EBO=∠OBC，再结合平行线的性质得到内错角∠EOB=∠OBC，等量代换得到∠EOB=∠EBO，即可得证。
②参照①的推导思路同理可证OF=FC，因此△AEF的周长可转化为AB+AC，用△ABC的总周长减去BC的长度即可求出结果。
（2）要探究∠BAC与∠PAC的数量关系，可借助角平分线的性质：过点P作三条垂线，分别垂直于BA延长线、AC、CD，由角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得点P到BA延长线和AC的距离相等，进而得到AP平分∠BAC的外角∠FAC，再结合邻补角和为180°即可推导两者的数量关系。
【解析】
(1)①
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC。
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC。
∴∠EOB=∠EBO。
∴OE=BE。
②同理可得FO=FC，
∴$C_{△ AEF}=AE+AF+EF=AE+AF+EO+FO=AE+AF+EB+FC=AB+AC=C_{△ ABC}−BC=25−9=16$。
(2)$2∠PAC+∠BAC=180°$。理由如下：
如图，过点P作PN⊥BD于点N，PF⊥BA交BA的延长线于点F，PM⊥AC于点M。
∵CP平分∠ACD，PM⊥AC，PN⊥BD，
∴∠ACP=∠PCD，PM=PN。
∵BP平分∠ABC，PF⊥BA，PN⊥BD，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM。又PF⊥BA，PM⊥AC，
∴∠FAP=∠PAC，
∴∠FAC=2∠PAC。
∵∠FAC+∠BAC=180°，
∴2∠PAC+∠BAC=180°。
【答案】
(1)①证明成立；②△AEF的周长为16；
(2)$2∠PAC+∠BAC=180°$，理由见上述解析。
【知识点】
等腰三角形判定、角平分线的性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形相关的性质定理，解题的核心是灵活运用角平分线、平行线的性质实现角和线段的等量转化，第(2)问通过作辅助线利用角平分线的性质得到角的等量关系是解题的突破口，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7