例1 清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”.其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k、k的一半的平方减1、k的一半的平方加1是一组勾股数.”
（1）按照这个法则，写出2组不同的勾股数，；(最大数不超过18)
（2）用等式表示这三个勾股数的数量关系并证明.
解析 (1)分别令k＝4、k＝6，再求出其余的数即可；
(2)分别用k表示出一组勾股数，再找出其数量关系即可.
答案 (1)3,4,5 6,8,10(答案不唯一)
(2)当k大于2时，$k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2 = [ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2$.证明如下：
$\because$左边$=k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2 =k^2 + ( \frac{1}{4}k^2 -1 )^2 =k^2 + \frac{1}{16}k^4 +1 - \frac{1}{2}k^2 = \frac{1}{16}k^4 + \frac{1}{2}k^2 +1$,
右边$=[ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2 = ( \frac{1}{4}k^2 +1 )^2 = \frac{1}{16}k^4 + \frac{1}{2}k^2 +1$, $\therefore$左边=右边，$\therefore$等式成立.
（1）按照这个法则，写出2组不同的勾股数，；(最大数不超过18)
（2）用等式表示这三个勾股数的数量关系并证明.
解析 (1)分别令k＝4、k＝6，再求出其余的数即可；
(2)分别用k表示出一组勾股数，再找出其数量关系即可.
答案 (1)3,4,5 6,8,10(答案不唯一)
(2)当k大于2时，$k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2 = [ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2$.证明如下：
$\because$左边$=k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2 =k^2 + ( \frac{1}{4}k^2 -1 )^2 =k^2 + \frac{1}{16}k^4 +1 - \frac{1}{2}k^2 = \frac{1}{16}k^4 + \frac{1}{2}k^2 +1$,
右边$=[ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2 = ( \frac{1}{4}k^2 +1 )^2 = \frac{1}{16}k^4 + \frac{1}{2}k^2 +1$, $\therefore$左边=右边，$\therefore$等式成立.
答案：解：
(1) 3,4,5；6,8,10（答案不唯一）
(2) 三个勾股数的数量关系为：当k是大于2的偶数时，
$k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2 = [ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2$
证明如下：
$\because$ 左边 $=k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2$
$=k^2 + ( \frac{1}{4}k^2 -1 )^2$
$=k^2 + \frac{1}{16}k^4 - \frac{1}{2}k^2 +1$
$=\frac{1}{16}k^4 + \frac{1}{2}k^2 +1$
右边 $=[ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2$
$=( \frac{1}{4}k^2 +1 )^2$
$=\frac{1}{16}k^4 + \frac{1}{2}k^2 +1$
$\therefore$ 左边=右边，
$\therefore$ 等式成立，即这三个数是一组勾股数。
(1) 3,4,5；6,8,10（答案不唯一）
(2) 三个勾股数的数量关系为：当k是大于2的偶数时，
$k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2 = [ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2$
证明如下：
$\because$ 左边 $=k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2$
$=k^2 + ( \frac{1}{4}k^2 -1 )^2$
$=k^2 + \frac{1}{16}k^4 - \frac{1}{2}k^2 +1$
$=\frac{1}{16}k^4 + \frac{1}{2}k^2 +1$
右边 $=[ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2$
$=( \frac{1}{4}k^2 +1 )^2$
$=\frac{1}{16}k^4 + \frac{1}{2}k^2 +1$
$\therefore$ 左边=右边，
$\therefore$ 等式成立，即这三个数是一组勾股数。
解析：
【分析】
（1）第一问需先理解“罗士琳法则”的规则：k是大于2的偶数，三个勾股数分别为k、$(\frac{1}{2}k)^2-1$、$(\frac{1}{2}k)^2+1$，结合最大数不超过18的要求，选取符合条件的k值代入计算即可得到勾股数；（2）第二问要验证三个数为勾股数，依据勾股定理的逆用，只需证明两个较小数的平方和等于最大数的平方，通过完全平方公式分别展开等式左右两边，化简后对比即可完成证明。
【解析】
(1) 当$k=4$时，$(\frac{4}{2})^2-1=3$，$(\frac{4}{2})^2+1=5$，得到勾股数3,4,5；当$k=6$时，$(\frac{6}{2})^2-1=8$，$(\frac{6}{2})^2+1=10$，得到勾股数6,8,10（答案不唯一，符合法则且最大数≤18即可）。
(2) 三个勾股数的数量关系为：当k是大于2的偶数时，$k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2 = [ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2$
证明如下：
$\because$ 左边$=k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2$
$=k^2 + ( \frac{1}{4}k^2 -1 )^2$
$=k^2 + \frac{1}{16}k^4 - \frac{1}{2}k^2 +1$
$=\frac{1}{16}k^4 + \frac{1}{2}k^2 +1$
右边$=[ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2$
$=( \frac{1}{4}k^2 +1 )^2$
$=\frac{1}{16}k^4 + \frac{1}{2}k^2 +1$
$\therefore$ 左边=右边，等式成立，即三个数满足勾股数的数量关系。
【答案】
(1) 3,4,5；6,8,10（答案不唯一）
(2) 数量关系为$k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2 = [ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2$（k为大于2的偶数），证明如上。
【知识点】
勾股数，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题以古代数学研究成果为背景，考查新定义理解与代数运算能力，既需要学生准确提取规则信息写出符合要求的勾股数，又需要熟练运用整式乘法验证勾股关系，兼具文化性与基础性。
【难度系数】
0.7
（1）第一问需先理解“罗士琳法则”的规则：k是大于2的偶数，三个勾股数分别为k、$(\frac{1}{2}k)^2-1$、$(\frac{1}{2}k)^2+1$，结合最大数不超过18的要求，选取符合条件的k值代入计算即可得到勾股数；（2）第二问要验证三个数为勾股数，依据勾股定理的逆用，只需证明两个较小数的平方和等于最大数的平方，通过完全平方公式分别展开等式左右两边，化简后对比即可完成证明。
【解析】
(1) 当$k=4$时，$(\frac{4}{2})^2-1=3$，$(\frac{4}{2})^2+1=5$，得到勾股数3,4,5；当$k=6$时，$(\frac{6}{2})^2-1=8$，$(\frac{6}{2})^2+1=10$，得到勾股数6,8,10（答案不唯一，符合法则且最大数≤18即可）。
(2) 三个勾股数的数量关系为：当k是大于2的偶数时，$k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2 = [ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2$
证明如下：
$\because$ 左边$=k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2$
$=k^2 + ( \frac{1}{4}k^2 -1 )^2$
$=k^2 + \frac{1}{16}k^4 - \frac{1}{2}k^2 +1$
$=\frac{1}{16}k^4 + \frac{1}{2}k^2 +1$
右边$=[ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2$
$=( \frac{1}{4}k^2 +1 )^2$
$=\frac{1}{16}k^4 + \frac{1}{2}k^2 +1$
$\therefore$ 左边=右边，等式成立，即三个数满足勾股数的数量关系。
【答案】
(1) 3,4,5；6,8,10（答案不唯一）
(2) 数量关系为$k^2 + [ ( \frac{1}{2}k )^2 -1 ]^2 = [ ( \frac{1}{2}k )^2 +1 ]^2$（k为大于2的偶数），证明如上。
【知识点】
勾股数，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题以古代数学研究成果为背景，考查新定义理解与代数运算能力，既需要学生准确提取规则信息写出符合要求的勾股数，又需要熟练运用整式乘法验证勾股关系，兼具文化性与基础性。
【难度系数】
0.7
1. (2025·无锡江阴期末)我国古代称直角三角形为“勾股形”.如图,数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.若$a=10,b=2$,则此勾股形的面积为(
A.28
B.30
C.32
D.36
B
).A.28
B.30
C.32
D.36
答案：
B [解析]如图,设阴影部分的直角三角形的较长直角边边长为$x$,则$BC=x+b,AC=x+a,BA=a+b$,由勾股定理得$(x+b)^{2}+(a+b)^{2}=(x+a)^{2}$.
$\because a=10,b=2, \therefore(x+2)^{2}+(10+2)^{2}=(x+10)^{2}$,
解得$x=3$,
$\therefore BC=3+2=5,AB=10+2=12$,
$\therefore △ ABC$的面积$=\frac{1}{2} × 12 × 5=30$.故选B.
B [解析]如图,设阴影部分的直角三角形的较长直角边边长为$x$,则$BC=x+b,AC=x+a,BA=a+b$,由勾股定理得$(x+b)^{2}+(a+b)^{2}=(x+a)^{2}$.
$\because a=10,b=2, \therefore(x+2)^{2}+(10+2)^{2}=(x+10)^{2}$,
解得$x=3$,
$\therefore BC=3+2=5,AB=10+2=12$,
$\therefore △ ABC$的面积$=\frac{1}{2} × 12 × 5=30$.故选B.
解析：
【分析】
解决这道题首先要结合图形特征和已知条件分析边的关系：图中有两对全等的直角三角形，对应边长度相等，我们可以设正方形的边长（即阴影直角三角形的较长直角边）为x，用x、a、b表示出大直角三角形的三条边，再利用直角三角形的勾股定理列方程求解x，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设阴影部分直角三角形的较长直角边长为x（即正方形边长为x），根据全等三角形对应边相等可得：
大直角三角形ABC的直角边$BC=x+b$，$AB=a+b$，斜边$AC=x+a$。
因为$△ ABC$是直角三角形，由勾股定理得：
$(x+b)^{2}+(a+b)^{2}=(x+a)^{2}$
将$a=10$，$b=2$代入上式：
$(x+2)^{2}+(10+2)^{2}=(x+10)^{2}$
展开得：$x^2+4x+4+144=x^2+20x+100$
移项、合并同类项得：$16x=48$
解得：$x=3$
因此$BC=3+2=5$，$AB=10+2=12$，
$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 12 × 5=30$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；全等三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题依托我国古代数学中勾股形的分割模型，考查勾股定理的应用，解题核心是利用全等三角形的性质建立各边的数量关系，通过方程思想求解未知边长，能有效考查学生数形结合的能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要结合图形特征和已知条件分析边的关系：图中有两对全等的直角三角形，对应边长度相等，我们可以设正方形的边长（即阴影直角三角形的较长直角边）为x，用x、a、b表示出大直角三角形的三条边，再利用直角三角形的勾股定理列方程求解x，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设阴影部分直角三角形的较长直角边长为x（即正方形边长为x），根据全等三角形对应边相等可得：
大直角三角形ABC的直角边$BC=x+b$，$AB=a+b$，斜边$AC=x+a$。
因为$△ ABC$是直角三角形，由勾股定理得：
$(x+b)^{2}+(a+b)^{2}=(x+a)^{2}$
将$a=10$，$b=2$代入上式：
$(x+2)^{2}+(10+2)^{2}=(x+10)^{2}$
展开得：$x^2+4x+4+144=x^2+20x+100$
移项、合并同类项得：$16x=48$
解得：$x=3$
因此$BC=3+2=5$，$AB=10+2=12$，
$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 12 × 5=30$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；全等三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题依托我国古代数学中勾股形的分割模型，考查勾股定理的应用，解题核心是利用全等三角形的性质建立各边的数量关系，通过方程思想求解未知边长，能有效考查学生数形结合的能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
例2（2025·山东聊城期末）随着中国科技、经济的不断发展，5G信号覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现.如图，有一辆汽车沿直线AB方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个5G信号源，且点C到点A和点B的距离分别为60 m和80 m，且AB=100 m，信号源中心周围50 m及以内可以接收到5G信号.
（1）汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号吗？为什么？
（2）若汽车的速度为10 m/s，请问有多长时间可以接收到5G信号？
解析（1）过点C作CD⊥AB于点D，由AC，BC，AB的长，可得出$AC^2+BC^2=AB^2$，进而可得出$∠ACB=90°$，再结合三角形的面积公式，即可求出CD的长，由该值小于50 m，即可得出汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号；
（2）设点E，F在直线AB上，且$CE=CF=50 m$，利用勾股定理，可求出DE的长，进而可得出DF，EF的长，再利用时间=路程÷速度，即可求出结论.
答案（1）汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号.理由如下：
过点C作CD⊥AB于点D，如图(1)所示.
∵$AC=60 m$，$BC=80 m$，$AB=100 m$，$60^2+80^2=100^2$，
∴$AC^2+BC^2=AB^2$，
∴$∠ACB=90°$，
∴$CD=\frac{\frac{1}{2}AC·BC}{\frac{1}{2}AB}=\frac{\frac{1}{2}×60×80}{\frac{1}{2}×100}=48(m)$.
∵$48 m＜50 m$，
∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号.
（2）设点E，F在直线AB上，且$CE=CF=50 m$，如图(2)所示.
在$Rt△CDE$中，$CD=48 m$，$CE=50 m$，
∴$DE=\sqrt{CE^2 - CD^2}=\sqrt{50^2 - 48^2}=14(m)$，
同理$DF=DE=14 m$，
∴$EF=DE+DF=14+14=28(m)$，
∴$28÷10=2.8(s)$.
故有2.8 s可以接收到5G信号.
点拨 本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积，解题的关键是：(1)利用面积法，求出点C到AB的距离；(2)利用勾股定理，求出在直线AB上能接收到5G信号的长度.
（1）汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号吗？为什么？
（2）若汽车的速度为10 m/s，请问有多长时间可以接收到5G信号？
解析（1）过点C作CD⊥AB于点D，由AC，BC，AB的长，可得出$AC^2+BC^2=AB^2$，进而可得出$∠ACB=90°$，再结合三角形的面积公式，即可求出CD的长，由该值小于50 m，即可得出汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号；
（2）设点E，F在直线AB上，且$CE=CF=50 m$，利用勾股定理，可求出DE的长，进而可得出DF，EF的长，再利用时间=路程÷速度，即可求出结论.
答案（1）汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号.理由如下：
过点C作CD⊥AB于点D，如图(1)所示.
∵$AC=60 m$，$BC=80 m$，$AB=100 m$，$60^2+80^2=100^2$，
∴$AC^2+BC^2=AB^2$，
∴$∠ACB=90°$，
∴$CD=\frac{\frac{1}{2}AC·BC}{\frac{1}{2}AB}=\frac{\frac{1}{2}×60×80}{\frac{1}{2}×100}=48(m)$.
∵$48 m＜50 m$，
∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号.
（2）设点E，F在直线AB上，且$CE=CF=50 m$，如图(2)所示.
在$Rt△CDE$中，$CD=48 m$，$CE=50 m$，
∴$DE=\sqrt{CE^2 - CD^2}=\sqrt{50^2 - 48^2}=14(m)$，
同理$DF=DE=14 m$，
∴$EF=DE+DF=14+14=28(m)$，
∴$28÷10=2.8(s)$.
故有2.8 s可以接收到5G信号.
点拨 本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积，解题的关键是：(1)利用面积法，求出点C到AB的距离；(2)利用勾股定理，求出在直线AB上能接收到5G信号的长度.
答案：解：
(1) 汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号，理由如下：
过点C作$CD⊥ AB$于点D。
$\because AC=60\ \mathrm{m}$，$BC=80\ \mathrm{m}$，$AB=100\ \mathrm{m}$，
$\therefore 60^2 + 80^2 = 100^2$，即$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
$\therefore ∠ ACB=90°$。
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，可得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{60×80}{100}=48\ \mathrm{m}$。
$\because 48\ \mathrm{m}＜50\ \mathrm{m}$，即点C到AB的最短距离小于50 m，
$\therefore$ 汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号。
(2) 设点E、F在直线AB上，且$CE=CF=50\ \mathrm{m}$，即E、F为汽车接收5G信号的起止点。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$CD=48\ \mathrm{m}$，$CE=50\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CE^2 - CD^2}=\sqrt{50^2 - 48^2}=14\ \mathrm{m}$。
$\because CE=CF$，$CD⊥ AB$，
$\therefore DF=DE=14\ \mathrm{m}$，
$\therefore EF=DE+DF=14+14=28\ \mathrm{m}$。
汽车速度为$10\ \mathrm{m/s}$，因此接收5G信号的时间为$28÷10=2.8\ \mathrm{s}$。
答：(1) 汽车从A向B行驶过程中可以接收到5G信号；(2) 汽车有2.8 s的时间可以接收到5G信号。
(1) 汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号，理由如下：
过点C作$CD⊥ AB$于点D。
$\because AC=60\ \mathrm{m}$，$BC=80\ \mathrm{m}$，$AB=100\ \mathrm{m}$，
$\therefore 60^2 + 80^2 = 100^2$，即$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
$\therefore ∠ ACB=90°$。
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，可得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{60×80}{100}=48\ \mathrm{m}$。
$\because 48\ \mathrm{m}＜50\ \mathrm{m}$，即点C到AB的最短距离小于50 m，
$\therefore$ 汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号。
(2) 设点E、F在直线AB上，且$CE=CF=50\ \mathrm{m}$，即E、F为汽车接收5G信号的起止点。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$CD=48\ \mathrm{m}$，$CE=50\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CE^2 - CD^2}=\sqrt{50^2 - 48^2}=14\ \mathrm{m}$。
$\because CE=CF$，$CD⊥ AB$，
$\therefore DF=DE=14\ \mathrm{m}$，
$\therefore EF=DE+DF=14+14=28\ \mathrm{m}$。
汽车速度为$10\ \mathrm{m/s}$，因此接收5G信号的时间为$28÷10=2.8\ \mathrm{s}$。
答：(1) 汽车从A向B行驶过程中可以接收到5G信号；(2) 汽车有2.8 s的时间可以接收到5G信号。
解析：
【分析】
（1）判断汽车能否接收到5G信号，核心是比较信号源C到行驶路线AB的最短距离与50m的大小关系。首先根据△ABC的三边长，利用勾股定理逆定理可判定△ABC为直角三角形，再通过直角三角形的两种面积计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），求出AB边上的高CD，若CD≤50m则能接收到信号，反之则不能。
（2）求接收信号的时长，需先求出AB上可接收信号的路段长度：在AB上取E、F两点，使得CE=CF=50m，线段EF即为能接收到信号的行驶路段。结合CD⊥EF，在Rt△CDE中用勾股定理求出DE的长度，再由等腰三角形“三线合一”得DF=DE，即可得到EF的总长度，最后根据“时间=路程÷速度”计算出接收信号的时长。
【解析】
(1) 汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号，理由如下：
过点C作$CD⊥ AB$于点D。
$\because AC=60\ \mathrm{m}$，$BC=80\ \mathrm{m}$，$AB=100\ \mathrm{m}$，
$\therefore 60^2 + 80^2 = 100^2$，即$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
$\therefore ∠ ACB=90°$。
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，可得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{60×80}{100}=48\ \mathrm{m}$。
$\because 48\ \mathrm{m}＜50\ \mathrm{m}$，即点C到AB的最短距离小于50 m，
$\therefore$ 汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号。
(2) 设点E、F在直线AB上，且$CE=CF=50\ \mathrm{m}$，即E、F为汽车接收5G信号的起止点。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$CD=48\ \mathrm{m}$，$CE=50\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CE^2 - CD^2}=\sqrt{50^2 - 48^2}=14\ \mathrm{m}$。
$\because CE=CF$，$CD⊥ AB$，
$\therefore DF=DE=14\ \mathrm{m}$，
$\therefore EF=DE+DF=14+14=28\ \mathrm{m}$。
汽车速度为$10\ \mathrm{m/s}$，因此接收5G信号的时间为$28÷10=2.8\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1) 汽车从A向B行驶过程中可以接收到5G信号；(2) 汽车有2.8 s的时间可以接收到5G信号
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题结合5G信号的生活场景考查勾股定理的实际应用，解题时需将实际问题转化为几何问题，通过边长关系判断三角形形状，再利用垂线段最短、勾股定理求解相关长度，注重对知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）判断汽车能否接收到5G信号，核心是比较信号源C到行驶路线AB的最短距离与50m的大小关系。首先根据△ABC的三边长，利用勾股定理逆定理可判定△ABC为直角三角形，再通过直角三角形的两种面积计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），求出AB边上的高CD，若CD≤50m则能接收到信号，反之则不能。
（2）求接收信号的时长，需先求出AB上可接收信号的路段长度：在AB上取E、F两点，使得CE=CF=50m，线段EF即为能接收到信号的行驶路段。结合CD⊥EF，在Rt△CDE中用勾股定理求出DE的长度，再由等腰三角形“三线合一”得DF=DE，即可得到EF的总长度，最后根据“时间=路程÷速度”计算出接收信号的时长。
【解析】
(1) 汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号，理由如下：
过点C作$CD⊥ AB$于点D。
$\because AC=60\ \mathrm{m}$，$BC=80\ \mathrm{m}$，$AB=100\ \mathrm{m}$，
$\therefore 60^2 + 80^2 = 100^2$，即$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
$\therefore ∠ ACB=90°$。
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，可得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{60×80}{100}=48\ \mathrm{m}$。
$\because 48\ \mathrm{m}＜50\ \mathrm{m}$，即点C到AB的最短距离小于50 m，
$\therefore$ 汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号。
(2) 设点E、F在直线AB上，且$CE=CF=50\ \mathrm{m}$，即E、F为汽车接收5G信号的起止点。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$CD=48\ \mathrm{m}$，$CE=50\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CE^2 - CD^2}=\sqrt{50^2 - 48^2}=14\ \mathrm{m}$。
$\because CE=CF$，$CD⊥ AB$，
$\therefore DF=DE=14\ \mathrm{m}$，
$\therefore EF=DE+DF=14+14=28\ \mathrm{m}$。
汽车速度为$10\ \mathrm{m/s}$，因此接收5G信号的时间为$28÷10=2.8\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1) 汽车从A向B行驶过程中可以接收到5G信号；(2) 汽车有2.8 s的时间可以接收到5G信号
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题结合5G信号的生活场景考查勾股定理的实际应用，解题时需将实际问题转化为几何问题，通过边长关系判断三角形形状，再利用垂线段最短、勾股定理求解相关长度，注重对知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.7