【分析】
首先，题目给出了三角形三边的等量关系，我们可以先利用整式运算中的平方差公式化简这个等式，得到三边的平方关系；再结合勾股定理的逆定理判断出三角形的斜边，斜边所对的角就是直角，解题时要注意三角形中边与对角的对应关系，不要混淆二者的对应位置。
【解析】
已知$(a+b)(a-b)=c^2$，根据平方差公式展开左边可得：
$a^2 - b^2 = c^2$，
移项整理得：$a^2 = b^2 + c^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且边$a$为斜边，
又因为边$a$是$∠ A$的对边，所以$∠ A$为直角。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的常规应用，结合了整式乘法的基础公式，解题的核心是先化简边的等量关系，再准确对应边与对角的位置，避免因混淆边和角的对应关系选错答案。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决本题，首先明确两个核心知识点：勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。由于题目未明确给出6和8是直角边还是斜边，且斜边是直角三角形中最长的边，6小于8不可能为斜边，因此需分两种情况讨论：①6和8均为直角边；②8为斜边、6为直角边，分别求出斜边长度后即可计算斜边上的中线长。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当6和8为直角三角形的两条直角边时，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$，根据直角三角形斜边中线的性质，斜边上的中线长为$\frac{1}{2}×10=5$。
2. 当8为直角三角形的斜边时，直接根据斜边中线的性质，斜边上的中线长为$\frac{1}{2}×8=4$。
因此斜边上的中线长为4或5，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题容易因默认6和8均为直角边而漏解，解题时遇到边长未明确角色的几何题，要注意结合边长大小分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
要确定正确命题的个数，需逐个分析4个命题：①直角三角形中已知两边求第三边时，要先明确已知边是否为斜边，需分类讨论，避免默认4为直角边导致漏解；②使用勾股定理逆定理时，哪条边的平方等于另外两边的平方和，这条边对应的角就是直角，要对应好边和角的关系；③已知三角形三个内角的比例，可结合三角形内角和为180°求出最大角的度数，判断是否为直角；④已知三边的比例，可设参数表示三边长，再用勾股定理逆定理验证是否满足两边平方和等于第三边平方即可。
【解析】
①在直角三角形中，已知两边长为3和4，若3、4均为直角边，则第三边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$；若4为斜边，则第三边长为$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，故第三边长为5或$\sqrt{7}$，①错误；
②若三角形的三边$a,b,c$满足$a^2 + c^2 = b^2$，则边$b$为斜边，对应的$∠B=90°$，故②错误；
③在$△ABC$中，若$∠A:∠B:∠C=1:2:3$，设$∠A=x, ∠B=2x, ∠C=3x$，由三角形内角和为180°得：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠C=3x=90°$，所以$△ABC$是直角三角形，故③正确；
④在$△ABC$中，若$a:b:c=1:\sqrt{3}:2$，设$a=x$，$b=\sqrt{3}x$，$c=2x$，则$a^2 + b^2 = x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 4x^2$，$c^2=(2x)^2=4x^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$，符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形是直角三角形，故④正确。
综上，正确的命题共2个。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形相关性质的基础判断题，解题时需注意两点：一是应用勾股定理时要先明确斜边，避免因分类讨论不全出错；二是使用勾股定理逆定理时要对应好斜边和直角的位置关系，不要混淆边与角的对应关系。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题中BC边上的高AD的位置不确定，需分两种情况讨论：①高AD在△ABC内部（此时△ABC为锐角三角形）；②高AD在△ABC外部（此时△ABC为钝角三角形）。两种情况都可先在两个直角三角形中利用勾股定理分别求出BD、CD的长度，再结合图形得到BC的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，
∵ $AD⊥ BC$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{15^2 - 12^2}=9$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2 - AD^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=5$，
∴ $BC=BD+CD=9+5=14$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×14×12=84$。
② 当高AD在△ABC外部时，
∵ $AD⊥ BC$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{15^2 - 12^2}=9$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2 - AD^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=5$，
∴ $BC=BD-CD=9-5=4$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×4×12=24$。
综上，$△ ABC$的面积为84或24。
【答案】
84或24
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况，仅算出面积为84导致漏解。解题时要结合题意画出所有可能的图形，分情况讨论，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.6

【分析】
题目仅给出直角三角形的两条边长为5和13，未明确说明这两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论求解：第一种情况是第三边为斜边，此时5和13均为直角边；第二种情况是长度为13的边为斜边，此时5和第三边均为直角边，再分别结合勾股定理计算第三边的平方即可。
【解析】
本题分两种情况计算：
①当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的平方为$5^2 + 13^2 = 25 + 169 = 194$；
②当长度为13的边是斜边时，第三边为直角边，根据勾股定理，第三边的平方为$13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$。
综上，第三边的平方是144或194，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略题干未明确两条边的类型，漏记分类讨论导致少解，解题时要注意直角三角形中未明确斜边的情况下，要先对已知边的角色进行分类再计算。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题未给出△ABC的具体形状，BC边上的高AD的位置存在两种可能：在三角形内部（对应锐角三角形）或在三角形外部（对应钝角三角形），因此需要分类讨论求解。首先在Rt△ABD和Rt△ACD中利用勾股定理分别求出BD、CD的长度，再结合两种情况计算BC的长，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
①当△ABC为锐角三角形时，如图(1)所示，$AD⊥BC$，$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt} △ ABD$中，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20$，
在$\mathrm{Rt} △ ACD$中，根据勾股定理：
$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8$，
$\therefore BC=BD+CD=20+8=28$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AD=\frac{1}{2} × 28 × 15=210$；
②当△ABC为钝角三角形时，如图(2)所示，$AD⊥BC$的延长线于点D。
在$\mathrm{Rt} △ ABD$中，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20$，
在$\mathrm{Rt} △ ACD$中，根据勾股定理：
$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8$，
$\therefore BC=BD-CD=20-8=12$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AD=\frac{1}{2} × 12 × 15=90$。
综上所述，$△ ABC$的面积为210或90。
【答案】
210或90

【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略高的位置的不确定性，只考虑锐角三角形的情况导致漏解。解题时要结合题意分类讨论，运用勾股定理求出对应底边长度后，再代入面积公式计算即可。
【难度系数】
0.6