例8（2026·南京期末）如图，在$△ ABC$中，D在边BC上，连接AD，$AB=13$，$AC=20$，$AD=12$，$BD=5$。
（1）求证：$AD ⊥ BC$；
（2）求$△ ABC$的面积。
名师启发 （1）先利用勾股定理的逆定理证明$△ ABD$是直角三角形，从而可得$∠ ADB=90°$，进而可得$AD ⊥ BC$，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得$∠ ADC=90°$，然后在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，利用勾股定理可求出$CD$的长，从而求出$BC$的长，最后利用三角形的面积进行计算即可解答。
（1）求证：$AD ⊥ BC$；
（2）求$△ ABC$的面积。
名师启发 （1）先利用勾股定理的逆定理证明$△ ABD$是直角三角形，从而可得$∠ ADB=90°$，进而可得$AD ⊥ BC$，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得$∠ ADC=90°$，然后在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，利用勾股定理可求出$CD$的长，从而求出$BC$的长，最后利用三角形的面积进行计算即可解答。
答案：(1)$\because AD=12,BD=5,AB=13$,
$\therefore AD^{2}+BD^{2}=12^{2}+5^{2}=169,AB^{2}=13^{2}=169$,
$\therefore AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$,
$\therefore △ ABD$是直角三角形,
$\therefore ∠ ADB=90°, \therefore AD ⊥ BC$.
(2)$\because AD ⊥ BC, \therefore ∠ ADC=90°$.
$\because AD=12,AC=20$,
$\therefore CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16$,
$\therefore BC=BD+CD=5+16=21$,
$\therefore △ ABC$的面积为$\frac{1}{2}BC · AD=\frac{1}{2} × 21 × 12=126$.
$\therefore AD^{2}+BD^{2}=12^{2}+5^{2}=169,AB^{2}=13^{2}=169$,
$\therefore AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$,
$\therefore △ ABD$是直角三角形,
$\therefore ∠ ADB=90°, \therefore AD ⊥ BC$.
(2)$\because AD ⊥ BC, \therefore ∠ ADC=90°$.
$\because AD=12,AC=20$,
$\therefore CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16$,
$\therefore BC=BD+CD=5+16=21$,
$\therefore △ ABC$的面积为$\frac{1}{2}BC · AD=\frac{1}{2} × 21 × 12=126$.
解析：
【分析】
（1）要证明$AD⊥ BC$，即证明$∠ ADB=90°$，已知$△ ABD$的三边长，可通过勾股定理的逆定理判断：验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则最长边所对的角为直角，即可得到垂直结论。
（2）由（1）的垂直结论可知$△ ADC$是直角三角形，已知$AC$和$AD$的长度，用勾股定理求出$CD$的长度，再计算$BC$的总长度，最后根据三角形面积公式，以$BC$为底、$AD$为高计算$△ ABC$的面积即可。
【解析】
（1）证明：$\because AD=12,BD=5,AB=13$，
$\therefore AD^{2}+BD^{2}=12^{2}+5^{2}=144+25=169$，$AB^{2}=13^{2}=169$，
$\therefore AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，
$\therefore △ ABD$是直角三角形，且$∠ ADB=90°$，
$\therefore AD ⊥ BC$。
（2）解：$\because AD ⊥ BC$，$\therefore ∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=12,AC=20$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$，
$\therefore BC=BD+CD=5+16=21$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AD=\frac{1}{2} × 21 × 12=126$。
【答案】
（1）已证$AD ⊥ BC$；
（2）$△ ABC$的面积为$\boxed{126}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的常规题型，解题核心是先通过勾股定理的逆定理得到垂直关系，再利用勾股定理求解未知边长，最终计算面积，能够有效考查学生对勾股定理及其逆定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$AD⊥ BC$，即证明$∠ ADB=90°$，已知$△ ABD$的三边长，可通过勾股定理的逆定理判断：验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则最长边所对的角为直角，即可得到垂直结论。
（2）由（1）的垂直结论可知$△ ADC$是直角三角形，已知$AC$和$AD$的长度，用勾股定理求出$CD$的长度，再计算$BC$的总长度，最后根据三角形面积公式，以$BC$为底、$AD$为高计算$△ ABC$的面积即可。
【解析】
（1）证明：$\because AD=12,BD=5,AB=13$，
$\therefore AD^{2}+BD^{2}=12^{2}+5^{2}=144+25=169$，$AB^{2}=13^{2}=169$，
$\therefore AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，
$\therefore △ ABD$是直角三角形，且$∠ ADB=90°$，
$\therefore AD ⊥ BC$。
（2）解：$\because AD ⊥ BC$，$\therefore ∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=12,AC=20$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$，
$\therefore BC=BD+CD=5+16=21$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AD=\frac{1}{2} × 21 × 12=126$。
【答案】
（1）已证$AD ⊥ BC$；
（2）$△ ABC$的面积为$\boxed{126}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的常规题型，解题核心是先通过勾股定理的逆定理得到垂直关系，再利用勾股定理求解未知边长，最终计算面积，能够有效考查学生对勾股定理及其逆定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
例9 (2026·苏州期末)某型号推拉式窗户如图(1)所示,当窗户关闭时点A与点B重合.窗户拉开时,如图(2),AB=15 cm,此时,窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了2 cm,则该窗户的高OA为(
A.57 cm
B.56.25 cm
C.54 cm
D.58.25 cm
名师启发 结合勾股定理,可计算出BC的长度,令OB=x cm,则OC=(x−2)cm,根据$OB^2=BC^2+OC^2$可得方程,解出方程即可
B
).A.57 cm
B.56.25 cm
C.54 cm
D.58.25 cm
名师启发 结合勾股定理,可计算出BC的长度,令OB=x cm,则OC=(x−2)cm,根据$OB^2=BC^2+OC^2$可得方程,解出方程即可
答案：B [解析]根据题意,可得$AB=15\ \mathrm{cm},AC=2\ \mathrm{cm}, \therefore BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=221$.
令$OB=x\ \mathrm{cm}$,则$OC=(x-2)\mathrm{cm}$,
由勾股定理可得$OB^{2}=BC^{2}+OC^{2}$,
即$x^{2}=221+(x-2)^{2}$,
解得$x=\frac{225}{4}=56.25$.故选B.
令$OB=x\ \mathrm{cm}$,则$OC=(x-2)\mathrm{cm}$,
由勾股定理可得$OB^{2}=BC^{2}+OC^{2}$,
即$x^{2}=221+(x-2)^{2}$,
解得$x=\frac{225}{4}=56.25$.故选B.
解析：
【分析】
解题时先将实际场景转化为几何问题：首先明确窗户关闭时A、B重合，因此窗户的高OA=OB。窗户拉开后，B点升高2cm即AC=2cm，已知AB=15cm，可先在含AB、AC的直角三角形中求出BC²；再在Rt△OCB中，设OB=x cm，可得OC=(x-2)cm，利用勾股定理列一元一次方程求解即可得到OA的长度。
【解析】
解：由题意可知，窗户关闭时A、B重合，因此$OA=OB$，$AC=2\ \mathrm{cm}$，$AB=15\ \mathrm{cm}$，$∠ OCB=90°$。
先在由A、B、C组成的直角三角形中，由勾股定理得：
$BC^2=AB^2-AC^2=15^2-2^2=225-4=221$
设$OB=x\ \mathrm{cm}$，则$OC=OB-AC=(x-2)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCB$中，根据勾股定理$OB^2=OC^2+BC^2$，代入得：
$x^2=221+(x-2)^2$
展开右侧：$x^2=221+x^2-4x+4$
移项化简得：$4x=225$
解得$x=\frac{225}{4}=56.25$，即$OA=OB=56.25\ \mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、一元一次方程应用、实际问题几何建模
【点评】
本题结合生活中推拉窗户的实际场景命题，解题的关键是抓住“窗户边长不变”这一隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，通过列方程求解，有效考查了学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先将实际场景转化为几何问题：首先明确窗户关闭时A、B重合，因此窗户的高OA=OB。窗户拉开后，B点升高2cm即AC=2cm，已知AB=15cm，可先在含AB、AC的直角三角形中求出BC²；再在Rt△OCB中，设OB=x cm，可得OC=(x-2)cm，利用勾股定理列一元一次方程求解即可得到OA的长度。
【解析】
解：由题意可知，窗户关闭时A、B重合，因此$OA=OB$，$AC=2\ \mathrm{cm}$，$AB=15\ \mathrm{cm}$，$∠ OCB=90°$。
先在由A、B、C组成的直角三角形中，由勾股定理得：
$BC^2=AB^2-AC^2=15^2-2^2=225-4=221$
设$OB=x\ \mathrm{cm}$，则$OC=OB-AC=(x-2)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCB$中，根据勾股定理$OB^2=OC^2+BC^2$，代入得：
$x^2=221+(x-2)^2$
展开右侧：$x^2=221+x^2-4x+4$
移项化简得：$4x=225$
解得$x=\frac{225}{4}=56.25$，即$OA=OB=56.25\ \mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、一元一次方程应用、实际问题几何建模
【点评】
本题结合生活中推拉窗户的实际场景命题，解题的关键是抓住“窗户边长不变”这一隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，通过列方程求解，有效考查了学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7