例5 (2026·苏州高新区期末)三国时代东吴数学家赵爽在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”(如图(1))，并给出了勾股定理的证明。已知，图(2)中涂色部分是直角边长为a,b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图(2)利用割补的方法验证勾股定理。
名师启发 本题的难点在于用不同的方式表示图形的面积。图(2)可看作一个正方形的面积与两个全等的直角三角形的和，也可看作两个梯形的和。由面积的和差关系即可证明。
名师启发 本题的难点在于用不同的方式表示图形的面积。图(2)可看作一个正方形的面积与两个全等的直角三角形的和，也可看作两个梯形的和。由面积的和差关系即可证明。
答案：$\because$题图(2)中整个图形的面积$=c^{2}+2 × \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+b) · b+\frac{1}{2}(a+a+b) · a$,
$\therefore c^{2}+ab=\frac{1}{2}ab+b^{2}+a^{2}+\frac{1}{2}ab$,
$\therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
$\therefore c^{2}+ab=\frac{1}{2}ab+b^{2}+a^{2}+\frac{1}{2}ab$,
$\therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
解析：
【分析】
要验证勾股定理，需推导出直角三角形三边的关系$a^2+b^2=c^2$，本题采用面积法求解，思路如下：首先观察图形，用两种不同的方法表示图(2)的总面积：第一种是将图形拆分为1个边长为$c$的正方形和2个直角边为$a、b$的直角三角形，求和得到总面积；第二种是沿虚线把图形割成两个直角梯形，分别计算两个梯形的面积再相加得到总面积。再令两个总面积的表达式相等，化简后即可得到$a、b、c$的数量关系，完成验证。
【解析】
$\because$ 题图(2)中整个图形的面积可以用两种方式表示：
一种是边长为$c$的正方形加2个直角边为$a、b$的直角三角形的面积和，即$c^2+2×\frac{1}{2}ab$；
另一种是分割成的两个直角梯形的面积和，即$\frac{1}{2}(a+b+b)·b+\frac{1}{2}(a+a+b)·a$；
$\therefore c^2+2×\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+b)·b+\frac{1}{2}(a+a+b)·a$，
化简得：$c^2+ab=\frac{1}{2}ab+b^2+a^2+\frac{1}{2}ab$，
等式两边同时减去$ab$，可得$c^2=a^2+b^2$，勾股定理得证。
【答案】
$c^2=a^2+b^2$
【知识点】
勾股定理验证、面积法、割补法
【点评】
本题是勾股定理验证的经典题型，通过割补法对同一图形进行不同形式的面积表示，建立等式推导结论，体现了数形结合的数学思想，能帮助学生理解面积法在几何证明中的应用。
【难度系数】
0.7
要验证勾股定理，需推导出直角三角形三边的关系$a^2+b^2=c^2$，本题采用面积法求解，思路如下：首先观察图形，用两种不同的方法表示图(2)的总面积：第一种是将图形拆分为1个边长为$c$的正方形和2个直角边为$a、b$的直角三角形，求和得到总面积；第二种是沿虚线把图形割成两个直角梯形，分别计算两个梯形的面积再相加得到总面积。再令两个总面积的表达式相等，化简后即可得到$a、b、c$的数量关系，完成验证。
【解析】
$\because$ 题图(2)中整个图形的面积可以用两种方式表示：
一种是边长为$c$的正方形加2个直角边为$a、b$的直角三角形的面积和，即$c^2+2×\frac{1}{2}ab$；
另一种是分割成的两个直角梯形的面积和，即$\frac{1}{2}(a+b+b)·b+\frac{1}{2}(a+a+b)·a$；
$\therefore c^2+2×\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+b)·b+\frac{1}{2}(a+a+b)·a$，
化简得：$c^2+ab=\frac{1}{2}ab+b^2+a^2+\frac{1}{2}ab$，
等式两边同时减去$ab$，可得$c^2=a^2+b^2$，勾股定理得证。
【答案】
$c^2=a^2+b^2$
【知识点】
勾股定理验证、面积法、割补法
【点评】
本题是勾股定理验证的经典题型，通过割补法对同一图形进行不同形式的面积表示，建立等式推导结论，体现了数形结合的数学思想，能帮助学生理解面积法在几何证明中的应用。
【难度系数】
0.7
例6 如图，小区有一块三角形空地$ABC$，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路$AD$，$DE$隔开，$E$是$AB$的中点。经测量$AB=15\ \mathrm{m}$，$AC=13\ \mathrm{m}$，$AD=12\ \mathrm{m}$，$DC=5\ \mathrm{m}$。
(1)求$BD$的长；
(2)求小路$DE$的长。
名师启发 (1)利用勾股定理的逆定理判定$△ ADC$为直角三角形，再利用勾股定理解答即可；
(2)利用直角三角形的性质解答即可。
(1)求$BD$的长；
(2)求小路$DE$的长。
名师启发 (1)利用勾股定理的逆定理判定$△ ADC$为直角三角形，再利用勾股定理解答即可；
(2)利用直角三角形的性质解答即可。
答案：(1)$\because AC=13\ \mathrm{m},AD=12\ \mathrm{m},DC=5\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC^{2}=169,AD^{2}+CD^{2}=144+25=169$,
$\therefore AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$,
$\therefore ∠ ADC=90°$,
$\therefore ∠ ADB=90°$,
$\therefore BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9(\mathrm{m})$.
故$BD$的长为$9\ \mathrm{m}$.
(2)由(1)知$∠ ADB=90°$.
$\because E$是$AB$的中点,
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 15=7.5(\mathrm{m})$.
故小路$DE$的长为$7.5\ \mathrm{m}$.
$\therefore AC^{2}=169,AD^{2}+CD^{2}=144+25=169$,
$\therefore AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$,
$\therefore ∠ ADC=90°$,
$\therefore ∠ ADB=90°$,
$\therefore BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9(\mathrm{m})$.
故$BD$的长为$9\ \mathrm{m}$.
(2)由(1)知$∠ ADB=90°$.
$\because E$是$AB$的中点,
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 15=7.5(\mathrm{m})$.
故小路$DE$的长为$7.5\ \mathrm{m}$.
解析：
【分析】
(1) 要求BD的长，先观察BD所在的△ABD，若能判定△ABD为直角三角形，即可用勾股定理计算。首先分析已知三边长的△ADC：先计算三边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，若满足即可推出∠ADC=90°，进而得到邻补角∠ADB=90°，最后在Rt△ABD中代入已知的AB、AD长度，用勾股定理求BD即可。
(2) 要求DE的长，已知E是AB的中点，结合(1)已证△ADB是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，直接代入AB的长度计算即可。
【解析】
(1) $\because AC=13\ \mathrm{m},AD=12\ \mathrm{m},DC=5\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC^{2}=13^2=169,AD^{2}+CD^{2}=12^2+5^2=144+25=169$,
$\therefore AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$,
根据勾股定理的逆定理可得$△ ADC$为直角三角形，且$∠ ADC=90°$,
$\therefore ∠ ADB=180°-∠ ADC=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=\sqrt{81}=9(\mathrm{m})$.
(2) 由(1)知$∠ ADB=90°$，即$△ ADB$为直角三角形.
$\because E$是$AB$的中点,
根据直角三角形斜边中线的性质可得：
$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 15=7.5(\mathrm{m})$.
【答案】
(1) $BD$的长为$9\ \mathrm{m}$；
(2) 小路$DE$的长为$7.5\ \mathrm{m}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是勾股定理相关知识的基础综合应用题，解题的突破口是先通过勾股定理的逆定理判定直角三角形，再依次结合勾股定理和直角三角形的特殊性质求解，思路连贯，能很好地考查对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求BD的长，先观察BD所在的△ABD，若能判定△ABD为直角三角形，即可用勾股定理计算。首先分析已知三边长的△ADC：先计算三边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，若满足即可推出∠ADC=90°，进而得到邻补角∠ADB=90°，最后在Rt△ABD中代入已知的AB、AD长度，用勾股定理求BD即可。
(2) 要求DE的长，已知E是AB的中点，结合(1)已证△ADB是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，直接代入AB的长度计算即可。
【解析】
(1) $\because AC=13\ \mathrm{m},AD=12\ \mathrm{m},DC=5\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC^{2}=13^2=169,AD^{2}+CD^{2}=12^2+5^2=144+25=169$,
$\therefore AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$,
根据勾股定理的逆定理可得$△ ADC$为直角三角形，且$∠ ADC=90°$,
$\therefore ∠ ADB=180°-∠ ADC=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=\sqrt{81}=9(\mathrm{m})$.
(2) 由(1)知$∠ ADB=90°$，即$△ ADB$为直角三角形.
$\because E$是$AB$的中点,
根据直角三角形斜边中线的性质可得：
$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 15=7.5(\mathrm{m})$.
【答案】
(1) $BD$的长为$9\ \mathrm{m}$；
(2) 小路$DE$的长为$7.5\ \mathrm{m}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是勾股定理相关知识的基础综合应用题，解题的突破口是先通过勾股定理的逆定理判定直角三角形，再依次结合勾股定理和直角三角形的特殊性质求解，思路连贯，能很好地考查对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
例7 如图，在$△ ABC$中，$AD=12$，$BD=5$，$CD=16$，$AC=20$，求$△ ABC$的周长。
名师启发 先根据勾股定理的逆定理得出$△ ADC$是直角三角形，再根据勾股定理求出$AB$，最后即可求出$△ ABC$的周长。
名师启发 先根据勾股定理的逆定理得出$△ ADC$是直角三角形，再根据勾股定理求出$AB$，最后即可求出$△ ABC$的周长。
答案：$\because AD=12,CD=16,AC=20$,
$\therefore AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}, \therefore △ ADC$是直角三角形,且$∠ ADC=90°, \therefore ∠ ADB=90°$,
$\therefore AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=12^{2}+5^{2}=13^{2}, \therefore AB=13$.
$\because BD=5, \therefore BC=BD+CD=5+16=21$,
$\therefore △ ABC$的周长是$AB+BC+AC=13+21+20=54$.
$\therefore AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}, \therefore △ ADC$是直角三角形,且$∠ ADC=90°, \therefore ∠ ADB=90°$,
$\therefore AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=12^{2}+5^{2}=13^{2}, \therefore AB=13$.
$\because BD=5, \therefore BC=BD+CD=5+16=21$,
$\therefore △ ABC$的周长是$AB+BC+AC=13+21+20=54$.
解析：
【分析】
解题时先从已知边长的△ADC入手，首先利用勾股定理的逆定理判断△ADC是否为直角三角形，确定∠ADC为直角后，可得邻补角∠ADB也为直角；接着在Rt△ADB中，用勾股定理求出AB的长度；再计算BC的总长度（BD与CD的和），最后将△ABC三边长度相加即可得到周长。
【解析】
∵ $AD=12,CD=16,AC=20$，
∴ $AD^{2}+CD^{2}=12^2+16^2=144+256=400=20^2=AC^{2}$，
∴ $△ ADC$是直角三角形，且$∠ADC=90°$，
∴ $∠ADB=180°-∠ADC=90°$，
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得：
$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=12^{2}+5^{2}=144+25=169=13^{2}$，
∴ $AB=13$，
又
∵ $BC=BD+CD=5+16=21$，
∴ $△ ABC$的周长$=AB+BC+AC=13+21+20=54$。
【答案】
$54$
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；三角形周长计算
【点评】
本题是勾股定理相关的基础应用题型，解题核心是先通过逆定理判定直角三角形，再利用勾股定理求解未知边长，步骤清晰，能有效考查对勾股定理及逆定理的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知边长的△ADC入手，首先利用勾股定理的逆定理判断△ADC是否为直角三角形，确定∠ADC为直角后，可得邻补角∠ADB也为直角；接着在Rt△ADB中，用勾股定理求出AB的长度；再计算BC的总长度（BD与CD的和），最后将△ABC三边长度相加即可得到周长。
【解析】
∵ $AD=12,CD=16,AC=20$，
∴ $AD^{2}+CD^{2}=12^2+16^2=144+256=400=20^2=AC^{2}$，
∴ $△ ADC$是直角三角形，且$∠ADC=90°$，
∴ $∠ADB=180°-∠ADC=90°$，
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得：
$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=12^{2}+5^{2}=144+25=169=13^{2}$，
∴ $AB=13$，
又
∵ $BC=BD+CD=5+16=21$，
∴ $△ ABC$的周长$=AB+BC+AC=13+21+20=54$。
【答案】
$54$
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；三角形周长计算
【点评】
本题是勾股定理相关的基础应用题型，解题核心是先通过逆定理判定直角三角形，再利用勾股定理求解未知边长，步骤清晰，能有效考查对勾股定理及逆定理的基础应用能力。
【难度系数】
0.8