例3 (2026·扬州期末)某市筑城广场视野开阔，是一处设计别致、造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所。某校八年级(1)班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为15米(注：BD⊥CE)；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③小明牵线放风筝的手距离地面1.7米。
求风筝的高度CE。
名师启发 利用勾股定理求出CD的长度，再加上DE的长度，即可求出CE的高度。
①测得BD的长度为15米(注：BD⊥CE)；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③小明牵线放风筝的手距离地面1.7米。
求风筝的高度CE。
名师启发 利用勾股定理求出CD的长度，再加上DE的长度，即可求出CE的高度。
答案：在$\mathrm{Rt} △ CDB$中,由勾股定理,得
$CD=\sqrt{CB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20$(米),
所以$CE=CD+DE=20+1.7=21.7$(米).
故风筝的高度$CE$为21.7米.
$CD=\sqrt{CB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20$(米),
所以$CE=CD+DE=20+1.7=21.7$(米).
故风筝的高度$CE$为21.7米.
解析：
【分析】
要计算风筝的高度CE，首先观察线段CE的组成：CE=CD+DE，其中DE是小明牵线的手到地面的高度，题目已给出为1.7米，因此只需算出CD的长度即可。由BD⊥CE可知△CDB是直角三角形，已知该直角三角形的斜边BC长25米，直角边BD长15米，可直接用勾股定理求出CD的长度，最后将CD与DE相加就能得到CE的高度。
【解析】
∵ BD⊥CE，
∴ △CDB为直角三角形，
在$\mathrm{Rt} △ CDB$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{CB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20$（米），
由题意得DE=1.7米，
∴ $CE=CD+DE=20+1.7=21.7$（米）。
【答案】
风筝的高度CE为21.7米。
【知识点】
勾股定理，解直角三角形应用
【点评】
本题是勾股定理结合生活实际的基础应用题，解题关键是拆分所求高度的组成，把实际问题转化为直角三角形边长计算的问题，只要掌握勾股定理的用法，理清图中线段的关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要计算风筝的高度CE，首先观察线段CE的组成：CE=CD+DE，其中DE是小明牵线的手到地面的高度，题目已给出为1.7米，因此只需算出CD的长度即可。由BD⊥CE可知△CDB是直角三角形，已知该直角三角形的斜边BC长25米，直角边BD长15米，可直接用勾股定理求出CD的长度，最后将CD与DE相加就能得到CE的高度。
【解析】
∵ BD⊥CE，
∴ △CDB为直角三角形，
在$\mathrm{Rt} △ CDB$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{CB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20$（米），
由题意得DE=1.7米，
∴ $CE=CD+DE=20+1.7=21.7$（米）。
【答案】
风筝的高度CE为21.7米。
【知识点】
勾股定理，解直角三角形应用
【点评】
本题是勾股定理结合生活实际的基础应用题，解题关键是拆分所求高度的组成，把实际问题转化为直角三角形边长计算的问题，只要掌握勾股定理的用法，理清图中线段的关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
例4 如图(1),美丽的弦图,蕴含着四个全等的直角三角形.
(1)弦图中包含了一大、一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为$a$,较短的直角边为$b$,斜边长为$c$,结合图(1),试验证勾股定理;
(2)如图(2),将四个全等的直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(实线)的周长为24,$OC=3$,求该飞镖状图案的面积;
(3)如图(3),将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形$ABCD$、正方形$EFGH$、正方形$MNKT$的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,若$S_1+S_2+S_3=16$,求$S_2$的值.
名师启发 (1)通过两种方式表示图中小正方形的面积即可证明勾股定理;(2)可设$AC=x$,根据勾股定理列出方程可求出$x$,再根据直角三角形的面积公式即可求解;(3)根据图形的特征设出四边形$MNKT$的面积为$x$,将其余八个全等的三角形中的一个的面积设为$y$,从而用$x,y$表示出$S_1,S_2,S_3$,即可得出答案.
(1)弦图中包含了一大、一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为$a$,较短的直角边为$b$,斜边长为$c$,结合图(1),试验证勾股定理;
(2)如图(2),将四个全等的直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(实线)的周长为24,$OC=3$,求该飞镖状图案的面积;
(3)如图(3),将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形$ABCD$、正方形$EFGH$、正方形$MNKT$的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,若$S_1+S_2+S_3=16$,求$S_2$的值.
名师启发 (1)通过两种方式表示图中小正方形的面积即可证明勾股定理;(2)可设$AC=x$,根据勾股定理列出方程可求出$x$,再根据直角三角形的面积公式即可求解;(3)根据图形的特征设出四边形$MNKT$的面积为$x$,将其余八个全等的三角形中的一个的面积设为$y$,从而用$x,y$表示出$S_1,S_2,S_3$,即可得出答案.
答案：(1)$S_{\mathrm{小正方形}}=(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},S_{\mathrm{小正方形}}=c^{2}-4 × \frac{1}{2}ab=c^{2}-2ab$,
即$a^{2}-2ab+b^{2}=c^{2}-2ab$,则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2)$24 ÷ 4=6$,设$AC=x$,依题意,得
$(x+3)^{2}+3^{2}=(6-x)^{2}$,解得$x=1$,
则$\frac{1}{2} ×(3+1) × 3 × 4=\frac{1}{2} × 4 × 3 × 4=24$.
故该飞镖状图案的面积是24.
(3)将四边形$MNKT$的面积设为$x$,将其余八个全等的三角形中的一个的面积设为$y$.
$\because$正方形$ABCD$、正方形$EFGH$、正方形$MNKT$的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,$S_1+S_2+S_3=16$,
$\therefore S_1=8y+x,S_2=4y+x,S_3=x$,
$\therefore S_1+S_2+S_3=3x+12y=16$,
$\therefore x+4y=\frac{16}{3}$,
$\therefore S_2=x+4y=\frac{16}{3}$.
即$a^{2}-2ab+b^{2}=c^{2}-2ab$,则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2)$24 ÷ 4=6$,设$AC=x$,依题意,得
$(x+3)^{2}+3^{2}=(6-x)^{2}$,解得$x=1$,
则$\frac{1}{2} ×(3+1) × 3 × 4=\frac{1}{2} × 4 × 3 × 4=24$.
故该飞镖状图案的面积是24.
(3)将四边形$MNKT$的面积设为$x$,将其余八个全等的三角形中的一个的面积设为$y$.
$\because$正方形$ABCD$、正方形$EFGH$、正方形$MNKT$的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,$S_1+S_2+S_3=16$,
$\therefore S_1=8y+x,S_2=4y+x,S_3=x$,
$\therefore S_1+S_2+S_3=3x+12y=16$,
$\therefore x+4y=\frac{16}{3}$,
$\therefore S_2=x+4y=\frac{16}{3}$.
解析：
【分析】
(1) 验证勾股定理可通过面积法实现：用两种方法表示图(1)中小正方形的面积，建立等式后化简即可得到直角三角形三边的关系。第一种直接用小正方形边长$(a-b)$计算面积，第二种用边长为$c$的大正方形面积减去4个直角三角形的面积，两式相等即可推导出勾股定理。
(2) 先根据外围周长求出每条外围边的长度，设$AC=x$，用含$x$的式子表示直角三角形的直角边和斜边，结合勾股定理列方程求出$x$，再计算4个直角三角形的总面积即为飞镖图案的面积。
(3) 设最小正方形$MNKT$的面积为$x$，每个全等直角三角形的面积为$y$，用$x$和$y$分别表示三个正方形的面积，结合三个面积之和为16的条件，整体化简即可求出$S_2$的值。
【解析】
(1) 由图(1)可得，小正方形的边长为$a-b$，因此小正方形面积为：
$S_{\mathrm{小正方形}}=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
同时小正方形面积也等于边长为$c$的大正方形面积减去4个全等直角三角形的面积，即：
$S_{\mathrm{小正方形}}=c^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2-2ab$
联立两式得：$a^2-2ab+b^2=c^2-2ab$，化简得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
(2) 外围轮廓周长为24，共4条等长的外围边，因此每条外围边长度为$24÷4=6$。
设$AC=x$，则直角三角形斜边$AB=6-x$，较长直角边$AO=x+3$，较短直角边$OB=OC=3$。
根据勾股定理列方程：$(x+3)^2+3^2=(6-x)^2$
展开得$x^2+6x+18=x^2-12x+36$，化简得$18x=18$，解得$x=1$。
飞镖图案面积为4个直角三角形的面积和：
$S=4×\frac{1}{2}×(3+1)×3=24$
(3) 设正方形$MNKT$的面积为$x$，每个全等直角三角形的面积为$y$，则：
$S_1=8y+x$，$S_2=4y+x$，$S_3=x$
已知$S_1+S_2+S_3=16$，代入得：
$8y+x+4y+x+x=16$，即$3x+12y=16$
等式两边同除以3得$x+4y=\frac{16}{3}$，因此$S_2=x+4y=\frac{16}{3}$。
【答案】
(1) 勾股定理$a^2+b^2=c^2$成立；
(2) $\boldsymbol{24}$；
(3) $\boldsymbol{\frac{16}{3}}$。
【知识点】
勾股定理的验证，勾股定理的应用，面积法求解
【点评】
本题以弦图的不同拼接形式为载体，综合考查勾股定理的证明与应用，需要学生具备较强的图形观察能力，能从拼接图形中提取边长、面积的等量关系，结合方程思想、整体思想求解，题型灵活，对几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 验证勾股定理可通过面积法实现：用两种方法表示图(1)中小正方形的面积，建立等式后化简即可得到直角三角形三边的关系。第一种直接用小正方形边长$(a-b)$计算面积，第二种用边长为$c$的大正方形面积减去4个直角三角形的面积，两式相等即可推导出勾股定理。
(2) 先根据外围周长求出每条外围边的长度，设$AC=x$，用含$x$的式子表示直角三角形的直角边和斜边，结合勾股定理列方程求出$x$，再计算4个直角三角形的总面积即为飞镖图案的面积。
(3) 设最小正方形$MNKT$的面积为$x$，每个全等直角三角形的面积为$y$，用$x$和$y$分别表示三个正方形的面积，结合三个面积之和为16的条件，整体化简即可求出$S_2$的值。
【解析】
(1) 由图(1)可得，小正方形的边长为$a-b$，因此小正方形面积为：
$S_{\mathrm{小正方形}}=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
同时小正方形面积也等于边长为$c$的大正方形面积减去4个全等直角三角形的面积，即：
$S_{\mathrm{小正方形}}=c^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2-2ab$
联立两式得：$a^2-2ab+b^2=c^2-2ab$，化简得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
(2) 外围轮廓周长为24，共4条等长的外围边，因此每条外围边长度为$24÷4=6$。
设$AC=x$，则直角三角形斜边$AB=6-x$，较长直角边$AO=x+3$，较短直角边$OB=OC=3$。
根据勾股定理列方程：$(x+3)^2+3^2=(6-x)^2$
展开得$x^2+6x+18=x^2-12x+36$，化简得$18x=18$，解得$x=1$。
飞镖图案面积为4个直角三角形的面积和：
$S=4×\frac{1}{2}×(3+1)×3=24$
(3) 设正方形$MNKT$的面积为$x$，每个全等直角三角形的面积为$y$，则：
$S_1=8y+x$，$S_2=4y+x$，$S_3=x$
已知$S_1+S_2+S_3=16$，代入得：
$8y+x+4y+x+x=16$，即$3x+12y=16$
等式两边同除以3得$x+4y=\frac{16}{3}$，因此$S_2=x+4y=\frac{16}{3}$。
【答案】
(1) 勾股定理$a^2+b^2=c^2$成立；
(2) $\boldsymbol{24}$；
(3) $\boldsymbol{\frac{16}{3}}$。
【知识点】
勾股定理的验证，勾股定理的应用，面积法求解
【点评】
本题以弦图的不同拼接形式为载体，综合考查勾股定理的证明与应用，需要学生具备较强的图形观察能力，能从拼接图形中提取边长、面积的等量关系，结合方程思想、整体思想求解，题型灵活，对几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6