例1 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$于点D，若$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，求BD的长。
名师启发 首先根据勾股定理求出直角边AC的长，进而利用三角形的面积公式得出CD的长，再利用勾股定理求出BD的长即可。
名师启发 首先根据勾股定理求出直角边AC的长，进而利用三角形的面积公式得出CD的长，再利用勾股定理求出BD的长即可。
答案：由勾股定理,得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,
即$5^{2}=AC^{2}+3^{2}, \therefore AC=4\ \mathrm{cm}$(负值已舍去).
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}AB · CD$,
得$\frac{1}{2} × 4 × 3=\frac{1}{2} × 5 × CD, \therefore CD=\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BD^{2}=BC^{2}-CD^{2}=\frac{81}{25}, \therefore BD=\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$(负值已舍去).
即$5^{2}=AC^{2}+3^{2}, \therefore AC=4\ \mathrm{cm}$(负值已舍去).
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}AB · CD$,
得$\frac{1}{2} × 4 × 3=\frac{1}{2} × 5 × CD, \therefore CD=\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BD^{2}=BC^{2}-CD^{2}=\frac{81}{25}, \therefore BD=\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$(负值已舍去).
解析：
【分析】
解题可分三步思考：第一步，△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC，可通过勾股定理先求出另一条直角边AC的长度；第二步，△ABC的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高CD的一半计算，利用等积法即可求出CD的长度；第三步，△BCD也是直角三角形，已知BC和CD的长度，再次使用勾股定理就能求出BD的长度，注意线段长度为正数，计算时要舍去负值。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，得$5^2=AC^2+3^2$，解得$AC=4\ \mathrm{cm}$（线段长度为正，舍去负值）。
根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CD$，解得$CD=\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CDB=90°$，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2-CD^2$
代入数值：$BD^2=3^2-(\frac{12}{5})^2=\frac{81}{25}$，解得$BD=\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$（线段长度为正，舍去负值）。
【答案】
$BD=\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积公式，等积法
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，通过等积法建立不同面积表达式的联系求解斜边上的高，再结合勾股定理求线段长度，解题时需注意实际线段长度为正数，计算所得负值要舍去，能有效锻炼对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：第一步，△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC，可通过勾股定理先求出另一条直角边AC的长度；第二步，△ABC的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高CD的一半计算，利用等积法即可求出CD的长度；第三步，△BCD也是直角三角形，已知BC和CD的长度，再次使用勾股定理就能求出BD的长度，注意线段长度为正数，计算时要舍去负值。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，得$5^2=AC^2+3^2$，解得$AC=4\ \mathrm{cm}$（线段长度为正，舍去负值）。
根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CD$，解得$CD=\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CDB=90°$，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2-CD^2$
代入数值：$BD^2=3^2-(\frac{12}{5})^2=\frac{81}{25}$，解得$BD=\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$（线段长度为正，舍去负值）。
【答案】
$BD=\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积公式，等积法
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，通过等积法建立不同面积表达式的联系求解斜边上的高，再结合勾股定理求线段长度，解题时需注意实际线段长度为正数，计算所得负值要舍去，能有效锻炼对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
例2 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,E,F分别是BD,AC的中点.
(1)求证:EF⊥AC;
(2)当BD=10,AC=8时,求EF的长.
名师启发 (1)利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题.
(2)在$Rt△ ECF$中,利用勾股定理即可解决问题.
归纳总结
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
(1)求证:EF⊥AC;
(2)当BD=10,AC=8时,求EF的长.
名师启发 (1)利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题.
(2)在$Rt△ ECF$中,利用勾股定理即可解决问题.
归纳总结
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
答案：(1)连接$AE,CE$.
$\because ∠ BAD=90°,E$为$BD$的中点,
$\therefore AE=\frac{1}{2}BD$.
$\because ∠ DCB=90°, \therefore CE=\frac{1}{2}BD, \therefore AE=CE$.
$\because F$是$AC$的中点,$\therefore EF ⊥ AC$.
(2)$\because AC=8,BD=10,E,F$分别是$BD,AC$的中点,
$\therefore AE=CE=5,CF=4$.
$\because EF ⊥ AC$,
$\therefore EF=\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$.
$\because ∠ BAD=90°,E$为$BD$的中点,
$\therefore AE=\frac{1}{2}BD$.
$\because ∠ DCB=90°, \therefore CE=\frac{1}{2}BD, \therefore AE=CE$.
$\because F$是$AC$的中点,$\therefore EF ⊥ AC$.
(2)$\because AC=8,BD=10,E,F$分别是$BD,AC$的中点,
$\therefore AE=CE=5,CF=4$.
$\because EF ⊥ AC$,
$\therefore EF=\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$.
解析：
【分析】
(1) 要证明EF⊥AC，已知F是AC的中点，若能推出△AEC为等腰三角形，即可利用等腰三角形三线合一的性质证明结论。观察图形，∠BAD和∠BCD都是直角，且两个直角三角形共斜边BD，E是BD中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出AE=CE，得到等腰△AEC，进而得证。
(2) 求EF的长度，由(1)可知EF⊥AC，即△EFC为直角三角形，只需先求出CE和CF的长度，再利用勾股定理计算即可。根据中点性质分别求出CE=½BD，CF=½AC，代入数值计算即可得到EF的长。
【解析】
(1) 连接$AE,CE$。
$\because ∠ BAD=90°,E$为$BD$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
$\because ∠ DCB=90°,E$为$BD$的中点，
$\therefore CE=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore AE=CE$，即$△ AEC$是等腰三角形。
$\because F$是$AC$的中点，
$\therefore EF ⊥ AC$（等腰三角形三线合一）。
(2) $\because BD=10$，E是BD的中点，
$\therefore AE=CE=\frac{1}{2}BD=5$。
$\because AC=8$，F是AC的中点，
$\therefore CF=\frac{1}{2}AC=4$。
由(1)知$EF ⊥ AC$，即$△ EFC$是直角三角形，
根据勾股定理得：$EF=\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $EF$的长为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将直角三角形、等腰三角形的性质与勾股定理结合考查，解题的关键是合理添加辅助线，利用直角三角形斜边中线的性质得到相等线段，再结合相关性质求解，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明EF⊥AC，已知F是AC的中点，若能推出△AEC为等腰三角形，即可利用等腰三角形三线合一的性质证明结论。观察图形，∠BAD和∠BCD都是直角，且两个直角三角形共斜边BD，E是BD中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出AE=CE，得到等腰△AEC，进而得证。
(2) 求EF的长度，由(1)可知EF⊥AC，即△EFC为直角三角形，只需先求出CE和CF的长度，再利用勾股定理计算即可。根据中点性质分别求出CE=½BD，CF=½AC，代入数值计算即可得到EF的长。
【解析】
(1) 连接$AE,CE$。
$\because ∠ BAD=90°,E$为$BD$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
$\because ∠ DCB=90°,E$为$BD$的中点，
$\therefore CE=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore AE=CE$，即$△ AEC$是等腰三角形。
$\because F$是$AC$的中点，
$\therefore EF ⊥ AC$（等腰三角形三线合一）。
(2) $\because BD=10$，E是BD的中点，
$\therefore AE=CE=\frac{1}{2}BD=5$。
$\because AC=8$，F是AC的中点，
$\therefore CF=\frac{1}{2}AC=4$。
由(1)知$EF ⊥ AC$，即$△ EFC$是直角三角形，
根据勾股定理得：$EF=\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $EF$的长为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将直角三角形、等腰三角形的性质与勾股定理结合考查，解题的关键是合理添加辅助线，利用直角三角形斜边中线的性质得到相等线段，再结合相关性质求解，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7