例4 在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为$64\ \mathrm{cm}^3$，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了$\frac{16}{9π}\ \mathrm{cm}$。请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
解析 根据正方体、圆柱体积的计算方法进行计算即可。
答案 根据题意可知，正方体的体积为$64\ \mathrm{cm}^3$，因此铁块的棱长为$\sqrt[3]{64}=4(\mathrm{cm})$。
设烧杯内部的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，
由体积计算公式，得$π r^2 × \frac{16}{9π}=64$，
解得$r=6$或$r=-6$（舍去）。
故烧杯内部的底面半径为$6\ \mathrm{cm}$，铁块的棱长为$4\ \mathrm{cm}$。
点拨 本题考查平方根、立方根，掌握平方根、立方根的定义是正确计算的前提，掌握正方体、圆柱体积的计算方法是正确解答本题的关键。
解析 根据正方体、圆柱体积的计算方法进行计算即可。
答案 根据题意可知，正方体的体积为$64\ \mathrm{cm}^3$，因此铁块的棱长为$\sqrt[3]{64}=4(\mathrm{cm})$。
设烧杯内部的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，
由体积计算公式，得$π r^2 × \frac{16}{9π}=64$，
解得$r=6$或$r=-6$（舍去）。
故烧杯内部的底面半径为$6\ \mathrm{cm}$，铁块的棱长为$4\ \mathrm{cm}$。
点拨 本题考查平方根、立方根，掌握平方根、立方根的定义是正确计算的前提，掌握正方体、圆柱体积的计算方法是正确解答本题的关键。
答案：解：
由题意可知，正方体铁块的体积等于它排出的水的体积，为$64\ \mathrm{cm}^3$。
设铁块的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式得$a^3=64$，
解得$a=\sqrt[3]{64}=4$。
设烧杯内部的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，水位下降部分的圆柱体积等于铁块排出的水的体积，由圆柱体积公式可得：
$π r^2 · \frac{16}{9π} = 64$
化简得$r^2=36$，
解得$r=6$或$r=-6$，因为底面半径为正数，舍去$r=-6$。
答：烧杯内部的底面半径为$6\ \mathrm{cm}$，铁块的棱长为$4\ \mathrm{cm}$。
由题意可知，正方体铁块的体积等于它排出的水的体积，为$64\ \mathrm{cm}^3$。
设铁块的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式得$a^3=64$，
解得$a=\sqrt[3]{64}=4$。
设烧杯内部的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，水位下降部分的圆柱体积等于铁块排出的水的体积，由圆柱体积公式可得：
$π r^2 · \frac{16}{9π} = 64$
化简得$r^2=36$，
解得$r=6$或$r=-6$，因为底面半径为正数，舍去$r=-6$。
答：烧杯内部的底面半径为$6\ \mathrm{cm}$，铁块的棱长为$4\ \mathrm{cm}$。
解析：
【分析】
首先根据排水法原理，正方体铁块排出的水的体积等于正方体铁块的体积，可先通过正方体体积公式求出铁块棱长；再利用烧杯中水位下降部分的圆柱体积等于排出水的体积，结合圆柱体积公式求出烧杯底面半径，注意实际问题中长度为正，需舍去负解。
【解析】
1. 求铁块棱长：
由题意，正方体铁块体积等于排出水的体积，即$V_{正方体}=64\ \mathrm{cm}^3$。设铁块棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=a^3$，得$a^3=64$，解得$a=\sqrt[3]{64}=4\ (\mathrm{cm})$。
2. 求烧杯底面半径：
设烧杯内部底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，水位下降部分为圆柱，其体积等于排出水的体积$64\ \mathrm{cm}^3$，根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$（$h=\frac{16}{9π}\ \mathrm{cm}$），代入得：
$π r^2 · \frac{16}{9π}=64$
化简得$\frac{16}{9}r^2=64$，两边同乘$\frac{9}{16}$得$r^2=36$，解得$r=\pm6$。
因半径为正数，舍去$r=-6$，故$r=6\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
烧杯内部的底面半径为$6\ \mathrm{cm}$，铁块的棱长为$4\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
正方体体积计算、圆柱体积计算、立方根与平方根的应用
【点评】
本题结合物理排水法的实际场景，核心是利用体积相等的关系建立方程，考查基础体积公式的应用，需注意实际问题中长度的非负性，属于难度较低的应用题。
【难度系数】
0.6
首先根据排水法原理，正方体铁块排出的水的体积等于正方体铁块的体积，可先通过正方体体积公式求出铁块棱长；再利用烧杯中水位下降部分的圆柱体积等于排出水的体积，结合圆柱体积公式求出烧杯底面半径，注意实际问题中长度为正，需舍去负解。
【解析】
1. 求铁块棱长：
由题意，正方体铁块体积等于排出水的体积，即$V_{正方体}=64\ \mathrm{cm}^3$。设铁块棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=a^3$，得$a^3=64$，解得$a=\sqrt[3]{64}=4\ (\mathrm{cm})$。
2. 求烧杯底面半径：
设烧杯内部底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，水位下降部分为圆柱，其体积等于排出水的体积$64\ \mathrm{cm}^3$，根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$（$h=\frac{16}{9π}\ \mathrm{cm}$），代入得：
$π r^2 · \frac{16}{9π}=64$
化简得$\frac{16}{9}r^2=64$，两边同乘$\frac{9}{16}$得$r^2=36$，解得$r=\pm6$。
因半径为正数，舍去$r=-6$，故$r=6\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
烧杯内部的底面半径为$6\ \mathrm{cm}$，铁块的棱长为$4\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
正方体体积计算、圆柱体积计算、立方根与平方根的应用
【点评】
本题结合物理排水法的实际场景，核心是利用体积相等的关系建立方程，考查基础体积公式的应用，需注意实际问题中长度的非负性，属于难度较低的应用题。
【难度系数】
0.6
8. 宇宙飞船离开轨道正常运行时，它的速度要大于第一宇宙速度 $ v_1 $（单位：m/s）且小于第二宇宙速度 $ v_2 $（单位：m/s），其中 $ v_1 $ 的大小满足 $ v_1^2 = gR $，其中 $ g $ 是物理中的一个常数（重力加速度），$ g \approx 10 \, \mathrm{m/s}^2 $，$ R $ 是地球半径，$ R \approx 6400000 \, \mathrm{m} $，则 $ v_1 $ 的近似值为
8 000 m/s
。答案：8 000 m/s [解析]
∵$v_1^2 = gR$,$g \approx 10 \, \mathrm{m/s}^2$,$R \approx 6\ 400\ 000 \, \mathrm{m}$,
∴$v_1 \approx \sqrt{10×6\ 400\ 000}=8\ 000(\mathrm{m/s})$.
故$v_1$的近似值为8 000 m/s.
∵$v_1^2 = gR$,$g \approx 10 \, \mathrm{m/s}^2$,$R \approx 6\ 400\ 000 \, \mathrm{m}$,
∴$v_1 \approx \sqrt{10×6\ 400\ 000}=8\ 000(\mathrm{m/s})$.
故$v_1$的近似值为8 000 m/s.
解析：
【分析】
要计算第一宇宙速度$v_1$，需依据题目给出的公式$v_1^2 = gR$，先明确公式形式，再代入已知的重力加速度$g$和地球半径$R$的近似值，通过开平方运算求出$v_1$的近似值，计算时需准确处理数值的乘积与开平方操作。
【解析】
已知$v_1^2 = gR$，$g \approx 10 \, \mathrm{m/s}^2$，$R \approx 6400000 \, \mathrm{m}$，将数值代入公式得：
$v_1 = \sqrt{gR} \approx \sqrt{10 × 6400000} = \sqrt{64000000} = 8000 \, (\mathrm{m/s})$
【答案】
8000 m/s
【知识点】
平方根运算、近似值计算
【点评】
本题是基础的公式应用类题目，直接代入已知数值计算即可，考查学生对平方根运算的掌握，属于物理与数学结合的基础题，难度较低。
【难度系数】
0.9
要计算第一宇宙速度$v_1$，需依据题目给出的公式$v_1^2 = gR$，先明确公式形式，再代入已知的重力加速度$g$和地球半径$R$的近似值，通过开平方运算求出$v_1$的近似值，计算时需准确处理数值的乘积与开平方操作。
【解析】
已知$v_1^2 = gR$，$g \approx 10 \, \mathrm{m/s}^2$，$R \approx 6400000 \, \mathrm{m}$，将数值代入公式得：
$v_1 = \sqrt{gR} \approx \sqrt{10 × 6400000} = \sqrt{64000000} = 8000 \, (\mathrm{m/s})$
【答案】
8000 m/s
【知识点】
平方根运算、近似值计算
【点评】
本题是基础的公式应用类题目，直接代入已知数值计算即可，考查学生对平方根运算的掌握，属于物理与数学结合的基础题，难度较低。
【难度系数】
0.9
9. 某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间 $t(\mathrm{h})$可以用公式 $3t=\sqrt{\dfrac{d^3}{100}}$ 来估计,其中 $d(\mathrm{km})$是雷雨区域的直径.
(1)如果某场雷雨区域的直径是 $10\ \mathrm{km}$,那么这场雷雨大约能持续多长时间?(结果保留根号)
(2)如果这场雷雨持续了 $20\ \mathrm{min}$,那么这场雷雨区域的直径大约是多少?(结果精确到 $0.1\ \mathrm{km}$.参考数据:$\sqrt[3]{100}\approx4.64$)
(1)如果某场雷雨区域的直径是 $10\ \mathrm{km}$,那么这场雷雨大约能持续多长时间?(结果保留根号)
(2)如果这场雷雨持续了 $20\ \mathrm{min}$,那么这场雷雨区域的直径大约是多少?(结果精确到 $0.1\ \mathrm{km}$.参考数据:$\sqrt[3]{100}\approx4.64$)
答案：(1)
∵$3t=\sqrt{\frac{10^3}{100}}=\sqrt{10}$,
∴$t=\frac{\sqrt{10}}{3}(\mathrm{h})$.
故这场雷雨大约能持续$\frac{\sqrt{10}}{3}\ \mathrm{h}$.
(2)
∵$20\ \mathrm{min}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}$,
∴$\sqrt{\frac{d^3}{100}}=1$.
∴$d=\sqrt[3]{100}\approx4.64\approx4.6(\mathrm{km})$.
故这场雷雨区域的直径大约是4.6 km.
∵$3t=\sqrt{\frac{10^3}{100}}=\sqrt{10}$,
∴$t=\frac{\sqrt{10}}{3}(\mathrm{h})$.
故这场雷雨大约能持续$\frac{\sqrt{10}}{3}\ \mathrm{h}$.
(2)
∵$20\ \mathrm{min}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}$,
∴$\sqrt{\frac{d^3}{100}}=1$.
∴$d=\sqrt[3]{100}\approx4.64\approx4.6(\mathrm{km})$.
故这场雷雨区域的直径大约是4.6 km.
解析：
【分析】
本题是利用给定公式求解雷雨持续时间和区域直径的问题，解题思路为：(1)已知雷雨区域直径d，将d的值代入公式3t=√(d³/100)，通过计算求出t的值；(2)已知雷雨持续时间t，先将时间单位从分钟转换为小时，再代入公式，通过根式运算求出d的值，最后根据参考数据取近似值。
【解析】
(1) 当雷雨区域直径$d=10\ \mathrm{km}$时，将其代入公式$3t=\sqrt{\dfrac{d^3}{100}}$，得：
$3t=\sqrt{\dfrac{10^3}{100}}=\sqrt{\dfrac{1000}{100}}=\sqrt{10}$，
解得$t=\dfrac{\sqrt{10}}{3}\ \mathrm{h}$。
(2) 因为雷雨持续时间$t=20\ \mathrm{min}$，先将单位转换为小时：$20\ \mathrm{min}=\dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3}\ \mathrm{h}$，
将$t=\dfrac{1}{3}\ \mathrm{h}$代入公式$3t=\sqrt{\dfrac{d^3}{100}}$，得：
$3×\dfrac{1}{3}=\sqrt{\dfrac{d^3}{100}}$，即$1=\sqrt{\dfrac{d^3}{100}}$，
两边同时平方得：$\dfrac{d^3}{100}=1$，所以$d^3=100$，
则$d=\sqrt[3]{100}$，根据参考数据$\sqrt[3]{100}\approx4.64$，精确到$0.1\ \mathrm{km}$得$d\approx4.6\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) 这场雷雨大约能持续$\dfrac{\sqrt{10}}{3}\ \mathrm{h}$；(2) 这场雷雨区域的直径大约是$4.6\ \mathrm{km}$。
【知识点】
二次根式的运算、立方根的应用、单位换算
【点评】
本题考查代数式的代入求值，核心是利用给定公式进行计算，需注意时间单位的统一，整体难度较低，只要细心计算即可正确解答。
【难度系数】
0.7
本题是利用给定公式求解雷雨持续时间和区域直径的问题，解题思路为：(1)已知雷雨区域直径d，将d的值代入公式3t=√(d³/100)，通过计算求出t的值；(2)已知雷雨持续时间t，先将时间单位从分钟转换为小时，再代入公式，通过根式运算求出d的值，最后根据参考数据取近似值。
【解析】
(1) 当雷雨区域直径$d=10\ \mathrm{km}$时，将其代入公式$3t=\sqrt{\dfrac{d^3}{100}}$，得：
$3t=\sqrt{\dfrac{10^3}{100}}=\sqrt{\dfrac{1000}{100}}=\sqrt{10}$，
解得$t=\dfrac{\sqrt{10}}{3}\ \mathrm{h}$。
(2) 因为雷雨持续时间$t=20\ \mathrm{min}$，先将单位转换为小时：$20\ \mathrm{min}=\dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3}\ \mathrm{h}$，
将$t=\dfrac{1}{3}\ \mathrm{h}$代入公式$3t=\sqrt{\dfrac{d^3}{100}}$，得：
$3×\dfrac{1}{3}=\sqrt{\dfrac{d^3}{100}}$，即$1=\sqrt{\dfrac{d^3}{100}}$，
两边同时平方得：$\dfrac{d^3}{100}=1$，所以$d^3=100$，
则$d=\sqrt[3]{100}$，根据参考数据$\sqrt[3]{100}\approx4.64$，精确到$0.1\ \mathrm{km}$得$d\approx4.6\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) 这场雷雨大约能持续$\dfrac{\sqrt{10}}{3}\ \mathrm{h}$；(2) 这场雷雨区域的直径大约是$4.6\ \mathrm{km}$。
【知识点】
二次根式的运算、立方根的应用、单位换算
【点评】
本题考查代数式的代入求值，核心是利用给定公式进行计算，需注意时间单位的统一，整体难度较低，只要细心计算即可正确解答。
【难度系数】
0.7