4. (2025·陕西西安期中)我们知道,负数没有算术平方根,但对于三个互不相等的负整数,若两两乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“完美组合数”.例如:−9,−4,−1这三个数,$\sqrt{(-9)×(-4)}=6$,$\sqrt{(-9)×(-1)}=3$,$\sqrt{(-4)×(-1)}=2$,其结果6,3,2都是整数,所以−1,−4,−9这三个数称为“完美组合数”.
(1)−18,−8,−2这三个数是“完美组合数”吗?请说明理由.
(2)若三个数−3,m,−12是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为12,求m的值.
(1)−18,−8,−2这三个数是“完美组合数”吗?请说明理由.
(2)若三个数−3,m,−12是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为12,求m的值.
答案：(1)−18,−8,−2这三个数是“完美组合数”.理由如下：
∵$\sqrt{(-18)×(-8)}=12$,$\sqrt{(-18)×(-2)}=6$,$\sqrt{(-8)×(-2)}=4$,
∴−18,−8,−2这三个数是“完美组合数”.
(2)
∵$\sqrt{(-3)×(-12)}=6$,
∴分两种情况讨论：
①当$\sqrt{-3m}=12$时,$-3m=144$,
∴$m=-48$;
②当$\sqrt{-12m}=12$时,$-12m=144$,
∴$m=-12$(不合题意,舍去).
综上所述,m的值是−48.
∵$\sqrt{(-18)×(-8)}=12$,$\sqrt{(-18)×(-2)}=6$,$\sqrt{(-8)×(-2)}=4$,
∴−18,−8,−2这三个数是“完美组合数”.
(2)
∵$\sqrt{(-3)×(-12)}=6$,
∴分两种情况讨论：
①当$\sqrt{-3m}=12$时,$-3m=144$,
∴$m=-48$;
②当$\sqrt{-12m}=12$时,$-12m=144$,
∴$m=-12$(不合题意,舍去).
综上所述,m的值是−48.
解析：
【分析】
（1）判断三个数是否为“完美组合数”，只需按照定义分别计算两两乘积的算术平方根，若所有结果均为整数，则符合定义，反之不符合。
（2）先计算已知的-3和-12乘积的算术平方根，发现结果为6≠12，因此算术平方根为12的情况仅存在两种：-3与m的乘积开平方得12，或-12与m的乘积开平方得12，分两类解方程求出m后，结合“三个互不相等的负整数”的条件舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1) −18,−8,−2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵$\sqrt{(-18)×(-8)}=\sqrt{144}=12$，$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，三个结果都是整数，
∴−18,−8,−2这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算已知两数的乘积的算术平方根：$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此分两种情况讨论：
①当$\sqrt{-3m}=12$时，两边平方得：$-3m=144$，解得$m=-48$，此时三个数为-3、-48、-12，是互不相等的负整数，符合要求；
②当$\sqrt{-12m}=12$时，两边平方得：$-12m=144$，解得$m=-12$，此时m与已知的-12相等，不符合“三个互不相等的负整数”的要求，舍去。
综上所述，m的值是−48。
【答案】
(1) 是“完美组合数”，理由见解析；(2) $m=-48$
【知识点】
算术平方根计算，新定义理解，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查算术平方根的运算，解题核心是准确理解新定义的规则，第二问需全面分类讨论所有可能的情况，同时注意题目中“三个互不相等的负整数”的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
（1）判断三个数是否为“完美组合数”，只需按照定义分别计算两两乘积的算术平方根，若所有结果均为整数，则符合定义，反之不符合。
（2）先计算已知的-3和-12乘积的算术平方根，发现结果为6≠12，因此算术平方根为12的情况仅存在两种：-3与m的乘积开平方得12，或-12与m的乘积开平方得12，分两类解方程求出m后，结合“三个互不相等的负整数”的条件舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1) −18,−8,−2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵$\sqrt{(-18)×(-8)}=\sqrt{144}=12$，$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，三个结果都是整数，
∴−18,−8,−2这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算已知两数的乘积的算术平方根：$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此分两种情况讨论：
①当$\sqrt{-3m}=12$时，两边平方得：$-3m=144$，解得$m=-48$，此时三个数为-3、-48、-12，是互不相等的负整数，符合要求；
②当$\sqrt{-12m}=12$时，两边平方得：$-12m=144$，解得$m=-12$，此时m与已知的-12相等，不符合“三个互不相等的负整数”的要求，舍去。
综上所述，m的值是−48。
【答案】
(1) 是“完美组合数”，理由见解析；(2) $m=-48$
【知识点】
算术平方根计算，新定义理解，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查算术平方根的运算，解题核心是准确理解新定义的规则，第二问需全面分类讨论所有可能的情况，同时注意题目中“三个互不相等的负整数”的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
例3 公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$得到无理数的近似值，其中r取正整数，且a取尽可能大的正整数。例如：把$\sqrt{11}$化成$\sqrt{3^2 + 2}$，再根据近似公式得出$\sqrt{11} \approx 3 + \frac{2}{3 × 2} = \frac{10}{3}$，当利用此公式计算$\sqrt{17}$的近似值时，则$\sqrt{17} \approx$。
解析 根据题意，得$\sqrt{17} = \sqrt{4^2 + 1} \approx 4 + \frac{1}{2 × 4} = \frac{33}{8}$。
答案 $\frac{33}{8}$
解析 根据题意，得$\sqrt{17} = \sqrt{4^2 + 1} \approx 4 + \frac{1}{2 × 4} = \frac{33}{8}$。
答案 $\frac{33}{8}$
答案：解：由题意，将$\sqrt{17}$改写为$\sqrt{a^2 + r}$的形式，其中a取尽可能大的正整数。
因为$4^2=16$，$5^2=25＞17$，所以$a=4$，$r=17-4^2=1$，即$\sqrt{17}=\sqrt{4^2 + 1}$。
代入近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$，得：
$\sqrt{17} \approx 4 + \frac{1}{2×4} = 4 + \frac{1}{8} = \frac{33}{8}$。
因为$4^2=16$，$5^2=25＞17$，所以$a=4$，$r=17-4^2=1$，即$\sqrt{17}=\sqrt{4^2 + 1}$。
代入近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$，得：
$\sqrt{17} \approx 4 + \frac{1}{2×4} = 4 + \frac{1}{8} = \frac{33}{8}$。
解析：
【分析】
解题时首先要读懂题目给出的近似公式的使用规则：需先将被开方数拆成$a^2+r$的形式，其中$a$要取尽可能大的正整数，$r$为正整数；再将确定的$a$、$r$代入公式计算即可得到近似值。第一步先找小于17的最大完全平方数确定$a$的值，再计算$r$的值，最后代入公式运算即可。
【解析】
首先确定$a$的取值：因为$4^2=16$，$5^2=25＞17$，所以符合要求的最大正整数$a=4$。
再计算$r$的值：$r=17-a^2=17-16=1$，即$\sqrt{17}$可改写为$\sqrt{4^2+1}$。
将$a=4$、$r=1$代入近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$，可得：
$\sqrt{17} \approx 4 + \frac{1}{2×4} = 4 + \frac{1}{8} = \frac{33}{8}$。
【答案】
$\frac{33}{8}$
【知识点】
新定义公式应用，完全平方数，无理数近似计算
【点评】
本题属于材料阅读类基础题，核心考查对新给出的运算规则的理解与应用能力，解题的关键是按照要求准确确定$a$和$r$的取值，读懂题意即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要读懂题目给出的近似公式的使用规则：需先将被开方数拆成$a^2+r$的形式，其中$a$要取尽可能大的正整数，$r$为正整数；再将确定的$a$、$r$代入公式计算即可得到近似值。第一步先找小于17的最大完全平方数确定$a$的值，再计算$r$的值，最后代入公式运算即可。
【解析】
首先确定$a$的取值：因为$4^2=16$，$5^2=25＞17$，所以符合要求的最大正整数$a=4$。
再计算$r$的值：$r=17-a^2=17-16=1$，即$\sqrt{17}$可改写为$\sqrt{4^2+1}$。
将$a=4$、$r=1$代入近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$，可得：
$\sqrt{17} \approx 4 + \frac{1}{2×4} = 4 + \frac{1}{8} = \frac{33}{8}$。
【答案】
$\frac{33}{8}$
【知识点】
新定义公式应用，完全平方数，无理数近似计算
【点评】
本题属于材料阅读类基础题，核心考查对新给出的运算规则的理解与应用能力，解题的关键是按照要求准确确定$a$和$r$的取值，读懂题意即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5. 我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年.以下对于圆周率的四个表述:①圆周率是一个无理数;②圆周率是一个有理数;③圆周率是一个与圆的大小无关的常数,它等于该圆的面积与半径平方的比;④圆周率是一个与圆的大小有关的常数,它等于该圆的周长与直径的比.其中表述正确的序号是
①③
.答案：①③ [解析]因为圆周率是一个无理数,是一个与圆的大小无关的常数,它等于该圆的面积与半径平方的比,所以表述正确的序号是①③.
解析：
【分析】
解题时可以分两步逐一判断四个表述：第一步，结合有理数和无理数的定义判断①②：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，回忆圆周率的小数特征即可判断对错；第二步，结合圆周率的定义判断③④：圆周率是固定不变的常数，根据圆的面积公式、周长公式推导圆周率的计算方式，判断它是否和圆的大小有关即可。
【解析】
1. 判断表述①②：
有理数包括整数和分数，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。圆周率π是无限不循环小数，属于无理数，因此①正确，②错误。
2. 判断表述③④：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，变形可得$π=\frac{S}{r^2}$，即圆周率等于圆的面积与半径平方的比；同时根据圆的周长公式$C=π d$，可得$π=\frac{C}{d}$，即圆周率也等于圆的周长与直径的比。无论圆的半径多大，上述比值都是固定不变的常数，与圆的大小无关，因此③正确，④错误。
综上，表述正确的序号是①③。
【答案】
①③
【知识点】
无理数的概念；圆周率的性质；圆的面积与周长公式
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对圆周率相关性质的理解，同时结合了实数分类的相关知识，难度较低，只要牢记相关定义和公式即可正确作答。
【难度系数】
0.8
解题时可以分两步逐一判断四个表述：第一步，结合有理数和无理数的定义判断①②：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，回忆圆周率的小数特征即可判断对错；第二步，结合圆周率的定义判断③④：圆周率是固定不变的常数，根据圆的面积公式、周长公式推导圆周率的计算方式，判断它是否和圆的大小有关即可。
【解析】
1. 判断表述①②：
有理数包括整数和分数，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。圆周率π是无限不循环小数，属于无理数，因此①正确，②错误。
2. 判断表述③④：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，变形可得$π=\frac{S}{r^2}$，即圆周率等于圆的面积与半径平方的比；同时根据圆的周长公式$C=π d$，可得$π=\frac{C}{d}$，即圆周率也等于圆的周长与直径的比。无论圆的半径多大，上述比值都是固定不变的常数，与圆的大小无关，因此③正确，④错误。
综上，表述正确的序号是①③。
【答案】
①③
【知识点】
无理数的概念；圆周率的性质；圆的面积与周长公式
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对圆周率相关性质的理解，同时结合了实数分类的相关知识，难度较低，只要牢记相关定义和公式即可正确作答。
【难度系数】
0.8
6. 直田七亩半，忘了长和短.记得立契时，长阔争一半.今问俊明公，此法如何算.意思是有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少.只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半.现在请你帮他算出它的长是
60
步.（一亩＝240平方步）答案：60 [解析]设此长方形田的宽为x步,依据题意,可列方程为$x·2x=240×7.5$,解得x=30(负值舍去).故长为60步.
解析：
【分析】
本题是结合古代数学情境的一元二次方程实际应用题，解题思路可按以下步骤展开：首先统一面积单位，将亩换算为平方步，得到长方形田地的总面积；其次根据“宽是长的一半”的数量关系设未知数；再利用长方形面积=长×宽的公式列方程；最后解方程，结合长度为正数的实际要求舍去不合理的负根，即可得到长的数值。
【解析】
首先进行单位换算：1亩=240平方步，7亩半即7.5亩，总面积为 $7.5×240=1800$ 平方步。
设长方形田的宽为 $x$ 步，由宽是长的一半可知，长为 $2x$ 步。
根据长方形面积公式可列方程：
$x·2x=1800$
化简得 $2x^2=1800$，即 $x^2=900$。
开平方得 $x=\pm30$，因为长度为正数，故舍去 $x=-30$，得 $x=30$。
则长为 $2x=2×30=60$ 步。
【答案】
60
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算、平方根运算
【点评】
本题将古代数学问题与方程知识结合，解题的核心是找准面积的等量关系正确列方程，同时要注意实际问题中解的取值要符合现实意义，需舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
本题是结合古代数学情境的一元二次方程实际应用题，解题思路可按以下步骤展开：首先统一面积单位，将亩换算为平方步，得到长方形田地的总面积；其次根据“宽是长的一半”的数量关系设未知数；再利用长方形面积=长×宽的公式列方程；最后解方程，结合长度为正数的实际要求舍去不合理的负根，即可得到长的数值。
【解析】
首先进行单位换算：1亩=240平方步，7亩半即7.5亩，总面积为 $7.5×240=1800$ 平方步。
设长方形田的宽为 $x$ 步，由宽是长的一半可知，长为 $2x$ 步。
根据长方形面积公式可列方程：
$x·2x=1800$
化简得 $2x^2=1800$，即 $x^2=900$。
开平方得 $x=\pm30$，因为长度为正数，故舍去 $x=-30$，得 $x=30$。
则长为 $2x=2×30=60$ 步。
【答案】
60
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算、平方根运算
【点评】
本题将古代数学问题与方程知识结合，解题的核心是找准面积的等量关系正确列方程，同时要注意实际问题中解的取值要符合现实意义，需舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
7. 《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果. 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家,他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人,他给出π的两个分数形式:$\frac{22}{7}$(约率)和$\frac{355}{113}$(密率). 同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为$\frac{b}{a}$和$\frac{d}{c}$(即有$\frac{b}{a}＜x＜\frac{d}{c}$,其中a,b,c,d为正整数),则$\frac{b+d}{a+c}$是x的更为精确的近似值. 例如:已知$\frac{157}{50}＜π＜\frac{22}{7}$,则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{157+22}{50+7}=\frac{179}{57}≈3.1404＜π,\frac{179}{57}＜π＜\frac{22}{7}$,可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数…,现已知$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$,求使用两次“调日法”得到的$\sqrt{2}$的近似分数.(注:$\sqrt{2}=1.4142135…$)
答案：第一次使用“调日法”得到的近似分数为$\frac{7+3}{5+2}=\frac{10}{7}$.
∵$\frac{10}{7}＞\sqrt{2}$,
∴$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{10}{7}$.
第二次使用“调日法”得到的近似分数为$\frac{7+10}{5+7}=\frac{17}{12}$,
∴使用两次“调日法”得到的$\sqrt{2}$的近似分数是$\frac{17}{12}$.
∵$\frac{10}{7}＞\sqrt{2}$,
∴$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{10}{7}$.
第二次使用“调日法”得到的近似分数为$\frac{7+10}{5+7}=\frac{17}{12}$,
∴使用两次“调日法”得到的$\sqrt{2}$的近似分数是$\frac{17}{12}$.
解析：
【分析】
解决本题首先要准确理解“调日法”的运算规则：若实数x满足$\frac{b}{a}＜x＜\frac{d}{c}$（a,b,c,d为正整数），则$\frac{b+d}{a+c}$是x更精确的近似值。解题时第一步先利用已知的$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$进行第一次“调日法”运算，得到第一个近似分数后，将其与$\sqrt{2}$比较大小，确定新的近似区间，再用新的区间进行第二次“调日法”运算，即可得到最终结果。
【解析】
第一次使用“调日法”：已知$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$，根据规则可得近似分数为$\frac{7+3}{5+2}=\frac{10}{7}$。
经计算$\frac{10}{7}\approx1.4286＞\sqrt{2}\approx1.4142$，因此更新近似区间为$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{10}{7}$。
第二次使用“调日法”：将新的区间上下界代入规则，可得近似分数为$\frac{7+10}{5+7}=\frac{17}{12}$。
【答案】
$\frac{17}{12}$
【知识点】
新定义运算，实数大小比较
【点评】
本题以我国古代数学算法“调日法”为背景，考查对新定义规则的理解与应用能力，解题关键是严格按照规则逐步计算，每次运算后需先判断新近似值与目标数的大小，更新区间后再进行下一次运算，侧重考查审题能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要准确理解“调日法”的运算规则：若实数x满足$\frac{b}{a}＜x＜\frac{d}{c}$（a,b,c,d为正整数），则$\frac{b+d}{a+c}$是x更精确的近似值。解题时第一步先利用已知的$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$进行第一次“调日法”运算，得到第一个近似分数后，将其与$\sqrt{2}$比较大小，确定新的近似区间，再用新的区间进行第二次“调日法”运算，即可得到最终结果。
【解析】
第一次使用“调日法”：已知$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$，根据规则可得近似分数为$\frac{7+3}{5+2}=\frac{10}{7}$。
经计算$\frac{10}{7}\approx1.4286＞\sqrt{2}\approx1.4142$，因此更新近似区间为$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{10}{7}$。
第二次使用“调日法”：将新的区间上下界代入规则，可得近似分数为$\frac{7+10}{5+7}=\frac{17}{12}$。
【答案】
$\frac{17}{12}$
【知识点】
新定义运算，实数大小比较
【点评】
本题以我国古代数学算法“调日法”为背景，考查对新定义规则的理解与应用能力，解题关键是严格按照规则逐步计算，每次运算后需先判断新近似值与目标数的大小，更新区间后再进行下一次运算，侧重考查审题能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7