2. 甲、乙、丙三人组成学习小组在数学练习课上互相讨论.甲写了一个数 9,乙写了一个数 16,他们要求丙再写一个数,使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的平方根,那么,丙能写出符合条件的数吗?若能写出,能写几个?若不能写出,请说明理由.
视频学重难
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答案：设丙写出的符合条件的数为x.
①$x^2=9×16$,
∴$x=\pm12$;
②$16x=9^2$,
∴$x=\frac{81}{16}$;
③$9x=16^2$,
∴$x=\frac{256}{9}$.
综上所述,丙能写出的符合条件的数有4个,分别为$\pm12,\frac{81}{16},\frac{256}{9}$.
①$x^2=9×16$,
∴$x=\pm12$;
②$16x=9^2$,
∴$x=\frac{81}{16}$;
③$9x=16^2$,
∴$x=\frac{256}{9}$.
综上所述,丙能写出的符合条件的数有4个,分别为$\pm12,\frac{81}{16},\frac{256}{9}$.
解析：
【分析】
首先根据题意，结合平方根的定义：若a是b、c两数乘积的平方根，则满足$a^2 = b × c$。本题需要分类讨论所有符合“一个数是另外两个数乘积的平方根”的情况，共三类：①丙写的数是9和16乘积的平方根；②9是16和丙写的数乘积的平方根；③16是9和丙写的数乘积的平方根。对每类情况分别列方程求解，最后汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
设丙写出的符合条件的数为$x$，分三种情况讨论：
① 若$x$是9和16乘积的平方根，列方程得：
$x^2=9×16$，即$x^2=144$，解得$x=\pm12$；
② 若9是16和$x$乘积的平方根，列方程得：
$16x=9^2$，即$16x=81$，解得$x=\frac{81}{16}$；
③ 若16是9和$x$乘积的平方根，列方程得：
$9x=16^2$，即$9x=256$，解得$x=\frac{256}{9}$。
综上，符合条件的数共有4个。
【答案】
丙能写出符合条件的数，能写4个，分别为$\pm12,\frac{81}{16},\frac{256}{9}$。
【知识点】
平方根的定义；分类讨论思想；一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查平方根的性质，解题的关键是要全面覆盖所有可能的情况，避免因漏分类或者漏掉正数的负平方根导致错解。
【难度系数】
0.6
首先根据题意，结合平方根的定义：若a是b、c两数乘积的平方根，则满足$a^2 = b × c$。本题需要分类讨论所有符合“一个数是另外两个数乘积的平方根”的情况，共三类：①丙写的数是9和16乘积的平方根；②9是16和丙写的数乘积的平方根；③16是9和丙写的数乘积的平方根。对每类情况分别列方程求解，最后汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
设丙写出的符合条件的数为$x$，分三种情况讨论：
① 若$x$是9和16乘积的平方根，列方程得：
$x^2=9×16$，即$x^2=144$，解得$x=\pm12$；
② 若9是16和$x$乘积的平方根，列方程得：
$16x=9^2$，即$16x=81$，解得$x=\frac{81}{16}$；
③ 若16是9和$x$乘积的平方根，列方程得：
$9x=16^2$，即$9x=256$，解得$x=\frac{256}{9}$。
综上，符合条件的数共有4个。
【答案】
丙能写出符合条件的数，能写4个，分别为$\pm12,\frac{81}{16},\frac{256}{9}$。
【知识点】
平方根的定义；分类讨论思想；一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查平方根的性质，解题的关键是要全面覆盖所有可能的情况，避免因漏分类或者漏掉正数的负平方根导致错解。
【难度系数】
0.6
3. 赵老师给同学们布置了这样一道习题:一个数的算术平方根为$2m-6$,它的平方根为$\pm (m-2)$,求这个数.
小亮的解法如下:
依题意可知,$2m-6$是$m-2$或者是$-(m-2)$两数中的一个. ①
当$2m-6=m-2$,解得$m=4$. ②
所以这个数为$2m-6=2× 4-6=2$. ③
当$2m-6=-(m-2)$时,解得$m=\frac{8}{3}$. ④
所以这个数为$2m-6=2× \frac{8}{3}-6=-\frac{2}{3}$. ⑤
综上可得,这个数为$2$或$-\frac{2}{3}$. ⑥
小亮的解法是否正确?如果不正确.你知道小亮错在哪吗?为什么?并写出正确的答案.
新考法
小亮的解法如下:
依题意可知,$2m-6$是$m-2$或者是$-(m-2)$两数中的一个. ①
当$2m-6=m-2$,解得$m=4$. ②
所以这个数为$2m-6=2× 4-6=2$. ③
当$2m-6=-(m-2)$时,解得$m=\frac{8}{3}$. ④
所以这个数为$2m-6=2× \frac{8}{3}-6=-\frac{2}{3}$. ⑤
综上可得,这个数为$2$或$-\frac{2}{3}$. ⑥
小亮的解法是否正确?如果不正确.你知道小亮错在哪吗?为什么?并写出正确的答案.
新考法
答案：不正确.小亮错在把“某个数的算术平方根”当成“这个数本身”.
∵$2m-6$是某数的算术平方根,
∴$2m-6≥0$,解得$m≥3$,
∴$m=\frac{8}{3}$不符合题意,舍去.
综上所述,这个数为$2^2=4$.
∵$2m-6$是某数的算术平方根,
∴$2m-6≥0$,解得$m≥3$,
∴$m=\frac{8}{3}$不符合题意,舍去.
综上所述,这个数为$2^2=4$.
解析：
【分析】
解题时首先要明确平方根与算术平方根的核心性质：①一个正数的两个平方根互为相反数，其中正的平方根为该数的算术平方根，因此算术平方根一定是非负数，本题中2m-6≥0是隐含的前提条件；②算术平方根是原数的正平方根，求原数需要对算术平方根取平方，不能直接将算术平方根当作原数。首先判断小亮的错误：一是混淆了算术平方根和原数的概念，二是没有利用算术平方根的非负性筛选m的取值。解题时先根据非负性确定m的取值范围，再分情况解方程，舍去不符合范围的解，最后计算算术平方根的平方得到原数即可。
【解析】
解：小亮的解法不正确。
错误原因：①小亮将“这个数的算术平方根”误认为是“这个数本身”，求原数应计算算术平方根的平方；②未考虑算术平方根的非负性，没有对求得的m值进行验证取舍。
∵2m-6是某数的算术平方根，算术平方根具有非负性
∴$2m-6≥0$，解得$m≥3$
根据题意分两种情况讨论：
1. 当$2m-6 = m-2$时，解得$m=4$
此时$2m-6=2×4-6=2≥0$，符合算术平方根的非负性要求
因此这个数为$(2m-6)^2=2^2=4$
2. 当$2m-6 = -(m-2)$时，解得$m=\frac{8}{3}$
此时$2m-6=2×\frac{8}{3}-6=-\frac{2}{3}＜0$，不符合算术平方根的非负性，故舍去该情况
综上，这个数为4。
【答案】
不正确。小亮错在把“某个数的算术平方根”当成“这个数本身”，且未考虑算术平方根的非负性舍去不符合题意的解。
∵$2m-6$是某数的算术平方根，
∴$2m-6≥0$，解得$m≥3$，$m=\frac{8}{3}$不符合题意，舍去。综上所述，这个数为$4$。
【知识点】
算术平方根的非负性；平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时要注意算术平方根的非负性这一隐含条件，同时要明确算术平方根与原数的关系，避免因概念混淆或忽略隐含条件导致解题错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确平方根与算术平方根的核心性质：①一个正数的两个平方根互为相反数，其中正的平方根为该数的算术平方根，因此算术平方根一定是非负数，本题中2m-6≥0是隐含的前提条件；②算术平方根是原数的正平方根，求原数需要对算术平方根取平方，不能直接将算术平方根当作原数。首先判断小亮的错误：一是混淆了算术平方根和原数的概念，二是没有利用算术平方根的非负性筛选m的取值。解题时先根据非负性确定m的取值范围，再分情况解方程，舍去不符合范围的解，最后计算算术平方根的平方得到原数即可。
【解析】
解：小亮的解法不正确。
错误原因：①小亮将“这个数的算术平方根”误认为是“这个数本身”，求原数应计算算术平方根的平方；②未考虑算术平方根的非负性，没有对求得的m值进行验证取舍。
∵2m-6是某数的算术平方根，算术平方根具有非负性
∴$2m-6≥0$，解得$m≥3$
根据题意分两种情况讨论：
1. 当$2m-6 = m-2$时，解得$m=4$
此时$2m-6=2×4-6=2≥0$，符合算术平方根的非负性要求
因此这个数为$(2m-6)^2=2^2=4$
2. 当$2m-6 = -(m-2)$时，解得$m=\frac{8}{3}$
此时$2m-6=2×\frac{8}{3}-6=-\frac{2}{3}＜0$，不符合算术平方根的非负性，故舍去该情况
综上，这个数为4。
【答案】
不正确。小亮错在把“某个数的算术平方根”当成“这个数本身”，且未考虑算术平方根的非负性舍去不符合题意的解。
∵$2m-6$是某数的算术平方根，
∴$2m-6≥0$，解得$m≥3$，$m=\frac{8}{3}$不符合题意，舍去。综上所述，这个数为$4$。
【知识点】
算术平方根的非负性；平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时要注意算术平方根的非负性这一隐含条件，同时要明确算术平方根与原数的关系，避免因概念混淆或忽略隐含条件导致解题错误。
【难度系数】
0.6
例2（2025·平凉一模）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数$a,b$，都有$a*b=\sqrt{b}+a$，例如$4*16=\sqrt{16}+4=8$，那么$5*64$的值为（
A.$\sqrt{5}+8$
B.$11$
C.$13$
D.$9$
解析 原式$=\sqrt{64}+5=8+5=13$。
答案 C
C
）。A.$\sqrt{5}+8$
B.$11$
C.$13$
D.$9$
解析 原式$=\sqrt{64}+5=8+5=13$。
答案 C
答案：C
解析：
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解题目给出的新运算规则：$a*b$的结果等于第二个数$b$的算术平方根加上第一个数$a$。计算$5*64$时，首先要找准对应关系：*前面的5对应规则里的$a$，*后面的64对应规则里的$b$，再代入规则计算即可，计算时注意不要搞反$a$和$b$的位置，避免出错。
【解析】
根据新运算规则$a*b=\sqrt{b}+a$，可得在$5*64$中，$a=5$，$b=64$，代入得：
$5*64=\sqrt{64}+5$
因为$\sqrt{64}=8$，所以原式$=8+5=13$。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对新运算规则的解读能力和算术平方根的基础计算能力，解题关键是准确匹配新运算中两个数的对应位置，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解题目给出的新运算规则：$a*b$的结果等于第二个数$b$的算术平方根加上第一个数$a$。计算$5*64$时，首先要找准对应关系：*前面的5对应规则里的$a$，*后面的64对应规则里的$b$，再代入规则计算即可，计算时注意不要搞反$a$和$b$的位置，避免出错。
【解析】
根据新运算规则$a*b=\sqrt{b}+a$，可得在$5*64$中，$a=5$，$b=64$，代入得：
$5*64=\sqrt{64}+5$
因为$\sqrt{64}=8$，所以原式$=8+5=13$。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对新运算规则的解读能力和算术平方根的基础计算能力，解题关键是准确匹配新运算中两个数的对应位置，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8