1. $(-8)^2$ 的立方根是
4
.答案：4 [解析]
∵$(-8)^2=64$,64的立方根是4,
∴$(-8)^2$的立方根是4.
∵$(-8)^2=64$,64的立方根是4,
∴$(-8)^2$的立方根是4.
解析：
【分析】
解题时需遵循正确的运算顺序，先算乘方、再求立方根。首先根据有理数乘方的运算规则，负数的偶次幂为正数，先计算出$(-8)^2$的结果；再结合立方根的定义，即若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，计算出所得结果的立方根即可。
【解析】
1. 先计算$(-8)^2$的值：
$(-8)^2=(-8)×(-8)=64$
2. 再求64的立方根：
因为$4^3=4×4×4=64$，根据立方根的定义可知，64的立方根是4。
因此$(-8)^2$的立方根是4。
【答案】
4
【知识点】
有理数乘方运算；立方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，解题时要注意运算顺序，不要先求$-8$的立方根再计算平方，同时注意区分立方根和平方根的性质，正数的立方根是唯一的正数，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.85
解题时需遵循正确的运算顺序，先算乘方、再求立方根。首先根据有理数乘方的运算规则，负数的偶次幂为正数，先计算出$(-8)^2$的结果；再结合立方根的定义，即若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，计算出所得结果的立方根即可。
【解析】
1. 先计算$(-8)^2$的值：
$(-8)^2=(-8)×(-8)=64$
2. 再求64的立方根：
因为$4^3=4×4×4=64$，根据立方根的定义可知，64的立方根是4。
因此$(-8)^2$的立方根是4。
【答案】
4
【知识点】
有理数乘方运算；立方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，解题时要注意运算顺序，不要先求$-8$的立方根再计算平方，同时注意区分立方根和平方根的性质，正数的立方根是唯一的正数，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.85
2. (2026·南京鼓楼区期末)$\sqrt[3]{-8}=$
−2
；$\sqrt{(-3)^2}=$3
。答案：−2，3 [解析]$\sqrt[3]{-8}=-2$,$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{3^2}=3$.
解析：
【分析】
本题分为两个小问，第一问求负数的立方根：根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，且负数的立方根仍为负数，只需找到立方等于$-8$的数即可；第二问求带平方的算术平方根：算术平方根的运算结果为非负数，先计算根号内的乘方得到正数，再求该正数的算术平方根即可。
【解析】
1. 计算$\sqrt[3]{-8}$：
因为$(-2)^3=-8$，根据立方根的定义可得$\sqrt[3]{-8}=-2$；
2. 计算$\sqrt{(-3)^2}$：
先算根号内的乘方：$(-3)^2=9$，
$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3$，即$\sqrt{(-3)^2}=3$。
【答案】
$-2$，$3$
【知识点】
立方根的计算；算术平方根的计算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查立方根、算术平方根的定义与性质，解题时要注意算术平方根的结果恒为非负数，不要混淆平方根与算术平方根的概念，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题分为两个小问，第一问求负数的立方根：根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，且负数的立方根仍为负数，只需找到立方等于$-8$的数即可；第二问求带平方的算术平方根：算术平方根的运算结果为非负数，先计算根号内的乘方得到正数，再求该正数的算术平方根即可。
【解析】
1. 计算$\sqrt[3]{-8}$：
因为$(-2)^3=-8$，根据立方根的定义可得$\sqrt[3]{-8}=-2$；
2. 计算$\sqrt{(-3)^2}$：
先算根号内的乘方：$(-3)^2=9$，
$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3$，即$\sqrt{(-3)^2}=3$。
【答案】
$-2$，$3$
【知识点】
立方根的计算；算术平方根的计算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查立方根、算术平方根的定义与性质，解题时要注意算术平方根的结果恒为非负数，不要混淆平方根与算术平方根的概念，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
例2（2025·镇江外国语学校月考）下列各数中：
$12,\frac{22}{7},\frac{π}{3},-|-1|,0.101\ 001\ 000\ 1···$(每两个1之间的0的个数依次加1)，其中，无理数有
解析 无限不循环的数一定是无理数，如题中0.101 001 000 1…(每两个1之间的0的个数依次加1)是无理数；形如分数的数不一定是有理数，如$\frac{π}{3}$，它是一个无理数，不是分数，也不是有理数.
答案 2
$12,\frac{22}{7},\frac{π}{3},-|-1|,0.101\ 001\ 000\ 1···$(每两个1之间的0的个数依次加1)，其中，无理数有
2
个.解析 无限不循环的数一定是无理数，如题中0.101 001 000 1…(每两个1之间的0的个数依次加1)是无理数；形如分数的数不一定是有理数，如$\frac{π}{3}$，它是一个无理数，不是分数，也不是有理数.
答案 2
答案：2
解析：
【分析】
解决这道题的核心是先明确无理数的定义，掌握有理数和无理数的区分标准，再对给出的每个数逐一分析判断即可。首先回忆：整数和分数统称有理数，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型包括含π的代数式、有规律但不循环的无限小数、开方开不尽的数的方根。解题时先化简可运算的数（如带绝对值的式子），再逐个归类，最后统计无理数的个数，注意避开“含分数线的数都是有理数”“有规律的无限小数都是循环小数”的认知误区。
【解析】
首先明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，对题中各数逐一判断：
1. $12$是整数，属于有理数；
2. $\frac{22}{7}$是分数，属于无限循环小数，是有理数；
3. $\frac{π}{3}$：$π$本身是无限不循环小数（无理数），因此$\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $-|-1|=-1$，是整数，属于有理数；
5. $0.101\ 001\ 000\ 1···$（每两个1之间的0的个数依次加1）：是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
2
【知识点】
无理数的识别、实数的分类、绝对值的化简
【点评】
本题是实数分类的基础题型，主要考查对无理数概念的理解，解题关键是理清有理数和无理数的本质区别，尤其要注意不要把含π的分数形式的数误判为有理数，也不要把有固定规律但不循环的无限小数误判为有理数，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是先明确无理数的定义，掌握有理数和无理数的区分标准，再对给出的每个数逐一分析判断即可。首先回忆：整数和分数统称有理数，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型包括含π的代数式、有规律但不循环的无限小数、开方开不尽的数的方根。解题时先化简可运算的数（如带绝对值的式子），再逐个归类，最后统计无理数的个数，注意避开“含分数线的数都是有理数”“有规律的无限小数都是循环小数”的认知误区。
【解析】
首先明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，对题中各数逐一判断：
1. $12$是整数，属于有理数；
2. $\frac{22}{7}$是分数，属于无限循环小数，是有理数；
3. $\frac{π}{3}$：$π$本身是无限不循环小数（无理数），因此$\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $-|-1|=-1$，是整数，属于有理数；
5. $0.101\ 001\ 000\ 1···$（每两个1之间的0的个数依次加1）：是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
2
【知识点】
无理数的识别、实数的分类、绝对值的化简
【点评】
本题是实数分类的基础题型，主要考查对无理数概念的理解，解题关键是理清有理数和无理数的本质区别，尤其要注意不要把含π的分数形式的数误判为有理数，也不要把有固定规律但不循环的无限小数误判为有理数，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
3. (2025·扬州高邮期中)在$2π,\frac{22}{3},-\sqrt{8},\sqrt[3]{-27},3.14,3.868668666···$(相邻两个8之间6的个数逐次加1)中,无理数的个数是(
A.2
B.3
C.4
D.5
B
).A.2
B.3
C.4
D.5
答案：B [解析]$\frac{22}{3}$是分数,属于有理数;$\sqrt[3]{-27}=-3$,是整数,属于有理数;3.14是有限小数,属于有理数;所以无理数有$2π,-\sqrt{8},3.868\ 668\ 666…$(相邻两个8之间6的个数逐次加1)共3个.故选B.
解析：
【分析】
要解决这道题，首先需明确有理数和无理数的定义，再将题目中可化简的根式先计算出结果，最后逐个判断每个数的类型，统计无理数的个数即可。解题思路为：第一步先回忆概念，有理数包括整数、分数（有限小数、无限循环小数都属于有理数），无理数是无限不循环小数，常见的无理数有含π的数、开方开不尽的数、无限不循环的有规律小数三类；第二步先化简带根号的数，避免直接将带根号的数默认是无理数；第三步逐个筛选统计数量。
【解析】
解：整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数。
先化简题中的根式：
$\sqrt[3]{-27}=-3$，是整数，属于有理数；
$-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，因此$-\sqrt{8}$是无理数。
再逐个判断其余数：
$2π$：π是无限不循环小数，因此$2π$是无理数；
$\frac{22}{3}$是分数，属于有理数；
$3.14$是有限小数，属于有理数；
$3.868668666···$（相邻两个8之间6的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有3个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别、根式化简、有理数的概念
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题核心是要先对带根号的数化简后再判断属性，不要误认为所有带根号的数都是无理数，同时要注意区分有规律的无限不循环小数和无限循环小数。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先需明确有理数和无理数的定义，再将题目中可化简的根式先计算出结果，最后逐个判断每个数的类型，统计无理数的个数即可。解题思路为：第一步先回忆概念，有理数包括整数、分数（有限小数、无限循环小数都属于有理数），无理数是无限不循环小数，常见的无理数有含π的数、开方开不尽的数、无限不循环的有规律小数三类；第二步先化简带根号的数，避免直接将带根号的数默认是无理数；第三步逐个筛选统计数量。
【解析】
解：整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数。
先化简题中的根式：
$\sqrt[3]{-27}=-3$，是整数，属于有理数；
$-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，因此$-\sqrt{8}$是无理数。
再逐个判断其余数：
$2π$：π是无限不循环小数，因此$2π$是无理数；
$\frac{22}{3}$是分数，属于有理数；
$3.14$是有限小数，属于有理数；
$3.868668666···$（相邻两个8之间6的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有3个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别、根式化简、有理数的概念
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题核心是要先对带根号的数化简后再判断属性，不要误认为所有带根号的数都是无理数，同时要注意区分有规律的无限不循环小数和无限循环小数。
【难度系数】
0.75
4. 以下各数：$\sqrt[3]{8},0,\frac{1}{3},π-2,\sqrt{2},-1.2.$ 其中是无理数的有
2
个.答案：2
解析：
【分析】
解题时首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数包含三类：①含π的代数式；②开方开不尽的数；③无限不循环的小数。接下来我们先把题中给出的数逐一化简，再对照定义逐个判断是否为无理数，最后统计无理数的总个数即可。
【解析】
我们逐个分析题中给出的数：
1. $\sqrt[3]{8}=2$，是整数，属于有理数；
2. $0$是整数，属于有理数；
3. $\frac{1}{3}$是分数，属于有理数；
4. $π-2$：$π$本身是无限不循环小数，因此$π-2$仍是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
6. $-1.2$是有限小数，属于有理数。
综上，无理数共有$π-2$、$\sqrt{2}$这2个。
【答案】
2
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 根式化简
【点评】
本题主要考查无理数的识别，解题的核心是先对带根号的数进行化简再判断，不要误将带根号的数都当成无理数，牢记只有开方开不尽的根式、含π的式子以及无限不循环小数才是无理数。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数包含三类：①含π的代数式；②开方开不尽的数；③无限不循环的小数。接下来我们先把题中给出的数逐一化简，再对照定义逐个判断是否为无理数，最后统计无理数的总个数即可。
【解析】
我们逐个分析题中给出的数：
1. $\sqrt[3]{8}=2$，是整数，属于有理数；
2. $0$是整数，属于有理数；
3. $\frac{1}{3}$是分数，属于有理数；
4. $π-2$：$π$本身是无限不循环小数，因此$π-2$仍是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
6. $-1.2$是有限小数，属于有理数。
综上，无理数共有$π-2$、$\sqrt{2}$这2个。
【答案】
2
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 根式化简
【点评】
本题主要考查无理数的识别，解题的核心是先对带根号的数进行化简再判断，不要误将带根号的数都当成无理数，牢记只有开方开不尽的根式、含π的式子以及无限不循环小数才是无理数。
【难度系数】
0.8
例1（2025·珠海模拟）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间$T$(单位:s)称为一个周期，其计算公式为$T=2π\sqrt{\frac{l}{10}}$，$l$表示摆长(单位:m).若一台座钟的摆长为0.1 m，当$π$取3时，该摆针摆动的周期为(
A.0.05 s
B.0.06 s
C.0.5 s
D.0.6 s
解析 根据题意可知，$T=2π\sqrt{\frac{l}{10}}=2×3×\sqrt{\frac{0.1}{10}}=6×\sqrt{\frac{1}{100}}=0.6$.
答案 D
D
).A.0.05 s
B.0.06 s
C.0.5 s
D.0.6 s
解析 根据题意可知，$T=2π\sqrt{\frac{l}{10}}=2×3×\sqrt{\frac{0.1}{10}}=6×\sqrt{\frac{1}{100}}=0.6$.
答案 D
答案：D
解析：
【分析】
本题是给定公式求对应值的基础题型，解题时首先明确公式中各个参数的已知取值：摆长l=0.1m，π取3，接下来按照运算顺序逐步计算即可：先计算根号内的除法运算，再求算术平方根，最后计算乘法得到周期T的数值，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：将l=0.1m，π=3代入公式$T=2π\sqrt{\frac{l}{10}}$，按顺序计算：
1. 计算根号内的部分：$\frac{l}{10}=\frac{0.1}{10}=0.01$
2. 计算算术平方根：$\sqrt{0.01}=0.1$
3. 计算最终结果：$T=2×3×0.1=0.6\ \mathrm{s}$
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；算术平方根的运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查公式的代入应用能力和算术平方根的计算能力，运算过程中只要注意运算顺序，准确计算根号内的数值和开方结果，即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题是给定公式求对应值的基础题型，解题时首先明确公式中各个参数的已知取值：摆长l=0.1m，π取3，接下来按照运算顺序逐步计算即可：先计算根号内的除法运算，再求算术平方根，最后计算乘法得到周期T的数值，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：将l=0.1m，π=3代入公式$T=2π\sqrt{\frac{l}{10}}$，按顺序计算：
1. 计算根号内的部分：$\frac{l}{10}=\frac{0.1}{10}=0.01$
2. 计算算术平方根：$\sqrt{0.01}=0.1$
3. 计算最终结果：$T=2×3×0.1=0.6\ \mathrm{s}$
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；算术平方根的运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查公式的代入应用能力和算术平方根的计算能力，运算过程中只要注意运算顺序，准确计算根号内的数值和开方结果，即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
举一反三
1.（2025·无锡锡山区期中）如图（1），某教材有这样一个探究：把两个面积为$1\ \mathrm{dm}^2$的小正方形拼成一个面积为$2\ \mathrm{dm}^2$的大正方形，所得到的面积为$2\ \mathrm{dm}^2$的大正方形的边就是原先面积为$1\ \mathrm{dm}^2$的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线的长为$\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
（1）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中$A$，$B$两点表示的数为
（2）某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图（3）所示的一个正方形。请同学们仿
1.（2025·无锡锡山区期中）如图（1），某教材有这样一个探究：把两个面积为$1\ \mathrm{dm}^2$的小正方形拼成一个面积为$2\ \mathrm{dm}^2$的大正方形，所得到的面积为$2\ \mathrm{dm}^2$的大正方形的边就是原先面积为$1\ \mathrm{dm}^2$的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线的长为$\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
（1）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中$A$，$B$两点表示的数为
$-\sqrt{2}$
，$\sqrt{2}$
；（2）某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图（3）所示的一个正方形。请同学们仿
答案：(1)$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$ [解析]由题意,得小正方形的面积为1,
∴小正方形的对角线为$\sqrt{2}$,
∴OA=OB=$\sqrt{2}$,
∴点A表示的数为$-\sqrt{2}$,点B表示的数为$\sqrt{2}$.
∴小正方形的对角线为$\sqrt{2}$,
∴OA=OB=$\sqrt{2}$,
∴点A表示的数为$-\sqrt{2}$,点B表示的数为$\sqrt{2}$.
解析：
【分析】要确定数轴上A、B两点对应的数，可分两步思考：第一步先求两点到原点的距离，根据题干给出的探究结论，边长为1的小正方形对角线长度为$\sqrt{2}$，可知OA、OB的长度均为$\sqrt{2}$；第二步判断数的符号，数轴上原点左侧的数为负数，右侧的数为正数，结合两点到原点的距离即可得出对应数值。
【解析】由题意可知，边长为1的小正方形的对角线长为$\sqrt{2}$，
因此数轴上点A、点B到原点O的距离$OA=OB=\sqrt{2}$，
又
∵点A在原点左侧，表示负数，点B在原点右侧，表示正数，
∴点A表示的数为$-\sqrt{2}$，点B表示的数为$\sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$
【知识点】
实数与数轴的对应；无理数的数轴表示
【点评】
本题以教材探究内容为背景，考查无理数在数轴上的表示方法，解题关键是明确点到原点的距离及对应数的符号，有助于加深对实数与数轴一一对应关系的理解。
【难度系数】
0.8
【解析】由题意可知，边长为1的小正方形的对角线长为$\sqrt{2}$，
因此数轴上点A、点B到原点O的距离$OA=OB=\sqrt{2}$，
又
∵点A在原点左侧，表示负数，点B在原点右侧，表示正数，
∴点A表示的数为$-\sqrt{2}$，点B表示的数为$\sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$
【知识点】
实数与数轴的对应；无理数的数轴表示
【点评】
本题以教材探究内容为背景，考查无理数在数轴上的表示方法，解题关键是明确点到原点的距离及对应数的符号，有助于加深对实数与数轴一一对应关系的理解。
【难度系数】
0.8
1.（2025·无锡锡山区期中）如图（1），某教材有这样一
照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由；
（3）若3是$4a+5$的一个平方根，$3a+b-9$的立方根是2，$c$为图（3）中小正方形的边长$x$的整数部分，请计算$4a+b-c$的平方根。
照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由；
（3）若3是$4a+5$的一个平方根，$3a+b-9$的立方根是2，$c$为图（3）中小正方形的边长$x$的整数部分，请计算$4a+b-c$的平方根。
答案：(2)由题意,得大正方形的面积为$(1+2)^2=9$,两个小长方形的面积为$2×1×2=4$,
∴小正方形的面积为$9-5=5$.由算术平方根,可得小长方形对角线的长度为$\sqrt{5}$.
(3)由题意,得
$\begin{cases}4a+5=3^2,\\3a+b-9=2^3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=14.\end{cases}$
由(2),得题图(3)中小正方形的边长为$\sqrt{5}$.
∵$2＜\sqrt{5}＜3$,
∴x的整数部分为2,即c=2,
∴$4a+b-c=4×1+14-2=16$.
∴$\pm\sqrt{4a+b-c}=\pm4$,
∴$4a+b-c$的平方根是$\pm4$.
∴小正方形的面积为$9-5=5$.由算术平方根,可得小长方形对角线的长度为$\sqrt{5}$.
(3)由题意,得
$\begin{cases}4a+5=3^2,\\3a+b-9=2^3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=14.\end{cases}$
由(2),得题图(3)中小正方形的边长为$\sqrt{5}$.
∵$2＜\sqrt{5}＜3$,
∴x的整数部分为2,即c=2,
∴$4a+b-c=4×1+14-2=16$.
∴$\pm\sqrt{4a+b-c}=\pm4$,
∴$4a+b-c$的平方根是$\pm4$.
解析：
【分析】
对于(2)问，可借助面积法求解小长方形的对角线长度：先计算拼接后大正方形的总面积，再减去周围4个直角三角形的总面积，得到中间小正方形的面积，小正方形的边长就是小长方形的对角线，对面积开算术平方根即可得到长度。对于(3)问，先根据平方根、立方根的定义列方程组求解a、b的值，再根据(2)的结果估算x的整数部分得到c，最后代入代数式计算并求其平方根即可。
【解析】
(2) 由拼接过程可知，大正方形的边长为小长方形的长与宽之和，即$1+2=3$，因此大正方形的面积为$3^2=9$；
两个小长方形沿对角线剪开后得到4个完全相同的直角三角形，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×1×2=1$，因此4个直角三角形的总面积为$4×1=4$；
中间小正方形的面积 = 大正方形面积 - 4个直角三角形的总面积 = $9-4=5$，小正方形的边长就是小长方形的对角线长度，由算术平方根的定义可得，小长方形的对角线长度为$\sqrt{5}$。
(3) 根据题意列方程组：
$\begin{cases}4a+5=3^2\\3a+b-9=2^3\end{cases}$
解第一个方程：$4a+5=9$，移项得$4a=4$，解得$a=1$；
将$a=1$代入第二个方程：$3×1 + b -9=8$，整理得$b-6=8$，解得$b=14$；
由(2)可知，图(3)中小正方形的边长$x=\sqrt{5}$，因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，因此$\sqrt{5}$的整数部分为2，即$c=2$；
代入代数式计算：$4a+b-c=4×1 +14 -2=16$；
16的平方根为$\pm\sqrt{16}=\pm4$，因此$4a+b-c$的平方根是$\pm4$。
【答案】
(2) $\sqrt{5}$；(3) $\pm4$
【知识点】
平方根与立方根的定义，无理数的估算，面积法求线段长
【点评】
本题将图形拼接与实数相关知识结合，既考查了利用面积法求解线段长度的几何思维，又考查了平方根、立方根性质及无理数估算的代数应用，需要熟练掌握各知识点并灵活迁移运用。
【难度系数】
0.7
对于(2)问，可借助面积法求解小长方形的对角线长度：先计算拼接后大正方形的总面积，再减去周围4个直角三角形的总面积，得到中间小正方形的面积，小正方形的边长就是小长方形的对角线，对面积开算术平方根即可得到长度。对于(3)问，先根据平方根、立方根的定义列方程组求解a、b的值，再根据(2)的结果估算x的整数部分得到c，最后代入代数式计算并求其平方根即可。
【解析】
(2) 由拼接过程可知，大正方形的边长为小长方形的长与宽之和，即$1+2=3$，因此大正方形的面积为$3^2=9$；
两个小长方形沿对角线剪开后得到4个完全相同的直角三角形，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×1×2=1$，因此4个直角三角形的总面积为$4×1=4$；
中间小正方形的面积 = 大正方形面积 - 4个直角三角形的总面积 = $9-4=5$，小正方形的边长就是小长方形的对角线长度，由算术平方根的定义可得，小长方形的对角线长度为$\sqrt{5}$。
(3) 根据题意列方程组：
$\begin{cases}4a+5=3^2\\3a+b-9=2^3\end{cases}$
解第一个方程：$4a+5=9$，移项得$4a=4$，解得$a=1$；
将$a=1$代入第二个方程：$3×1 + b -9=8$，整理得$b-6=8$，解得$b=14$；
由(2)可知，图(3)中小正方形的边长$x=\sqrt{5}$，因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，因此$\sqrt{5}$的整数部分为2，即$c=2$；
代入代数式计算：$4a+b-c=4×1 +14 -2=16$；
16的平方根为$\pm\sqrt{16}=\pm4$，因此$4a+b-c$的平方根是$\pm4$。
【答案】
(2) $\sqrt{5}$；(3) $\pm4$
【知识点】
平方根与立方根的定义，无理数的估算，面积法求线段长
【点评】
本题将图形拼接与实数相关知识结合，既考查了利用面积法求解线段长度的几何思维，又考查了平方根、立方根性质及无理数估算的代数应用，需要熟练掌握各知识点并灵活迁移运用。
【难度系数】
0.7