例4（2026·徐州期末）已知$2a-1$的平方根是$\pm3$，$b+2$的立方根是2，则$b-a$的算术平方根是
名师启发 根据$2a-1$的平方根是$\pm3$，$b+2$的立方根是2，得出$2a-1=9$，$b+2=8$，求出$a=5$，$b=6$，求出$b-a$的值，从而得出$b-a$的算术平方根。
1
。名师启发 根据$2a-1$的平方根是$\pm3$，$b+2$的立方根是2，得出$2a-1=9$，$b+2=8$，求出$a=5$，$b=6$，求出$b-a$的值，从而得出$b-a$的算术平方根。
答案：1 [解析]
∵2a−1的平方根是±3,b+2的立方根是2,
∴2a−1=9,b+2=8,
∴a=5,b=6,
∴b−a=6−5=1,
∴b−a的算术平方根是1.
∵2a−1的平方根是±3,b+2的立方根是2,
∴2a−1=9,b+2=8,
∴a=5,b=6,
∴b−a=6−5=1,
∴b−a的算术平方根是1.
解析：
【分析】
解题时先根据平方根的定义：若一个数的平方根是±m，则这个数等于m²，可列出关于a的方程求出a的值；再根据立方根的定义：若一个数的立方根是n，则这个数等于n³，列出关于b的方程求出b的值；接着计算b-a的结果，最后根据算术平方根的非负性，求出b-a的算术平方根即可。
【解析】
解：
∵2a−1的平方根是±3，
∴2a−1 = 3² = 9，
解得a = 5。
∵b+2的立方根是2，
∴b+2 = 2³ = 8，
解得b = 6。
∴b−a = 6−5 = 1，
∵1的算术平方根是1，
∴b−a的算术平方根是1。
【答案】
1
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是准确区分平方根、立方根、算术平方根的定义，根据定义列出等式求出未知参数，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先根据平方根的定义：若一个数的平方根是±m，则这个数等于m²，可列出关于a的方程求出a的值；再根据立方根的定义：若一个数的立方根是n，则这个数等于n³，列出关于b的方程求出b的值；接着计算b-a的结果，最后根据算术平方根的非负性，求出b-a的算术平方根即可。
【解析】
解：
∵2a−1的平方根是±3，
∴2a−1 = 3² = 9，
解得a = 5。
∵b+2的立方根是2，
∴b+2 = 2³ = 8，
解得b = 6。
∴b−a = 6−5 = 1，
∵1的算术平方根是1，
∴b−a的算术平方根是1。
【答案】
1
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是准确区分平方根、立方根、算术平方根的定义，根据定义列出等式求出未知参数，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
例5 (2025·南京外国语学校期中)阅读材料:由$6+2\sqrt{5}=5+1+2\sqrt{5}=(\sqrt{5})^{2}+2×\sqrt{5}×1+1^{2}=(\sqrt{5}+1)^{2}$可知,$6+2\sqrt{5}$的算术平方根是$\sqrt{5}+1$,类似地,$7-4\sqrt{3}$的算术平方根是
2−√3
.答案：2−√3 [解析]
∵7−4√3=4−2×2×√3+3=2²−2×2×√3+(√3)²=(2−√3)²,
∴7−4√3的算术平方根为2−√3.
∵7−4√3=4−2×2×√3+3=2²−2×2×√3+(√3)²=(2−√3)²,
∴7−4√3的算术平方根为2−√3.
解析：
【分析】
解决本题的核心思路是将被开方数凑成完全平方的形式，结合算术平方根的非负性求解：首先回忆完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，观察被开方数$7-4\sqrt{3}$，交叉项为$-4\sqrt{3}$，可变形为$-2×2×\sqrt{3}$，对应公式中的$-2ab$；再验证常数项：$2^2+(\sqrt{3})^2=4+3=7$，正好等于原式的常数项，即可凑出完全平方；最后根据算术平方根是非负数的性质，取正的平方根即可。
【解析】
先将$7-4\sqrt{3}$拆分配凑成完全平方形式：
$\because 7-4\sqrt{3}=4+3-4\sqrt{3}=2^2-2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=(2-\sqrt{3})^2$
又因为算术平方根的结果为非负数，且$2＞\sqrt{3}$，即$2-\sqrt{3}＞0$
$\therefore 7-4\sqrt{3}$的算术平方根为$\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式、算术平方根的概念、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式与乘法公式结合的典型题型，解题关键是掌握含根号的无理式凑完全平方的技巧，同时要牢记算术平方根的非负性，避免开方后符号判断错误。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是将被开方数凑成完全平方的形式，结合算术平方根的非负性求解：首先回忆完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，观察被开方数$7-4\sqrt{3}$，交叉项为$-4\sqrt{3}$，可变形为$-2×2×\sqrt{3}$，对应公式中的$-2ab$；再验证常数项：$2^2+(\sqrt{3})^2=4+3=7$，正好等于原式的常数项，即可凑出完全平方；最后根据算术平方根是非负数的性质，取正的平方根即可。
【解析】
先将$7-4\sqrt{3}$拆分配凑成完全平方形式：
$\because 7-4\sqrt{3}=4+3-4\sqrt{3}=2^2-2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=(2-\sqrt{3})^2$
又因为算术平方根的结果为非负数，且$2＞\sqrt{3}$，即$2-\sqrt{3}＞0$
$\therefore 7-4\sqrt{3}$的算术平方根为$\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式、算术平方根的概念、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式与乘法公式结合的典型题型，解题关键是掌握含根号的无理式凑完全平方的技巧，同时要牢记算术平方根的非负性，避免开方后符号判断错误。
【难度系数】
0.7
例6 已知实数$a,b$互为倒数，$c,d$互为相反数，$\sqrt[3]{-27}+x=0$，$y$是$\sqrt{15}$的整数部分，则求$(ab+c+d)x+\sqrt{c+d}-y^{-x}$的值.
名师启发 根据互为相反数、互为倒数、立方根的意义以及无理数的估算方法求解即可.
名师启发 根据互为相反数、互为倒数、立方根的意义以及无理数的估算方法求解即可.
答案：
∵实数a,b互为倒数,
∴ab=1.
∵c,d互为相反数,
∴c+d=0.
∵$\sqrt[3]{-27}+x=0$,
∴x=3.
∵3＜√15＜4,
∴√15的整数部分为3,即y=3,
∴$(ab+c+d)x+\sqrt{c+d}-y^{-x}=3+0-3^{-3}$
$=3-\frac{1}{27}=\frac{80}{27}$.
∵实数a,b互为倒数,
∴ab=1.
∵c,d互为相反数,
∴c+d=0.
∵$\sqrt[3]{-27}+x=0$,
∴x=3.
∵3＜√15＜4,
∴√15的整数部分为3,即y=3,
∴$(ab+c+d)x+\sqrt{c+d}-y^{-x}=3+0-3^{-3}$
$=3-\frac{1}{27}=\frac{80}{27}$.
解析：
【分析】
解题遵循“拆解条件→求对应值→代入计算”的思路：第一步，根据倒数、相反数的定义，直接得出ab和c+d的取值；第二步，计算立方根求解含x的方程，得到x的值；第三步，通过夹逼法估算$\sqrt{15}$的范围，得到它的整数部分即y的值；最后将所有求出的数值代入待求代数式，按运算规则计算即可，注意负整数指数幂的运算要求。
【解析】
∵实数$a,b$互为倒数,
∴$ab=1$.
∵$c,d$互为相反数,
∴$c+d=0$.
∵$\sqrt[3]{-27}+x=0$,
∴$x=3$.
∵$3＜\sqrt{15}＜4$,
∴$\sqrt{15}$的整数部分为3，即$y=3$,
∴$(ab+c+d)x+\sqrt{c+d}-y^{-x}=(1+0)×3+\sqrt{0}-3^{-3}$
$=3+0-\frac{1}{27}=\frac{80}{27}$.
【答案】
$\frac{80}{27}$
【知识点】
倒数与相反数的性质；立方根运算；无理数估算
【点评】
本题是实数基础概念的综合考察题，融合了多个基础知识点，难度较低，解题核心是准确掌握各类基础概念的含义，计算时注意负整数指数幂的运算规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解题遵循“拆解条件→求对应值→代入计算”的思路：第一步，根据倒数、相反数的定义，直接得出ab和c+d的取值；第二步，计算立方根求解含x的方程，得到x的值；第三步，通过夹逼法估算$\sqrt{15}$的范围，得到它的整数部分即y的值；最后将所有求出的数值代入待求代数式，按运算规则计算即可，注意负整数指数幂的运算要求。
【解析】
∵实数$a,b$互为倒数,
∴$ab=1$.
∵$c,d$互为相反数,
∴$c+d=0$.
∵$\sqrt[3]{-27}+x=0$,
∴$x=3$.
∵$3＜\sqrt{15}＜4$,
∴$\sqrt{15}$的整数部分为3，即$y=3$,
∴$(ab+c+d)x+\sqrt{c+d}-y^{-x}=(1+0)×3+\sqrt{0}-3^{-3}$
$=3+0-\frac{1}{27}=\frac{80}{27}$.
【答案】
$\frac{80}{27}$
【知识点】
倒数与相反数的性质；立方根运算；无理数估算
【点评】
本题是实数基础概念的综合考察题，融合了多个基础知识点，难度较低，解题核心是准确掌握各类基础概念的含义，计算时注意负整数指数幂的运算规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
例7（2025·福州高新实验中学模拟）已知$2a - 7$和$a + 4$是某正数$m$的两个平方根，$b - 12$的立方根为$-2$，$c$是$\sqrt{15}$的整数部分。
(1)求$m$的值；
(2)求$a + 3b + c$的平方根。
名师启发 (1)根据正数的两个平方根互为相反数，得出$2a - 7 + a + 4 = 0$，求出$a = 1$，再求出$m$的值即可；
(2)利用立方根的意义、无理数的估算方法，求出$b,c$的值，将$a,b,c$的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可。
(1)求$m$的值；
(2)求$a + 3b + c$的平方根。
名师启发 (1)根据正数的两个平方根互为相反数，得出$2a - 7 + a + 4 = 0$，求出$a = 1$，再求出$m$的值即可；
(2)利用立方根的意义、无理数的估算方法，求出$b,c$的值，将$a,b,c$的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可。
答案：(1)
∵某正数m的两个不同的平方根是2a−7和a+4,
∴2a−7+a+4=0,
∴a=1,
∴2a−7=−5,
∴m=(−5)²=25.
(2)
∵b−12的立方根为−2,
∴b−12=(−2)³=−8,
∴b=4.
∵c是√15的整数部分,且3＜√15＜4,
∴c=3,
∴a+3b+c=1+12+3=16.
∵16的平方根为±4,
∴a+3b+c的平方根是±4.
∵某正数m的两个不同的平方根是2a−7和a+4,
∴2a−7+a+4=0,
∴a=1,
∴2a−7=−5,
∴m=(−5)²=25.
(2)
∵b−12的立方根为−2,
∴b−12=(−2)³=−8,
∴b=4.
∵c是√15的整数部分,且3＜√15＜4,
∴c=3,
∴a+3b+c=1+12+3=16.
∵16的平方根为±4,
∴a+3b+c的平方根是±4.
解析：
【分析】
(1) 求正数m的值时，依据正数的两个平方根互为相反数的性质，可知两个平方根的和为0，据此列方程求出a的值，再将其中一个平方根平方即可得到m的值。
(2) 求a+3b+c的平方根时，先根据立方根的定义，由立方根的值反求被开方数，得到b的值；再通过估算√15的取值范围，确定它的整数部分得到c的值；代入代数式算出结果后，再根据平方根的定义求出最终结果，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1)
∵正数m的两个平方根是2a−7和a+4，正数的两个平方根互为相反数，
∴2a−7+a+4=0，
解得a=1，
将a=1代入2a−7得2×1−7=−5，
∴m=(−5)²=25。
(2)
∵b−12的立方根为−2，根据立方根的定义可得，
∴b−12=(−2)³=−8，
解得b=4，
∵9＜15＜16，
∴√9＜√15＜√16，即3＜√15＜4，
∴√15的整数部分c=3，
将a=1、b=4、c=3代入代数式得：a+3b+c=1+3×4+3=16，
∵(±4)²=16，
∴a+3b+c的平方根是±4。
【答案】
(1) m=25；
(2) ±4
【知识点】
平方根的性质，立方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题属于实数板块的基础综合题，核心考查平方根、立方根的性质以及无理数估算的方法，解题时要注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免出现漏写负根的错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求正数m的值时，依据正数的两个平方根互为相反数的性质，可知两个平方根的和为0，据此列方程求出a的值，再将其中一个平方根平方即可得到m的值。
(2) 求a+3b+c的平方根时，先根据立方根的定义，由立方根的值反求被开方数，得到b的值；再通过估算√15的取值范围，确定它的整数部分得到c的值；代入代数式算出结果后，再根据平方根的定义求出最终结果，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1)
∵正数m的两个平方根是2a−7和a+4，正数的两个平方根互为相反数，
∴2a−7+a+4=0，
解得a=1，
将a=1代入2a−7得2×1−7=−5，
∴m=(−5)²=25。
(2)
∵b−12的立方根为−2，根据立方根的定义可得，
∴b−12=(−2)³=−8，
解得b=4，
∵9＜15＜16，
∴√9＜√15＜√16，即3＜√15＜4，
∴√15的整数部分c=3，
将a=1、b=4、c=3代入代数式得：a+3b+c=1+3×4+3=16，
∵(±4)²=16，
∴a+3b+c的平方根是±4。
【答案】
(1) m=25；
(2) ±4
【知识点】
平方根的性质，立方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题属于实数板块的基础综合题，核心考查平方根、立方根的性质以及无理数估算的方法，解题时要注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免出现漏写负根的错误。
【难度系数】
0.7
例1 $\sqrt[3]{-27}$的立方根是
解析 因为$\sqrt[3]{-27}=-3$，所以$-3$的立方根为$\sqrt[3]{-3}$。
$\sqrt[3]{-3}$
。解析 因为$\sqrt[3]{-27}=-3$，所以$-3$的立方根为$\sqrt[3]{-3}$。
答案：$\sqrt[3]{-3}$
解析：
【分析】
解题时首先要明确题目要求：是求$\sqrt[3]{-27}$的运算结果的立方根，而非直接求-27的立方根。整体分两步思考：第一步先根据立方根的定义化简内层的$\sqrt[3]{-27}$，得到具体数值；第二步再对该数值求立方根即可，注意不要跳步误判所求的运算对象，避免出现低级错误。
【解析】
第一步：计算$\sqrt[3]{-27}$的值
根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。因为$(-3)^3=-27$，因此$\sqrt[3]{-27}=-3$。
第二步：求$-3$的立方根
根据立方根的性质，任意实数都有唯一的立方根，负数的立方根仍为负数，因此$-3$的立方根为$\sqrt[3]{-3}$。
【答案】
$\sqrt[3]{-3}$
【知识点】
1. 立方根的定义
2. 开立方运算
3. 负数的立方根性质
【点评】
本题属于立方根相关的基础易错题，常见错误是审题不仔细，直接将题目当成求-27的立方根，从而错写答案为-3。做题时需明确运算顺序，先化简内层开方运算，确定所求立方根的对应数值后再进行计算。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确题目要求：是求$\sqrt[3]{-27}$的运算结果的立方根，而非直接求-27的立方根。整体分两步思考：第一步先根据立方根的定义化简内层的$\sqrt[3]{-27}$，得到具体数值；第二步再对该数值求立方根即可，注意不要跳步误判所求的运算对象，避免出现低级错误。
【解析】
第一步：计算$\sqrt[3]{-27}$的值
根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。因为$(-3)^3=-27$，因此$\sqrt[3]{-27}=-3$。
第二步：求$-3$的立方根
根据立方根的性质，任意实数都有唯一的立方根，负数的立方根仍为负数，因此$-3$的立方根为$\sqrt[3]{-3}$。
【答案】
$\sqrt[3]{-3}$
【知识点】
1. 立方根的定义
2. 开立方运算
3. 负数的立方根性质
【点评】
本题属于立方根相关的基础易错题，常见错误是审题不仔细，直接将题目当成求-27的立方根，从而错写答案为-3。做题时需明确运算顺序，先化简内层开方运算，确定所求立方根的对应数值后再进行计算。
【难度系数】
0.6