2. 综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $ y=\frac{1}{2}x + 3 $ 的图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数 $ y=-x + b $ 的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点。
(1)求A，B两点的坐标。
(2)求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标。
(3)试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $ y=\frac{1}{2}x + 3 $ 的图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数 $ y=-x + b $ 的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点。
(1)求A，B两点的坐标。
(2)求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标。
(3)试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：(1) 当$x=0$时，$y=\frac{1}{2}x+3=3$，$\therefore$点$B$的坐标为$(0,3)$；
当$y=\frac{1}{2}x+3=0$时，$x=-6$，$\therefore$点$A$的坐标为$(-6,0)$.
(2) 将点$B$的坐标代入$y=-x+b$，得$b=3$，$\therefore$直线$BC$的表达式为$y=-x+3$.
当$y=-x+3=0$时，$x=3$，$\therefore$点$C$的坐标为$(3,0)$.
(3) 存在以$A,C,P$为顶点的三角形的面积为18。理由如下：
$\because A(-6,0),C(3,0)$，$\therefore AC=9$，$\therefore \frac{1}{2}AC·|y_P|=18$，$\therefore |y_P|=4$.
当$y=\frac{1}{2}x+3=4$时，$x=2$，此时点$P$的坐标为$(2,4)$；
当$y=\frac{1}{2}x+3=-4$时，$x=-14$，此时点$P$的坐标为$(-14,-4)$.
综上所述，满足条件的点$P$的坐标为$(2,4)$或$(-14,-4)$.
素养考向 本题考查了一次函数的综合应用，涉及用待定系数法求函数表达式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，学生解此题时，应具备运算能力、推理能力，同时注意分类讨论思想的运用.
当$y=\frac{1}{2}x+3=0$时，$x=-6$，$\therefore$点$A$的坐标为$(-6,0)$.
(2) 将点$B$的坐标代入$y=-x+b$，得$b=3$，$\therefore$直线$BC$的表达式为$y=-x+3$.
当$y=-x+3=0$时，$x=3$，$\therefore$点$C$的坐标为$(3,0)$.
(3) 存在以$A,C,P$为顶点的三角形的面积为18。理由如下：
$\because A(-6,0),C(3,0)$，$\therefore AC=9$，$\therefore \frac{1}{2}AC·|y_P|=18$，$\therefore |y_P|=4$.
当$y=\frac{1}{2}x+3=4$时，$x=2$，此时点$P$的坐标为$(2,4)$；
当$y=\frac{1}{2}x+3=-4$时，$x=-14$，此时点$P$的坐标为$(-14,-4)$.
综上所述，满足条件的点$P$的坐标为$(2,4)$或$(-14,-4)$.
素养考向 本题考查了一次函数的综合应用，涉及用待定系数法求函数表达式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，学生解此题时，应具备运算能力、推理能力，同时注意分类讨论思想的运用.
解析：
【分析】
(1) 求一次函数与坐标轴的交点坐标，遵循“x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0”的规律，分别代入解析式计算即可得到A、B的坐标。
(2) 直线BC的解析式中仅参数b未知，将已知点B的坐标代入即可求出b，得到BC的表达式，再令解析式中y=0计算x，即可得到C点坐标。
(3) 由于A、C均在x轴上，△ACP以AC为底时，高就是点P纵坐标的绝对值，先计算AC的长度，结合面积为18可求出P点纵坐标的可能值，再将纵坐标代入直线AB的解析式求出对应横坐标，注意纵坐标有正负两种情况，需分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 对于一次函数 $y=\frac{1}{2}x + 3$：
当$x=0$时，$y=\frac{1}{2}×0 + 3=3$，$\therefore$点$B$的坐标为$(0,3)$；
当$y=0$时，$\frac{1}{2}x + 3=0$，解得$x=-6$，$\therefore$点$A$的坐标为$(-6,0)$。
(2) 将点$B(0,3)$代入$y=-x + b$，得$3=0 + b$，解得$b=3$，
$\therefore$直线BC的表达式为$y=-x+3$；
当$y=0$时，$-x + 3=0$，解得$x=3$，$\therefore$点$C$的坐标为$(3,0)$。
(3) 存在，理由如下：
$\because A(-6,0),C(3,0)$，$\therefore AC=3-(-6)=9$，
设点$P$的纵坐标为$y_P$，则$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}× AC× |y_P|=18$，
代入$AC=9$得：$\frac{1}{2}×9×|y_P|=18$，解得$|y_P|=4$，即$y_P=4$或$y_P=-4$。
① 当$y_P=4$时，代入$y=\frac{1}{2}x + 3$得：$\frac{1}{2}x + 3=4$，解得$x=2$，此时$P$坐标为$(2,4)$；
② 当$y_P=-4$时，代入$y=\frac{1}{2}x + 3$得：$\frac{1}{2}x + 3=-4$，解得$x=-14$，此时$P$坐标为$(-14,-4)$。
【答案】
(1) $A(-6,0)$，$B(0,3)$；
(2) 直线BC的表达式为$y=-x+3$，$C(3,0)$；
(3) 存在，点P的坐标为$(2,4)$或$(-14,-4)$。
【知识点】
一次函数交点坐标、待定系数法求解析式、三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，覆盖了一次函数的核心基础考点，解题时需熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，处理动点面积问题时注意分类讨论，避免遗漏动点的不同位置导致漏解，能有效锻炼运算能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数与坐标轴的交点坐标，遵循“x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0”的规律，分别代入解析式计算即可得到A、B的坐标。
(2) 直线BC的解析式中仅参数b未知，将已知点B的坐标代入即可求出b，得到BC的表达式，再令解析式中y=0计算x，即可得到C点坐标。
(3) 由于A、C均在x轴上，△ACP以AC为底时，高就是点P纵坐标的绝对值，先计算AC的长度，结合面积为18可求出P点纵坐标的可能值，再将纵坐标代入直线AB的解析式求出对应横坐标，注意纵坐标有正负两种情况，需分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 对于一次函数 $y=\frac{1}{2}x + 3$：
当$x=0$时，$y=\frac{1}{2}×0 + 3=3$，$\therefore$点$B$的坐标为$(0,3)$；
当$y=0$时，$\frac{1}{2}x + 3=0$，解得$x=-6$，$\therefore$点$A$的坐标为$(-6,0)$。
(2) 将点$B(0,3)$代入$y=-x + b$，得$3=0 + b$，解得$b=3$，
$\therefore$直线BC的表达式为$y=-x+3$；
当$y=0$时，$-x + 3=0$，解得$x=3$，$\therefore$点$C$的坐标为$(3,0)$。
(3) 存在，理由如下：
$\because A(-6,0),C(3,0)$，$\therefore AC=3-(-6)=9$，
设点$P$的纵坐标为$y_P$，则$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}× AC× |y_P|=18$，
代入$AC=9$得：$\frac{1}{2}×9×|y_P|=18$，解得$|y_P|=4$，即$y_P=4$或$y_P=-4$。
① 当$y_P=4$时，代入$y=\frac{1}{2}x + 3$得：$\frac{1}{2}x + 3=4$，解得$x=2$，此时$P$坐标为$(2,4)$；
② 当$y_P=-4$时，代入$y=\frac{1}{2}x + 3$得：$\frac{1}{2}x + 3=-4$，解得$x=-14$，此时$P$坐标为$(-14,-4)$。
【答案】
(1) $A(-6,0)$，$B(0,3)$；
(2) 直线BC的表达式为$y=-x+3$，$C(3,0)$；
(3) 存在，点P的坐标为$(2,4)$或$(-14,-4)$。
【知识点】
一次函数交点坐标、待定系数法求解析式、三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，覆盖了一次函数的核心基础考点，解题时需熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，处理动点面积问题时注意分类讨论，避免遗漏动点的不同位置导致漏解，能有效锻炼运算能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
3. 一次函数$y=kx+b$与一次函数$y=-kx-b$称为一对和谐函数(其中$k,b$为常数，$k≠0$). 例如：$y=2x+1$与$y=-2x-1$就是一对和谐函数. 请尝试证明一般情况下一对和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中$k,b$为常数，$k≠0$)图象“成轴对称”的结论成立.
答案：由$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=-kx-b, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=-\frac{b}{k}, \\ y=0, \end{cases}$
$\therefore$和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中$k,b$为常数，$k≠0$)的图象交于$x$轴上的一点.
$\because$函数$y=kx+b$交$y$轴于点$(0,b)$，函数$y=-kx-b$交$y$轴于点$(0,-b)$，点$(0,b)$与$(0,-b)$关于$x$轴对称，
$\therefore$一般情况下，一对和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$图象“成轴对称”.
$\therefore$和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中$k,b$为常数，$k≠0$)的图象交于$x$轴上的一点.
$\because$函数$y=kx+b$交$y$轴于点$(0,b)$，函数$y=-kx-b$交$y$轴于点$(0,-b)$，点$(0,b)$与$(0,-b)$关于$x$轴对称，
$\therefore$一般情况下，一对和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$图象“成轴对称”.
解析：
【分析】
要证明两个一次函数的图象（直线）成轴对称，可按以下思路推导：第一步，联立两个函数的解析式，求出两条直线的交点，确定公共点的位置；第二步，分别取两条直线上的特殊点（如与y轴的交点），判断这两个特殊点的对称关系；第三步，若公共点在对称轴上，且两条直线上的对应点都关于该对称轴对称，即可证明两条直线成轴对称。
【解析】
1. 求两个和谐函数图象的交点：
联立两个函数解析式得方程组$\begin{cases} y=kx+b \\ y=-kx-b \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x=-\frac{b}{k} \\ y=0 \end{cases}$，
即两个函数图象的交点为$(-\frac{b}{k},0)$，该点在x轴上。
2. 分析两个函数与y轴交点的对称关系：
对于$y=kx+b$，令$x=0$，得$y=b$，即与y轴交点为$(0,b)$；
对于$y=-kx-b$，令$x=0$，得$y=-b$，即与y轴交点为$(0,-b)$；
点$(0,b)$和$(0,-b)$关于x轴对称。
3. 推导对称结论：
两条直线的公共交点在x轴上，且两条直线上的对应特殊点关于x轴对称，因此两条直线关于x轴对称，即一对和谐函数的图象成轴对称的结论成立。
【答案】
一对和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$（$k,b$为常数，$k≠0$）的图象关于x轴对称，成轴对称的结论成立。
【知识点】
一次函数的图象与性质；轴对称的判定；二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合新定义“和谐函数”考查一次函数与轴对称的综合应用，解题核心是将直线的轴对称问题转化为点的轴对称问题，通过求交点、取特殊点分析对称关系即可推导结论，侧重对基础逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
要证明两个一次函数的图象（直线）成轴对称，可按以下思路推导：第一步，联立两个函数的解析式，求出两条直线的交点，确定公共点的位置；第二步，分别取两条直线上的特殊点（如与y轴的交点），判断这两个特殊点的对称关系；第三步，若公共点在对称轴上，且两条直线上的对应点都关于该对称轴对称，即可证明两条直线成轴对称。
【解析】
1. 求两个和谐函数图象的交点：
联立两个函数解析式得方程组$\begin{cases} y=kx+b \\ y=-kx-b \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x=-\frac{b}{k} \\ y=0 \end{cases}$，
即两个函数图象的交点为$(-\frac{b}{k},0)$，该点在x轴上。
2. 分析两个函数与y轴交点的对称关系：
对于$y=kx+b$，令$x=0$，得$y=b$，即与y轴交点为$(0,b)$；
对于$y=-kx-b$，令$x=0$，得$y=-b$，即与y轴交点为$(0,-b)$；
点$(0,b)$和$(0,-b)$关于x轴对称。
3. 推导对称结论：
两条直线的公共交点在x轴上，且两条直线上的对应特殊点关于x轴对称，因此两条直线关于x轴对称，即一对和谐函数的图象成轴对称的结论成立。
【答案】
一对和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$（$k,b$为常数，$k≠0$）的图象关于x轴对称，成轴对称的结论成立。
【知识点】
一次函数的图象与性质；轴对称的判定；二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合新定义“和谐函数”考查一次函数与轴对称的综合应用，解题核心是将直线的轴对称问题转化为点的轴对称问题，通过求交点、取特殊点分析对称关系即可推导结论，侧重对基础逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7