例2 [活动回顾]
探究“以方程$x+y=5$的解为坐标($x$的值为横坐标、$y$的值为纵坐标)的点的特性”，了解二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系的过程中，我们发现：以方程$x+y=5$的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数$y=-x+5$的图象相同，是同一条直线。结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线。
示例:如图(1),我们在画方程$x-y=0$的图象时,可以取点$A(-1,-1)$和$B(2,2)$,作出直线$AB$.
[解决问题]
(1)请你在图(2)所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组$\begin{cases}x-y=1, \\2x+3y=12\end{cases}$中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象.(提示:依据“两点确定一条直线”,画出图象即可,无需写过程)
(2)观察图象,两条直线的交点坐标为,由此你得出这个二元一次方程组的解是.
[拓展延伸]
(3)已知二元一次方程$ax+by=7$的图象经过点$A(1,2)$和点$B(4,1)$,试求$a+b$的值;
(4)在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=x+3$的图象$l_1$和一次函数$y=x-1$的图象$l_2$如图(3)所示.请根据图象,直接判断方程组$\begin{cases}x-y=-3, \\x-y=1\end{cases}$的解的情况为 ______ (不需要说明理由).
解析 (1)根据两点确定一条直线即可画出函数图象;(2)根据函数图象即可确定交点坐标以及二元一次方程组的解;(3)代入点$A$和$B$的坐标,解二元一次方程组求出$a$和$b$的值,即可确定$a+b$的值;(4)根据图象即可确定方程组解的情况.
答案 (1)如图所示:
(2)$(3,2)$ $\begin{cases}x=3, \\y=2\end{cases}$
(3)将点$A(1,2)$和点$B(4,1)$代入二元一次方程$ax+by=7$,得$\begin{cases}a+2b=7, \\4a+b=7\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1, \\b=3\end{cases}$
$\therefore a+b=4$.
(4)无解 提示:根据图象可知,两直线平行,
$\therefore$方程组$\begin{cases}x-y=-3, \\x-y=1\end{cases}$无解.
点拨 本题考查了一次函数的图象和性质、一次函数与二元一次方程组的关系,熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键.
探究“以方程$x+y=5$的解为坐标($x$的值为横坐标、$y$的值为纵坐标)的点的特性”，了解二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系的过程中，我们发现：以方程$x+y=5$的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数$y=-x+5$的图象相同，是同一条直线。结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线。
示例:如图(1),我们在画方程$x-y=0$的图象时,可以取点$A(-1,-1)$和$B(2,2)$,作出直线$AB$.
[解决问题]
(1)请你在图(2)所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组$\begin{cases}x-y=1, \\2x+3y=12\end{cases}$中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象.(提示:依据“两点确定一条直线”,画出图象即可,无需写过程)
(2)观察图象,两条直线的交点坐标为,由此你得出这个二元一次方程组的解是.
[拓展延伸]
(3)已知二元一次方程$ax+by=7$的图象经过点$A(1,2)$和点$B(4,1)$,试求$a+b$的值;
(4)在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=x+3$的图象$l_1$和一次函数$y=x-1$的图象$l_2$如图(3)所示.请根据图象,直接判断方程组$\begin{cases}x-y=-3, \\x-y=1\end{cases}$的解的情况为 ______ (不需要说明理由).
解析 (1)根据两点确定一条直线即可画出函数图象;(2)根据函数图象即可确定交点坐标以及二元一次方程组的解;(3)代入点$A$和$B$的坐标,解二元一次方程组求出$a$和$b$的值,即可确定$a+b$的值;(4)根据图象即可确定方程组解的情况.
答案 (1)如图所示:
(2)$(3,2)$ $\begin{cases}x=3, \\y=2\end{cases}$
(3)将点$A(1,2)$和点$B(4,1)$代入二元一次方程$ax+by=7$,得$\begin{cases}a+2b=7, \\4a+b=7\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1, \\b=3\end{cases}$
$\therefore a+b=4$.
(4)无解 提示:根据图象可知,两直线平行,
$\therefore$方程组$\begin{cases}x-y=-3, \\x-y=1\end{cases}$无解.
点拨 本题考查了一次函数的图象和性质、一次函数与二元一次方程组的关系,熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键.
答案：解：
(1) 在平面直角坐标系中，取点$(0,-1)$和$(1,0)$画出直线$x-y=1$，取点$(0,4)$和$(6,0)$画出直线$2x+3y=12$，所得图象即为所求。
(2) $\boldsymbol{(3,2)}$；$\boldsymbol{\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}}$
(3) 将点$A(1,2)$和点$B(4,1)$代入二元一次方程$ax+by=7$，得
$\begin{cases}a+2b=7,\\4a+b=7.\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a=1,\\b=3.\end{cases}$
$\therefore a+b=1+3=4$。
(4) 无解
(1) 在平面直角坐标系中，取点$(0,-1)$和$(1,0)$画出直线$x-y=1$，取点$(0,4)$和$(6,0)$画出直线$2x+3y=12$，所得图象即为所求。
(2) $\boldsymbol{(3,2)}$；$\boldsymbol{\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}}$
(3) 将点$A(1,2)$和点$B(4,1)$代入二元一次方程$ax+by=7$，得
$\begin{cases}a+2b=7,\\4a+b=7.\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a=1,\\b=3.\end{cases}$
$\therefore a+b=1+3=4$。
(4) 无解
解析：
【分析】
1. 第(1)问：依据二元一次方程对应的图象是一次函数图象的结论，将方程变形为一次函数形式，各选取两个计算简便的点（如与坐标轴的交点），利用两点确定一条直线即可画出图象；
2. 第(2)问：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的方程，因此交点坐标就是二元一次方程组的解，直接读取图象交点即可得到结果；
3. 第(3)问：方程图象经过某点说明点坐标满足方程，将两个点坐标代入方程得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再计算a+b即可；
4. 第(4)问：若两个一次函数图象平行，说明两直线无公共点，即没有x、y值同时满足两个对应方程，因此对应的方程组无解。
【解析】
(1) 对于方程$x-y=1$，变形得$y=x-1$，取点$(0,-1)$和$(1,0)$，过两点画直线即为$x-y=1$对应的图象；对于方程$2x+3y=12$，变形得$y=-\frac{2}{3}x+4$，取点$(0,4)$和$(6,0)$，过两点画直线即为$2x+3y=12$对应的图象。
(2) 观察画出的两条直线，交点坐标为$(3,2)$，该坐标同时满足两个方程，因此方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$。
(3) 将$A(1,2)$、$B(4,1)$代入$ax+by=7$，得方程组：
$\begin{cases}a+2b=7 ①\\4a+b=7 ②\end{cases}$
给②式两边乘2得$8a+2b=14$ ③，用③$-$①得$7a=7$，解得$a=1$。将$a=1$代入①得$1+2b=7$，解得$b=3$，因此$a+b=1+3=4$。
(4) 观察图象可知$l_1$与$l_2$平行，无交点，因此对应的方程组无解。
【答案】
(1) 在平面直角坐标系中，取点$(0,-1)$和$(1,0)$画出直线$x-y=1$，取点$(0,4)$和$(6,0)$画出直线$2x+3y=12$，所得图象即为所求。
(2) $\boldsymbol{(3,2)}$；$\boldsymbol{\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{4}$
(4) $\boldsymbol{无解}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程（组）的关系，二元一次方程组的解法，一次函数图象性质
【点评】
本题围绕一次函数和二元一次方程（组）的关联命题，既考查了动手画图能力，也考查了数形结合思想的应用，是巩固该模块知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：依据二元一次方程对应的图象是一次函数图象的结论，将方程变形为一次函数形式，各选取两个计算简便的点（如与坐标轴的交点），利用两点确定一条直线即可画出图象；
2. 第(2)问：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的方程，因此交点坐标就是二元一次方程组的解，直接读取图象交点即可得到结果；
3. 第(3)问：方程图象经过某点说明点坐标满足方程，将两个点坐标代入方程得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再计算a+b即可；
4. 第(4)问：若两个一次函数图象平行，说明两直线无公共点，即没有x、y值同时满足两个对应方程，因此对应的方程组无解。
【解析】
(1) 对于方程$x-y=1$，变形得$y=x-1$，取点$(0,-1)$和$(1,0)$，过两点画直线即为$x-y=1$对应的图象；对于方程$2x+3y=12$，变形得$y=-\frac{2}{3}x+4$，取点$(0,4)$和$(6,0)$，过两点画直线即为$2x+3y=12$对应的图象。
(2) 观察画出的两条直线，交点坐标为$(3,2)$，该坐标同时满足两个方程，因此方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$。
(3) 将$A(1,2)$、$B(4,1)$代入$ax+by=7$，得方程组：
$\begin{cases}a+2b=7 ①\\4a+b=7 ②\end{cases}$
给②式两边乘2得$8a+2b=14$ ③，用③$-$①得$7a=7$，解得$a=1$。将$a=1$代入①得$1+2b=7$，解得$b=3$，因此$a+b=1+3=4$。
(4) 观察图象可知$l_1$与$l_2$平行，无交点，因此对应的方程组无解。
【答案】
(1) 在平面直角坐标系中，取点$(0,-1)$和$(1,0)$画出直线$x-y=1$，取点$(0,4)$和$(6,0)$画出直线$2x+3y=12$，所得图象即为所求。
(2) $\boldsymbol{(3,2)}$；$\boldsymbol{\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{4}$
(4) $\boldsymbol{无解}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程（组）的关系，二元一次方程组的解法，一次函数图象性质
【点评】
本题围绕一次函数和二元一次方程（组）的关联命题，既考查了动手画图能力，也考查了数形结合思想的应用，是巩固该模块知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7