例1 漏刻是我国古代的一种计时工具.据史书记载,西周时期就已经出现了漏刻,这是中国古代人民对函数思想的创造性应用.小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型,研究中发现水位$h$(cm)是时间$t$(min)的一次函数,如表是小明记录的部分数据,其中有一个$h$的值记录错误,请排除后利用正确的数据确定当$h$为8 cm时,对应的时间$t$为min.
解析 设一次函数的表达式为$h＝kt＋b$,由表可知,当$t＝3$时,$h$的值记录错误.
将$(1,2.4),(2,2.8)$代入,
得$\begin{cases}k + b = 2.4, \\2k + b = 2.8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 0.4, \\b = 2,\end{cases}$
$\therefore h＝0.4t＋2$,将$h＝8$代入,得$t＝15$.
答案 15
点拨 本题考查一次函数的应用,能熟练地求出一次函数表达式是解题的关键.
解析 设一次函数的表达式为$h＝kt＋b$,由表可知,当$t＝3$时,$h$的值记录错误.
将$(1,2.4),(2,2.8)$代入,
得$\begin{cases}k + b = 2.4, \\2k + b = 2.8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 0.4, \\b = 2,\end{cases}$
$\therefore h＝0.4t＋2$,将$h＝8$代入,得$t＝15$.
答案 15
点拨 本题考查一次函数的应用,能熟练地求出一次函数表达式是解题的关键.
答案：$\boldsymbol{15}$
解析：
【分析】
已知水位h是时间t的一次函数，根据一次函数的线性特征，即自变量t每增加固定值时，因变量h的增量恒定，首先可排查出记录错误的h值；再选取两组正确的t、h对应值，用待定系数法求出一次函数的表达式；最后将h=8代入表达式，即可计算出对应的时间t。
【解析】
∵ 水位h是时间t的一次函数，
∴ t每增加1min，h的增量固定。观察数据：t=1时h=2.4，t=2时h=2.8，可知t每增加1min，h增加0.4cm，因此t=3时的h值记录错误，排除该组数据。
设一次函数的表达式为$\boldsymbol{h=kt+b}$（$k≠0$），
将$(1,2.4)$、$(2,2.8)$代入表达式，得：
$\begin{cases} k + b = 2.4 \\ 2k + b = 2.8 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$k=0.4$，
将$k=0.4$代入$k+b=2.4$，解得$b=2$，
∴ 一次函数表达式为$h=0.4t+2$。
将$h=8$代入表达式，得：
$8=0.4t+2$
移项计算得：$0.4t=6$，解得$t=15$。
【答案】
$15$
【知识点】
一次函数性质；待定系数法；一次函数应用
【点评】
本题结合我国古代漏刻计时的背景，考查一次函数的实际应用，解题的核心是先利用一次函数的增量恒定特征排除错误数据，再通过待定系数法求出函数解析式，最后代入求值，体现了数学与传统文化、生活实际的结合。
【难度系数】
0.7
已知水位h是时间t的一次函数，根据一次函数的线性特征，即自变量t每增加固定值时，因变量h的增量恒定，首先可排查出记录错误的h值；再选取两组正确的t、h对应值，用待定系数法求出一次函数的表达式；最后将h=8代入表达式，即可计算出对应的时间t。
【解析】
∵ 水位h是时间t的一次函数，
∴ t每增加1min，h的增量固定。观察数据：t=1时h=2.4，t=2时h=2.8，可知t每增加1min，h增加0.4cm，因此t=3时的h值记录错误，排除该组数据。
设一次函数的表达式为$\boldsymbol{h=kt+b}$（$k≠0$），
将$(1,2.4)$、$(2,2.8)$代入表达式，得：
$\begin{cases} k + b = 2.4 \\ 2k + b = 2.8 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$k=0.4$，
将$k=0.4$代入$k+b=2.4$，解得$b=2$，
∴ 一次函数表达式为$h=0.4t+2$。
将$h=8$代入表达式，得：
$8=0.4t+2$
移项计算得：$0.4t=6$，解得$t=15$。
【答案】
$15$
【知识点】
一次函数性质；待定系数法；一次函数应用
【点评】
本题结合我国古代漏刻计时的背景，考查一次函数的实际应用，解题的核心是先利用一次函数的增量恒定特征排除错误数据，再通过待定系数法求出函数解析式，最后代入求值，体现了数学与传统文化、生活实际的结合。
【难度系数】
0.7
1. (2026·泰州泰兴期末改编)
综合与实践:杆秤中的数学
小明根据素材3制作了最大量程为1000 g的杆秤,若干次称重时所记录的一些数据如表所示:
(1)若称一重物时的读数为5大格3小格,则此时称得的重物的质量为
(2)求y关于x的函数表达式;
(3)求此杆秤的每小格的长度.
新考法
综合与实践:杆秤中的数学
小明根据素材3制作了最大量程为1000 g的杆秤,若干次称重时所记录的一些数据如表所示:
(1)若称一重物时的读数为5大格3小格,则此时称得的重物的质量为
530
g;(2)求y关于x的函数表达式;
(3)求此杆秤的每小格的长度.
新考法
答案：(1) 530
解析：由题意，得10大格表示1000 g，所以5大格表示500 g，3小格表示30 g，所以此时称得的重物的质量为530 g.
(2) 由题意知$y$是关于$x$的一次函数，$\therefore$设$y=kx+b$，把$(25,2.5),(50,3)$代入，得$\begin{cases} 25k+b=2.5, \\ 50k+b=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=\frac{1}{50}, \\ b=2, \end{cases}$ $\therefore y=\frac{1}{50}x+2$.
(3) 当$x=0$时，$y=2$；当$x=1000$时，$y=20+2=22$，$\therefore \frac{22-2}{100}=0.2(\mathrm{cm})$.故此杆秤的每小格的长度为0.2 cm.
解析：由题意，得10大格表示1000 g，所以5大格表示500 g，3小格表示30 g，所以此时称得的重物的质量为530 g.
(2) 由题意知$y$是关于$x$的一次函数，$\therefore$设$y=kx+b$，把$(25,2.5),(50,3)$代入，得$\begin{cases} 25k+b=2.5, \\ 50k+b=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=\frac{1}{50}, \\ b=2, \end{cases}$ $\therefore y=\frac{1}{50}x+2$.
(3) 当$x=0$时，$y=2$；当$x=1000$时，$y=20+2=22$，$\therefore \frac{22-2}{100}=0.2(\mathrm{cm})$.故此杆秤的每小格的长度为0.2 cm.
解析：
【分析】
（1）首先明确杆秤最大量程1000g对应10大格，可推出每大格代表100g，结合常规杆秤每大格分10小格，可得每小格代表10g，再根据读数计算总质量即可。
（2）观察质量x和秤砣到提钮的距离y的变化规律，可知二者符合一次函数关系，因此采用待定系数法，设函数表达式为y=kx+b，代入两组已知对应值求解k、b，即可得到函数表达式。
（3）要计算每小格长度，需先求出零刻度（x=0）和最大量程（x=1000g）对应的y值，二者的差就是所有刻度的总长度，再除以总小格数（10大格共100小格），即可得到每小格的长度。
【解析】
(1) 由题意可知，杆秤最大量程1000g对应10大格，因此1大格代表的质量为$1000÷10=100\mathrm{g}$，每大格分为10小格，因此1小格代表的质量为$100÷10=10\mathrm{g}$。读数为5大格3小格时，总质量为$5×100 + 3×10 = 530\mathrm{g}$。
(2) 由题意可知y是关于x的一次函数，设函数表达式为$y=kx+b$，将$(25,2.5)$、$(50,3)$代入表达式得：
$\begin{cases} 25k+b=2.5 \\ 50k+b=3 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$25k=0.5$，解得$k=\frac{1}{50}$，将$k=\frac{1}{50}$代入$25k+b=2.5$，得$0.5 + b=2.5$，解得$b=2$。
因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{1}{50}x+2$。
(3) 当$x=0$（即不放重物，对应零刻度）时，代入函数表达式得$y=2$；当$x=1000$（即最大量程）时，代入得$y=\frac{1}{50}×1000 +2=22$。
因此所有刻度的总长度为$22-2=20\mathrm{cm}$，杆秤总共10大格，每大格10小格，总小格数为$10×10=100$小格，因此每小格的长度为$20÷100=0.2\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boxed{530}$
(2) $\boxed{y=\dfrac{1}{50}x+2}$
(3) $\boxed{0.2\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际意义
【点评】
本题结合生活中常见的杆秤场景命题，将数学知识与实际应用结合，既考查了一次函数的基础知识点，也要求学生能将实际问题转化为数学模型求解，有利于提升学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确杆秤最大量程1000g对应10大格，可推出每大格代表100g，结合常规杆秤每大格分10小格，可得每小格代表10g，再根据读数计算总质量即可。
（2）观察质量x和秤砣到提钮的距离y的变化规律，可知二者符合一次函数关系，因此采用待定系数法，设函数表达式为y=kx+b，代入两组已知对应值求解k、b，即可得到函数表达式。
（3）要计算每小格长度，需先求出零刻度（x=0）和最大量程（x=1000g）对应的y值，二者的差就是所有刻度的总长度，再除以总小格数（10大格共100小格），即可得到每小格的长度。
【解析】
(1) 由题意可知，杆秤最大量程1000g对应10大格，因此1大格代表的质量为$1000÷10=100\mathrm{g}$，每大格分为10小格，因此1小格代表的质量为$100÷10=10\mathrm{g}$。读数为5大格3小格时，总质量为$5×100 + 3×10 = 530\mathrm{g}$。
(2) 由题意可知y是关于x的一次函数，设函数表达式为$y=kx+b$，将$(25,2.5)$、$(50,3)$代入表达式得：
$\begin{cases} 25k+b=2.5 \\ 50k+b=3 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$25k=0.5$，解得$k=\frac{1}{50}$，将$k=\frac{1}{50}$代入$25k+b=2.5$，得$0.5 + b=2.5$，解得$b=2$。
因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{1}{50}x+2$。
(3) 当$x=0$（即不放重物，对应零刻度）时，代入函数表达式得$y=2$；当$x=1000$（即最大量程）时，代入得$y=\frac{1}{50}×1000 +2=22$。
因此所有刻度的总长度为$22-2=20\mathrm{cm}$，杆秤总共10大格，每大格10小格，总小格数为$10×10=100$小格，因此每小格的长度为$20÷100=0.2\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boxed{530}$
(2) $\boxed{y=\dfrac{1}{50}x+2}$
(3) $\boxed{0.2\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际意义
【点评】
本题结合生活中常见的杆秤场景命题，将数学知识与实际应用结合，既考查了一次函数的基础知识点，也要求学生能将实际问题转化为数学模型求解，有利于提升学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.7