【分析】
本题考查直角三角形的判定，可从两个方向逐一验证选项：一是利用三角形内角和为180°，判断是否存在90°的内角；二是利用勾股定理的逆定理，验证三边长是否满足两短边的平方和等于最长边的平方，即可得出结果。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
选项A：根据三角形内角和为180°，已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入得$∠ C+∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
选项B：设三边长分别为$x、x、2x$（$x＞0$），两短边平方和为$x^2+x^2=2x^2$，最长边平方为$(2x)^2=4x^2$，$2x^2≠4x^2$，不满足勾股定理逆定理；且$x+x=2x$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，更不能判定为直角三角形，符合题意。
选项C：化简$(b+c)(b-c)=a^2$得$b^2-c^2=a^2$，即$b^2=a^2+c^2$，满足勾股定理逆定理，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
选项D：最长边为$c=\sqrt{3}$，计算得$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$，$(\sqrt{3})^2=3$，即$1^2+(\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2$，满足勾股定理逆定理，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题时要熟练掌握直角三角形的两种判定方法，同时注意先验证三边是否满足三角形的三边关系，避免掉入易错陷阱。
【难度系数】
0.8

【分析】
观察图形可知所有三角形均为直角三角形，且$A_1A_2、A_2A_3··· A_7A_8$的长度均为1，我们可以利用勾股定理依次计算$OA_2、OA_3···$的长度，也可以先推导$OA_n$的长度规律，再代入$n=8$快速求出$OA_8$的长。
【解析】
已知每个三角形都是直角三角形，且$OA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=\dots=A_{7}A_{8}=1$：
1. 在$\mathrm{Rt}△ OA_{1}A_{2}$中，由勾股定理得：
$OA_{2}=\sqrt{OA_{1}^{2}+A_{1}A_{2}^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$
2. 在$\mathrm{Rt}△ OA_{2}A_{3}$中，由勾股定理得：
$OA_{3}=\sqrt{OA_{2}^{2}+A_{2}A_{3}^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$
3. 以此类推可总结规律：$OA_{n}=\sqrt{n}$
当$n=8$时，$OA_{8}=\sqrt{8}$，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；规律探究
【点评】
本题属于勾股定理的规律应用类题目，既可以逐步计算得到结果，也可以通过推导通用规律降低计算量，解题核心是熟练掌握勾股定理的运算规则。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先利用折叠的性质得到相等线段AE=DE，再结合D是BC中点求出CD的长度，观察到△CDE是直角三角形，设CE的长为x，用含x的式子表示DE的长度，最后根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，BC=8，
∴CD = $\frac{1}{2}$BC = 4。
由翻折的性质可得：AE = DE。
设CE = x，
∵点E在AC的延长线上，AC=3，
∴AE = AC + CE = 3 + x，
∴DE = 3 + x。
又
∵∠ACB = 90°，
∴∠ECD = 90°，即△CDE是直角三角形，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE^2 + CD^2 = DE^2$，
代入得：$x^2 + 4^2 = (3 + x)^2$，
展开：$x^2 + 16 = x^2 + 6x + 9$，
化简得：6x = 7，
解得：x = $\frac{7}{6}$，即CE的长为$\frac{7}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，方程思想
【点评】
本题属于几何折叠常见计算题，核心是通过折叠性质找到相等线段，结合直角三角形勾股定理建立方程求解，难度不大，需要熟练掌握折叠的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分面积=正方形ABCD的面积 - 直角三角形ABE的面积。首先在Rt△ABE中，已知两条直角边AE、BE的长度，可通过勾股定理求出斜边AB的平方，也就是正方形的面积；再利用直角三角形面积公式求出△ABE的面积，两者作差即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠AEB=90°，AE=5，BE=12，
∴在Rt△ABE中，根据勾股定理得：
$AB^2=AE^2+BE^2=5^2+12^2=25+144=169$，
∴正方形ABCD的面积为$AB^2=169$，
又
∵$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AE× BE=\frac{1}{2}×5×12=30$，
∴阴影部分的面积 = 正方形ABCD的面积 - $S_{△ ABE}$ = $169-30=139$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与面积计算结合考查，解题的核心是掌握割补法求不规则图形面积的思路，将阴影部分面积转化为规则图形的面积差进行求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求两条相交线的夹角$∠ APB$，直接计算难度较大，可利用转化思想求解：首先通过作平行线将$∠ APB$转化为可计算的三角形内角，再用勾股定理算出该三角形三边长度，结合勾股定理逆定理判断三角形的形状，即可得到所求角的度数。具体思考步骤：1. 构造辅助线，平移其中一条线段，将所求角转移到格点三角形内；2. 用勾股定理计算三角形各边的长度；3. 通过勾股定理逆定理判定三角形形状，得到对应角度。
【解析】
取格点$E$，连接$AE$、$CE$，使$AE// BD$，结合平行线的同位角相等，可得$∠ APB=∠ CAE$。
已知每个小正方形边长为1，用勾股定理计算各线段长度：
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$CE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AE=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
验证三角形形状：
$\because AC^2+CE^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=10$，$AE^2=(\sqrt{10})^2=10$，
$\therefore AC^2+CE^2=AE^2$，且$AC=CE$，
$\therefore △ ACE$是等腰直角三角形，$∠ CAE=45°$，即$∠ APB=45°$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理及逆定理，平行线的性质，等腰直角三角形判定
【点评】
本题是网格中角度计算的典型题，核心考查转化思想的应用，通过作平行线将未知角转移到可求解的格点三角形中，结合勾股定理相关知识即可得出答案，解题时要熟练掌握格点中线段长度的计算方法。
【难度系数】
0.7

【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：题干给出直角三角形ABC，已知两条直角边长度，首先可通过勾股定理算出斜边AB的长度；看到D是斜边AB的中点，结合直角三角形斜边中线的性质可直接求出CD的长度；要求垂直于CD的EF的长度，求垂线段长度可优先考虑等面积法，只要算出以CD为底、EF为高的三角形的面积，就能通过面积公式列方程求解EF。接下来利用中点的性质计算目标三角形的面积：过D作BC的垂线，结合中位线性质得到高的长度，再由E是BC中点得到CE的长度，即可算出三角形面积，进而求出EF。
【解析】
解：
1. 计算斜边$AB$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
2. 计算$CD$的长度：
∵ $D$是$AB$的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=5$
3. 计算$△ DCE$的面积：
过点$D$作$DG⊥ BC$于点$G$，
∵ $AC⊥ BC$，
∴ $DG// AC$，
又
∵ $D$是$AB$中点，
∴ $DG$是$△ ABC$的中位线，
∴ $DG=\frac{1}{2}AC=3$，
∵ $E$是$BC$的中点，
∴ $CE=\frac{1}{2}BC=4$，
∴ $S_{△ DCE}=\frac{1}{2}× CE × DG=\frac{1}{2}×4×3=6$
4. 等面积法求$EF$：
∵ $EF⊥ CD$，
∴ $S_{△ DCE}=\frac{1}{2}× CD × EF$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5× EF=6$，
解得$EF=\frac{12}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质，等面积法
【点评】
本题是直角三角形性质应用的典型题型，解题关键是灵活选用等面积法求解垂线段长度，能很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7