26. (10分)新素养 应用意识 在计算器没有带开方功能的情况下,我们可以用下面的方法得到$\sqrt{n}$(n为正整数)的近似值$a_k$(k为正整数),并通过迭代逐渐减小$|a_k - \sqrt{n}|$的值来提高$a_k$的精确度.以求$\sqrt{7}$的近似值为例,迭代过程如下:
① 先估计$\sqrt{7}$的范围并确定迭代的初始值$a_1$(因为$4＜7＜9$,所以$2＜\sqrt{7}＜3$.取$a_1=2+\frac{3-2}{2}=2.5$);
② 通过计算$m_k=\frac{a_k^2 -n}{2a_k}$和$a_{k+1}=a_k -m_k$得到精确度更高的近似值$a_{k+1}$.
请根据以上信息,完成下面的问题:(题中记$\sqrt{7}\approx2.6458$,以下结果要求写成小数形式)
(1) 当$k=1$时,$m_1=\frac{a_1^2 -7}{2a_1}=$
(2) 当$k=2$时,求$m_2$(精确到0.001),$a_3,|a_3 - \sqrt{7}|$的值.
2-6
① 先估计$\sqrt{7}$的范围并确定迭代的初始值$a_1$(因为$4＜7＜9$,所以$2＜\sqrt{7}＜3$.取$a_1=2+\frac{3-2}{2}=2.5$);
② 通过计算$m_k=\frac{a_k^2 -n}{2a_k}$和$a_{k+1}=a_k -m_k$得到精确度更高的近似值$a_{k+1}$.
请根据以上信息,完成下面的问题:(题中记$\sqrt{7}\approx2.6458$,以下结果要求写成小数形式)
(1) 当$k=1$时,$m_1=\frac{a_1^2 -7}{2a_1}=$
$-0.15$
,$a_2=a_1 -m_1=$$2.65$
,$|a_2 - \sqrt{7}|\approx$$0.0042$
;(2) 当$k=2$时,求$m_2$(精确到0.001),$a_3,|a_3 - \sqrt{7}|$的值.
2-6
答案：26. (1) $-0.15$ $2.65$ $0.0042$(2) 当 $k=2$ 时,$m_2=\dfrac{a_2^2-7}{2a_2}=\dfrac{2.65^2-7}{2×2.65}\approx0.004$. 则$a_3=a_2-m_2\approx2.65-0.004=2.646$,即 $|a_3-\sqrt{7}|\approx|2.646-2.6458|=0.0002$.
解析：
【分析】
本题是新定义类运算题，解题核心是读懂题目给出的迭代计算规则，明确各公式中参数的含义，按步骤代入数值计算即可。解题时先从已知的初始值$a_1$出发，先计算第一问的$m_1$、$a_2$及差值；再将第一问得到的$a_2$作为已知条件，代入公式计算第二问的$m_2$、$a_3$及差值，计算时注意题目要求的精度即可。
【解析】
(1) 已知$a_1=2.5$，代入公式计算：
首先计算$a_1^2=2.5^2=6.25$，
则$m_1=\frac{a_1^2 -7}{2a_1}=\frac{6.25 -7}{2×2.5}=\frac{-0.75}{5}=-0.15$；
$a_2=a_1 - m_1=2.5 - (-0.15)=2.65$；
已知$\sqrt{7}\approx2.6458$，因此$|a_2 - \sqrt{7}|\approx|2.65 - 2.6458|=0.0042$。
(2) 当$k=2$时，$a_2=2.65$，代入公式计算：
先算$a_2^2=2.65^2=7.0225$，
则$m_2=\frac{a_2^2 -7}{2a_2}=\frac{7.0225 -7}{2×2.65}=\frac{0.0225}{5.3}\approx0.004$（精确到0.001）；
$a_3=a_2 - m_2\approx2.65 - 0.004=2.646$；
因此$|a_3 - \sqrt{7}|\approx|2.646 - 2.6458|=0.0002$。
【答案】
(1) $-0.15$；$2.65$；$0.0042$
(2) $m_2\approx0.004$，$a_3\approx2.646$，$|a_3 - \sqrt{7}|\approx0.0002$
【知识点】
1. 平方根估算
2. 新定义运算
3. 实数运算
【点评】
本题结合平方根的估算考查新定义运算的应用，难度不大，解题关键是读懂题目给出的迭代公式，按要求逐步代入计算，计算时注意小数位数的精度要求，避免计算失误即可。
【难度系数】
0.8
本题是新定义类运算题，解题核心是读懂题目给出的迭代计算规则，明确各公式中参数的含义，按步骤代入数值计算即可。解题时先从已知的初始值$a_1$出发，先计算第一问的$m_1$、$a_2$及差值；再将第一问得到的$a_2$作为已知条件，代入公式计算第二问的$m_2$、$a_3$及差值，计算时注意题目要求的精度即可。
【解析】
(1) 已知$a_1=2.5$，代入公式计算：
首先计算$a_1^2=2.5^2=6.25$，
则$m_1=\frac{a_1^2 -7}{2a_1}=\frac{6.25 -7}{2×2.5}=\frac{-0.75}{5}=-0.15$；
$a_2=a_1 - m_1=2.5 - (-0.15)=2.65$；
已知$\sqrt{7}\approx2.6458$，因此$|a_2 - \sqrt{7}|\approx|2.65 - 2.6458|=0.0042$。
(2) 当$k=2$时，$a_2=2.65$，代入公式计算：
先算$a_2^2=2.65^2=7.0225$，
则$m_2=\frac{a_2^2 -7}{2a_2}=\frac{7.0225 -7}{2×2.65}=\frac{0.0225}{5.3}\approx0.004$（精确到0.001）；
$a_3=a_2 - m_2\approx2.65 - 0.004=2.646$；
因此$|a_3 - \sqrt{7}|\approx|2.646 - 2.6458|=0.0002$。
【答案】
(1) $-0.15$；$2.65$；$0.0042$
(2) $m_2\approx0.004$，$a_3\approx2.646$，$|a_3 - \sqrt{7}|\approx0.0002$
【知识点】
1. 平方根估算
2. 新定义运算
3. 实数运算
【点评】
本题结合平方根的估算考查新定义运算的应用，难度不大，解题关键是读懂题目给出的迭代公式，按要求逐步代入计算，计算时注意小数位数的精度要求，避免计算失误即可。
【难度系数】
0.8