24. (8分)(2026·江苏苏州期末)我们知道,负数没有平方根,但对于三个互不相等的负整数,若两两乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“完美组合数”.例如:－9,－4,－1这三个数,$\sqrt{(-9)×(-4)}=6$,$\sqrt{(-9)×(-1)}=3$,$\sqrt{(-4)×(-1)}=2$,其结果6,3,2都是整数,所以－9,－4,－1这三个数称为“完美组合数”.
(1) －18,－8,－2这三个数是“完美组合数”吗?请说明理由；
(2) 若三个数－3,m,－12是“完美组合数”,其中两个数乘积的算术平方根为12,求m的值.
(1) －18,－8,－2这三个数是“完美组合数”吗?请说明理由；
(2) 若三个数－3,m,－12是“完美组合数”,其中两个数乘积的算术平方根为12,求m的值.
答案：24. (1) $-18,-8,-2$ 这三个数是“完美组合数”. 理由如下:因为 $\sqrt{(-18)×(-8)}=12,\sqrt{(-8)×(-2)}=4$,$\sqrt{(-18)×(-2)}=6$,其结果 12,4,6 都是整数,所以 $-18,-8,-2$ 这三个数是“完美组合数”.(2) 因为 $\sqrt{(-3)×(-12)}=6$,且 $-3,m,-12$ 这三个数是“完美组合数”,其中两个数乘积的算术平方根为 12,所以有 $\sqrt{-3m}=12$ 或 $\sqrt{-12m}=12$. 分类讨论如下:当 $\sqrt{-3m}=12$ 时,$-3m=144$,解得$m=-48$;当 $\sqrt{-12m}=12$ 时,$-12m=144$,解得$m=-12$,不符合题意,舍去. 综上,$m$ 的值为 $-48$.
解析：
【分析】
(1) 判断三个数是否为“完美组合数”，只需严格贴合定义：先验证三个数是互不相等的负整数，再计算两两乘积的算术平方根，判断所有结果是否均为整数即可。
(2) 首先计算已知的-3和-12的乘积的算术平方根，发现结果为6≠12，因此算术平方根为12的情况只能是m与-3的乘积开方、或m与-12的乘积开方，分两类列方程求解，最后验证m是否满足“三个数互不相等的负整数”的隐含条件，舍去不符合要求的解。
【解析】
(1) $-18,-8,-2$ 这三个数是“完美组合数”，理由如下：
计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-18)×(-8)}=\sqrt{144}=12$，
$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，
$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，
所得结果12、4、6均为整数，且三个数是互不相等的负整数，符合“完美组合数”的定义，因此这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算-3与-12乘积的算术平方根：$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此算术平方根为12的是另外两组乘积，分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{(-3)×m}=12$时，两边同时平方得$-3m=144$，解得$m=-48$，此时三个数为-3、-48、-12，互不相等且均为负整数，符合要求；
② 当$\sqrt{(-12)×m}=12$时，两边同时平方得$-12m=144$，解得$m=-12$，此时m与已知的-12相等，不符合“三个互不相等的负整数”的要求，故舍去。
综上，m的值为-48。
【答案】
(1) 是“完美组合数”，理由见解析；(2) $m=-48$
【知识点】
算术平方根计算，新定义理解，分类讨论
【点评】
本题以新定义为载体考查算术平方根的计算，解题关键是准确把握新定义的限制条件，求解多解问题时注意验证结果是否符合题意，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
(1) 判断三个数是否为“完美组合数”，只需严格贴合定义：先验证三个数是互不相等的负整数，再计算两两乘积的算术平方根，判断所有结果是否均为整数即可。
(2) 首先计算已知的-3和-12的乘积的算术平方根，发现结果为6≠12，因此算术平方根为12的情况只能是m与-3的乘积开方、或m与-12的乘积开方，分两类列方程求解，最后验证m是否满足“三个数互不相等的负整数”的隐含条件，舍去不符合要求的解。
【解析】
(1) $-18,-8,-2$ 这三个数是“完美组合数”，理由如下：
计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-18)×(-8)}=\sqrt{144}=12$，
$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，
$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，
所得结果12、4、6均为整数，且三个数是互不相等的负整数，符合“完美组合数”的定义，因此这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算-3与-12乘积的算术平方根：$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此算术平方根为12的是另外两组乘积，分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{(-3)×m}=12$时，两边同时平方得$-3m=144$，解得$m=-48$，此时三个数为-3、-48、-12，互不相等且均为负整数，符合要求；
② 当$\sqrt{(-12)×m}=12$时，两边同时平方得$-12m=144$，解得$m=-12$，此时m与已知的-12相等，不符合“三个互不相等的负整数”的要求，故舍去。
综上，m的值为-48。
【答案】
(1) 是“完美组合数”，理由见解析；(2) $m=-48$
【知识点】
算术平方根计算，新定义理解，分类讨论
【点评】
本题以新定义为载体考查算术平方根的计算，解题关键是准确把握新定义的限制条件，求解多解问题时注意验证结果是否符合题意，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
25. (10分)新素养 创新意识 有如下定义:若无理数$\sqrt{T}$(T为正整数)的被开方数T满足$n^2＜T＜(n+1)^2$(其中n为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“青一区间”为$(n,n+1)$;同理,规定无理数$-\sqrt{T}$的“青一区间”为$(-n-1,-n)$.例如:因为$1^2＜2＜2^2$,所以$\sqrt{2}$的“青一区间”为$(1,2),-\sqrt{2}$的“青一区间”为$(-2,-1)$.请解答下列问题:
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为________,$-\sqrt{23}$的“青一区间”为________;
(2)若无理数$\sqrt{a}$(a为正整数)的“青一区间”为$(2,3)$,$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$,求$\sqrt[3]{a+1}$的值;
(3)已知实数x,y满足关系式$\sqrt{x-3}+|2026+(y-4)^2|=2026$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”.
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为________,$-\sqrt{23}$的“青一区间”为________;
(2)若无理数$\sqrt{a}$(a为正整数)的“青一区间”为$(2,3)$,$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$,求$\sqrt[3]{a+1}$的值;
(3)已知实数x,y满足关系式$\sqrt{x-3}+|2026+(y-4)^2|=2026$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”.
答案：25. (1) $(4,5)$ $(-5,-4)$(2) 由题意,得$\begin{cases}4＜a＜9,\\9＜a+3＜16,\end{cases}$解得 $6＜a＜9$. 则 $a$ 的取值范围为 $6＜a＜9$. 又 $a$ 为正整数,所以 $a=7$ 或8. 当 $a=7$ 时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{8}=2$;当 $a=8$ 时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{9}$. 所以 $\sqrt[3]{a+1}$ 的值为 2 或 $\sqrt[3]{9}$.(3) 由题意,得 $\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0$. 因为$\sqrt{x-3}≥0,(y-4)^2≥0$,所以 $\sqrt{x-3}=0,(y-4)^2=0$,即 $x-3=0,y-4=0$,解得 $x=3,y=4$.所以 $\sqrt{xy}=\sqrt{12}$. 因为 $3^2＜12＜4^2$,所以 $\sqrt{xy}$ 的“青一区间”为 $(3,4)$.
解析：
【分析】
(1) 首先明确“青一区间”的定义：对于$\sqrt{T}$，找到正整数$n$满足$n^2＜T＜(n+1)^2$，其“青一区间”为$(n,n+1)$；对于$-\sqrt{T}$，“青一区间”为$(-n-1,-n)$。只需找到17、23分别相邻的两个连续正整数的平方，即可对应写出区间。
(2) 根据“青一区间”的定义分别列关于$a$的不等式，联立得到不等式组，解出$a$的取值范围，结合$a$是正整数确定$a$的取值，再代入计算立方根即可。
(3) 先根据平方的非负性判断绝对值内式子的符号，去掉绝对值后化简等式，再利用算术平方根和平方的非负性求出$x、y$的值，计算$\sqrt{xy}$后按照定义求其“青一区间”。
【解析】
(1) 因为$4^2=16＜17＜25=5^2$，所以$\sqrt{17}$的“青一区间”为$(4,5)$；又因为$4^2=16＜23＜25=5^2$，所以$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-5,-4)$。
(2) 由题意得：
$\begin{cases}4 ＜ a ＜ 9\\9 ＜ a+3 ＜ 16\end{cases}$
解得$6 ＜ a ＜ 9$，又因为$a$为正整数，所以$a=7$或$8$。
当$a=7$时，$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{8}=2$；当$a=8$时，$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{9}$。
(3) 因为$(y-4)^2≥0$，所以$2026+(y-4)^2＞0$，则$|2026+(y-4)^2|=2026+(y-4)^2$，原等式化简得：
$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0$
因为$\sqrt{x-3}≥0$，$(y-4)^2≥0$，所以$\sqrt{x-3}=0$，$(y-4)^2=0$，解得$x=3$，$y=4$。
所以$\sqrt{xy}=\sqrt{12}$，因为$3^2＜12＜4^2$，所以$\sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$。
【答案】
(1) $(4,5)$，$(-5,-4)$
(2) $2$或$\sqrt[3]{9}$
(3) $(3,4)$
【知识点】
无理数的估算，非负数的性质，立方根的运算
【点评】
本题以新定义“青一区间”为载体，综合考查了无理数大小估算、非负性应用、不等式组求解及立方根计算，解题关键是准确理解新定义规则，将新问题转化为已学的常规问题解决，能有效考查知识迁移和综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确“青一区间”的定义：对于$\sqrt{T}$，找到正整数$n$满足$n^2＜T＜(n+1)^2$，其“青一区间”为$(n,n+1)$；对于$-\sqrt{T}$，“青一区间”为$(-n-1,-n)$。只需找到17、23分别相邻的两个连续正整数的平方，即可对应写出区间。
(2) 根据“青一区间”的定义分别列关于$a$的不等式，联立得到不等式组，解出$a$的取值范围，结合$a$是正整数确定$a$的取值，再代入计算立方根即可。
(3) 先根据平方的非负性判断绝对值内式子的符号，去掉绝对值后化简等式，再利用算术平方根和平方的非负性求出$x、y$的值，计算$\sqrt{xy}$后按照定义求其“青一区间”。
【解析】
(1) 因为$4^2=16＜17＜25=5^2$，所以$\sqrt{17}$的“青一区间”为$(4,5)$；又因为$4^2=16＜23＜25=5^2$，所以$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-5,-4)$。
(2) 由题意得：
$\begin{cases}4 ＜ a ＜ 9\\9 ＜ a+3 ＜ 16\end{cases}$
解得$6 ＜ a ＜ 9$，又因为$a$为正整数，所以$a=7$或$8$。
当$a=7$时，$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{8}=2$；当$a=8$时，$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{9}$。
(3) 因为$(y-4)^2≥0$，所以$2026+(y-4)^2＞0$，则$|2026+(y-4)^2|=2026+(y-4)^2$，原等式化简得：
$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0$
因为$\sqrt{x-3}≥0$，$(y-4)^2≥0$，所以$\sqrt{x-3}=0$，$(y-4)^2=0$，解得$x=3$，$y=4$。
所以$\sqrt{xy}=\sqrt{12}$，因为$3^2＜12＜4^2$，所以$\sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$。
【答案】
(1) $(4,5)$，$(-5,-4)$
(2) $2$或$\sqrt[3]{9}$
(3) $(3,4)$
【知识点】
无理数的估算，非负数的性质，立方根的运算
【点评】
本题以新定义“青一区间”为载体，综合考查了无理数大小估算、非负性应用、不等式组求解及立方根计算，解题关键是准确理解新定义规则，将新问题转化为已学的常规问题解决，能有效考查知识迁移和综合应用能力。
【难度系数】
0.7