13.（2026·江苏淮安期中）将一副三角板摆成如图所示的位置.若$AB=4$，则$△ BCD$的面积为
3
。答案：13. 3
14. 亮点原创·如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=4$，$P$是$△ ABC$内一点，且$BP$平分$∠ ABC$。若$△ ABP$的面积为$3$，$△ BCP$的面积为$\frac{9}{5}$，则点$P$到$AC$的距离为
$\dfrac{3}{5}$
。答案：14. $\dfrac{3}{5}$ 解析:过点 P 分别作 PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为 D,E,F. 因为 BP 平分∠ABC,所以 PE = PF,即 S△ABP : S△BCP = AB : BC. 因为△ABP 的面积为 3,△BCP 的面积为 9/5,AB = 5,所以 3 : 9/5 = 5 : BC,即 BC = 3. 因为 AC = 4,所以 AB² = AC² + BC². 所以△ABC 为直角三角形,且∠ACB = 90°. 所以 S△ABC = 1/2 BC · AC = 6. 又 S△ABC = S△ABP + S△BCP + S△APC,所以 S△APC = S△ABC - S△ABP - S△BCP = 6/5. 又 S△APC = 1/2 AC · PD,所以 1/2 AC · PD = 6/5,解得 PD = 3/5. 则点 P 到 AC 的距离为 3/5.
解析：
【分析】
解题时首先从已知条件BP平分∠ABC入手，回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P到AB、BC的距离相等，由此可得△ABP与△BCP的面积比等于对应底AB与BC的比，代入已知面积和AB的长度即可求出BC的长。接下来结合AB、AC、BC的长度，用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，求出△ABC的总面积。再用总面积减去已知两个三角形的面积得到△ACP的面积，最后根据三角形面积公式，以AC为底，求出的高就是点P到AC的距离。
【解析】
过点P分别作PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为D、E、F。
∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PE = PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴$\frac{S_{△ ABP}}{S_{△ BCP}}=\frac{\frac{1}{2}AB· PE}{\frac{1}{2}BC· PF}=\frac{AB}{BC}$。
已知$S_{△ ABP}=3$，$S_{△ BCP}=\frac{9}{5}$，$AB=5$，代入得：
$\frac{3}{\frac{9}{5}}=\frac{5}{BC}$，解得$BC=3$。
又
∵$AC=4$，$AB=5$，
∴$AC^2+BC^2=4^2+3^2=25=AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×3=6$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ BCP}+S_{△ APC}$，
∴$S_{△ APC}=6 - 3 - \frac{9}{5}=\frac{6}{5}$。
又
∵$S_{△ APC}=\frac{1}{2}× AC× PD$，代入$AC=4$得：
$\frac{1}{2}×4× PD=\frac{6}{5}$，解得$PD=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形综合题，将角平分线性质、勾股逆定理与面积法结合考查，解题的突破口是利用角平分线的性质得到两个三角形的面积比与底边长的关系，进而求出BC的长度判断三角形形状，通过面积法即可快速求出点到直线的距离，对知识点的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件BP平分∠ABC入手，回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P到AB、BC的距离相等，由此可得△ABP与△BCP的面积比等于对应底AB与BC的比，代入已知面积和AB的长度即可求出BC的长。接下来结合AB、AC、BC的长度，用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，求出△ABC的总面积。再用总面积减去已知两个三角形的面积得到△ACP的面积，最后根据三角形面积公式，以AC为底，求出的高就是点P到AC的距离。
【解析】
过点P分别作PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为D、E、F。
∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PE = PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴$\frac{S_{△ ABP}}{S_{△ BCP}}=\frac{\frac{1}{2}AB· PE}{\frac{1}{2}BC· PF}=\frac{AB}{BC}$。
已知$S_{△ ABP}=3$，$S_{△ BCP}=\frac{9}{5}$，$AB=5$，代入得：
$\frac{3}{\frac{9}{5}}=\frac{5}{BC}$，解得$BC=3$。
又
∵$AC=4$，$AB=5$，
∴$AC^2+BC^2=4^2+3^2=25=AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×3=6$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ BCP}+S_{△ APC}$，
∴$S_{△ APC}=6 - 3 - \frac{9}{5}=\frac{6}{5}$。
又
∵$S_{△ APC}=\frac{1}{2}× AC× PD$，代入$AC=4$得：
$\frac{1}{2}×4× PD=\frac{6}{5}$，解得$PD=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形综合题，将角平分线性质、勾股逆定理与面积法结合考查，解题的突破口是利用角平分线的性质得到两个三角形的面积比与底边长的关系，进而求出BC的长度判断三角形形状，通过面积法即可快速求出点到直线的距离，对知识点的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
15.（2026·江苏盐城期末）生活中的旋梯随处可见.如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯，油罐底面圆半径为$\frac{5.8}{π}$m，高为12 m，旋梯正中间有一段0.8 m的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为
（第15题）
13.8
m.（旋梯宽度忽略不计）（第15题）答案：
15. 13.8 解析:如图,由题意,得 BF = 12 m,CD = 0.8 m,AF = π×5.8/π = 5.8(m),CD//AF,将 CA 向左平移使得点 C 与点 D 重合,此时点 A 与点 E 重合,则 AE = CD = 0.8 m,DE = CA. 所以旋梯底部 A 到顶部 B 的扶手长度为 BD + CD + AC = BD + DE + 0.8. 由两点之间线段最短,得当 B,D,E 三点共线时,BD + DE 取最小值,且最小值为 BE 的长,即此扶手长度有最小值. 又 EF = AF - AE = 5 m,所以 BE = √(BF² + EF²) = 13 m. 所以旋梯扶手长度至少为 13 + 0.8 = 13.8(m).
15. 13.8 解析:如图,由题意,得 BF = 12 m,CD = 0.8 m,AF = π×5.8/π = 5.8(m),CD//AF,将 CA 向左平移使得点 C 与点 D 重合,此时点 A 与点 E 重合,则 AE = CD = 0.8 m,DE = CA. 所以旋梯底部 A 到顶部 B 的扶手长度为 BD + CD + AC = BD + DE + 0.8. 由两点之间线段最短,得当 B,D,E 三点共线时,BD + DE 取最小值,且最小值为 BE 的长,即此扶手长度有最小值. 又 EF = AF - AE = 5 m,所以 BE = √(BF² + EF²) = 13 m. 所以旋梯扶手长度至少为 13 + 0.8 = 13.8(m).
解析：
【分析】
要解决旋梯扶手最短长度问题，首先需将圆柱侧面的曲面路径转化为平面路径：把油罐侧面展开得到长方形，旋梯的路径对应长方形内的线段。本题存在0.8m的水平平台，可利用平移的性质，将两段旋梯的路径拼接，再根据“两点之间线段最短”确定最短拼接路径，最后结合勾股定理计算长度，加上平台长度即可得到总最短长度。
【解析】
解：由题意得，油罐高度$BF=12\ \mathrm{m}$，平台长度$CD=0.8\ \mathrm{m}$，旋梯展开后水平方向总长度$AF=π×\frac{5.8}{π}=5.8\ \mathrm{m}$，且$CD// AF$。
将$CA$向左平移，使点$C$与点$D$重合，此时点$A$的对应点为$E$，可得$AE=CD=0.8\ \mathrm{m}$，$DE=CA$。
则扶手总长度为$BD+CD+AC=BD+DE+0.8$，根据两点之间线段最短，当$B、D、E$三点共线时，$BD+DE$取得最小值，最小值为线段$BE$的长度。
此时$EF=AF-AE=5.8-0.8=5\ \mathrm{m}$，在$Rt△ BEF$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BF^2+EF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$
因此扶手总长度至少为$13+0.8=13.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
13.8
【知识点】
圆柱侧面展开图；平移的性质；勾股定理
【点评】
本题结合生活中的旋梯场景，考查了“化曲为直”的转化思想，同时融合了平移性质、勾股定理以及最短路径的判定，能有效考查学生将实际问题转化为几何模型的应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决旋梯扶手最短长度问题，首先需将圆柱侧面的曲面路径转化为平面路径：把油罐侧面展开得到长方形，旋梯的路径对应长方形内的线段。本题存在0.8m的水平平台，可利用平移的性质，将两段旋梯的路径拼接，再根据“两点之间线段最短”确定最短拼接路径，最后结合勾股定理计算长度，加上平台长度即可得到总最短长度。
【解析】
解：由题意得，油罐高度$BF=12\ \mathrm{m}$，平台长度$CD=0.8\ \mathrm{m}$，旋梯展开后水平方向总长度$AF=π×\frac{5.8}{π}=5.8\ \mathrm{m}$，且$CD// AF$。
将$CA$向左平移，使点$C$与点$D$重合，此时点$A$的对应点为$E$，可得$AE=CD=0.8\ \mathrm{m}$，$DE=CA$。
则扶手总长度为$BD+CD+AC=BD+DE+0.8$，根据两点之间线段最短，当$B、D、E$三点共线时，$BD+DE$取得最小值，最小值为线段$BE$的长度。
此时$EF=AF-AE=5.8-0.8=5\ \mathrm{m}$，在$Rt△ BEF$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BF^2+EF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$
因此扶手总长度至少为$13+0.8=13.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
13.8
【知识点】
圆柱侧面展开图；平移的性质；勾股定理
【点评】
本题结合生活中的旋梯场景，考查了“化曲为直”的转化思想，同时融合了平移性质、勾股定理以及最短路径的判定，能有效考查学生将实际问题转化为几何模型的应用能力。
【难度系数】
0.6
16. (2024·陕西)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,E 是边 AB 上一点,连接 CE,在 BC 的右侧作$BF// AC$,且$BF=AE$,连接 CF.若$AC=13$,$BC=10$,则四边形 EBFC 的面积为
60
.答案：16. 60 解析:过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,在 BE 上取一点 G,使 BG = BF,连接 CG. 因为 AB = AC = 13,BC = 10,所以 BD = 1/2 BC = 5,∠ABC = ∠ACB. 又 BF//AC,所以∠ACB = ∠FBC,即∠ABC = ∠FBC. 又 BC = BC,所以△BCG≌△BCF(SAS). 所以 S△BCG = S△BCF. 又 AE = BF,所以 AE = BG,即 S△ACE = S△BCG. 所以 S△ACE = S△BCF. 所以 S四边形EBFC = S△BCE + S△BCF = S△BCE + S△ACE = S△ABC. 又 AD = √(AB² - BD²) = 12,所以 S△ABC = 1/2 BC · AD = 60,即 S四边形EBFC = 60.
解析：
【分析】
要求四边形EBFC的面积，首先观察它的组成：由△BCE和△BCF两部分构成，因此可考虑通过面积转化的方法求解。第一步，先利用已知条件AB=AC、BF//AC推导角的关系，结合BF=AE的条件，可证△BCF的面积与△ACE的面积相等，这样四边形EBFC的面积就可以转化为△ABC的面积。第二步，△ABC是已知腰长和底边长的等腰三角形，可通过作底边的高，结合勾股定理求出高，进而计算出△ABC的面积，即可得到四边形的面积。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC=13，AD⊥BC，BC=10，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得$BD=\frac{1}{2}BC=5$，$∠ABC=∠ACB$。
∵BF//AC，
∴$∠ACB=∠FBC$，
∴$∠ABC=∠FBC$。
在BE上取点G，使BG=BF，连接CG。
∵BG=BF，$∠GBC=∠FBC$，BC=BC，
∴$△BCG≌△BCF$（SAS），
∴$S_{△BCG}=S_{△BCF}$。
又
∵BF=AE，
∴AE=BG，
△ACE和△BCG中，AE=BG，且两组底对应的高均为点C到直线AB的距离，因此$S_{△ACE}=S_{△BCG}$，
∴$S_{△ACE}=S_{△BCF}$。
∴$S_{四边形EBFC}=S_{△BCE}+S_{△BCF}=S_{△BCE}+S_{△ACE}=S_{△ABC}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×10×12=60$，
即$S_{四边形EBFC}=60$。
【答案】
60
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题通过面积转化的思想将不规则四边形的面积转化为规则等腰三角形的面积进行求解，解题的关键是利用平行线性质、等腰三角形性质推导角相等，结合全等证明完成面积的转化，综合考查了学生的几何推理和图形分析能力。
【难度系数】
0.6
要求四边形EBFC的面积，首先观察它的组成：由△BCE和△BCF两部分构成，因此可考虑通过面积转化的方法求解。第一步，先利用已知条件AB=AC、BF//AC推导角的关系，结合BF=AE的条件，可证△BCF的面积与△ACE的面积相等，这样四边形EBFC的面积就可以转化为△ABC的面积。第二步，△ABC是已知腰长和底边长的等腰三角形，可通过作底边的高，结合勾股定理求出高，进而计算出△ABC的面积，即可得到四边形的面积。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC=13，AD⊥BC，BC=10，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得$BD=\frac{1}{2}BC=5$，$∠ABC=∠ACB$。
∵BF//AC，
∴$∠ACB=∠FBC$，
∴$∠ABC=∠FBC$。
在BE上取点G，使BG=BF，连接CG。
∵BG=BF，$∠GBC=∠FBC$，BC=BC，
∴$△BCG≌△BCF$（SAS），
∴$S_{△BCG}=S_{△BCF}$。
又
∵BF=AE，
∴AE=BG，
△ACE和△BCG中，AE=BG，且两组底对应的高均为点C到直线AB的距离，因此$S_{△ACE}=S_{△BCG}$，
∴$S_{△ACE}=S_{△BCF}$。
∴$S_{四边形EBFC}=S_{△BCE}+S_{△BCF}=S_{△BCE}+S_{△ACE}=S_{△ABC}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×10×12=60$，
即$S_{四边形EBFC}=60$。
【答案】
60
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题通过面积转化的思想将不规则四边形的面积转化为规则等腰三角形的面积进行求解，解题的关键是利用平行线性质、等腰三角形性质推导角相等，结合全等证明完成面积的转化，综合考查了学生的几何推理和图形分析能力。
【难度系数】
0.6
17. 如图，正方形ABDE、正方形CDFI和正方形EFGH的面积分别为25,9,16，△AEH、△BDC和△GFI的面积分别为$S_1,S_2,S_3$，则$S_1+S_2+S_3=$
18
。答案：17. 18 解析:过点 B 作 CD 的垂线,交 CD 的延长线于点 J,则∠BJD = 90°. 由题意,得 AE = DE = DB = 5,DF = CD = FI = 3,EF = EH = 4,∠BDE = ∠CDF = ∠AED = ∠HEF = 90°. 又∠BDC + ∠CDF + ∠FDE + ∠BDE = 360°,所以∠FDE + ∠BDC = 180°. 又∠BDC + ∠JDB = 180°,所以∠JDB = ∠FDE. 又 DF² + EF² = 9 + 16 = 25 = DE²,所以△DEF 是直角三角形,且∠EFD = 90°. 所以∠BJD = ∠EFD = 90°. 所以△DBJ≌△DEF(AAS). 所以 BJ = EF. 又 S△BDC = 1/2 BJ · CD,S△DEF = 1/2 EF · DF,所以 S△BDC = S△DEF. 同理,得 S△AEH = S△GFI = S△DEF. 所以 S₁ + S₂ + S₃ = 3S△DEF. 因为 S△DEF = 1/2 EF · DF = 6,所以 S₁ + S₂ + S₃ = 18.
解析：
【分析】
首先根据三个正方形的面积可求出对应边长，发现边长满足3²+4²=5²，可判定中间的△DEF是直角三角形，先计算出它的面积。接下来要将所求的$S_1$、$S_2$、$S_3$和△DEF的面积建立联系：通过作辅助线构造直角三角形，利用角的互补关系推导等角，再证明三角形全等，可得每个所求三角形的面积都等于△DEF的面积，最后将三个面积相加即可得到结果。
【解析】
过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点J，则$∠ BJD = 90°$。
由正方形面积可得：$AE=DE=DB=\sqrt{25}=5$，$DF=CD=FI=\sqrt{9}=3$，$EF=EH=\sqrt{16}=4$。
已知$∠ BDE=∠ CDF=∠ AED=∠ HEF=90°$，
因为$∠ BDC + ∠ CDF + ∠ FDE + ∠ BDE = 360°$，代入直角可得$∠ FDE + ∠ BDC = 180°$，
又因为$∠ BDC + ∠ JDB = 180°$，所以$∠ JDB = ∠ FDE$。
又因为$DF^2+EF^2=9+16=25=DE^2$，由勾股定理逆定理得$△ DEF$是直角三角形，且$∠ EFD=90°$，所以$∠ BJD=∠ EFD=90°$。
在$△ DBJ$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}∠ BJD=∠ EFD \\∠ JDB=∠ FDE \\DB=DE\end{cases}$
所以$△ DBJ≌△ DEF(\mathrm{AAS})$，得$BJ=EF$。
因为$S_{△ BDC}=\frac{1}{2}·BJ·CD$，$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}·EF·DF$，且$CD=DF$，所以$S_{△ BDC}=S_{△ DEF}$。
同理可证：$S_{△ AEH}=S_{△ DEF}$，$S_{△ GFI}=S_{△ DEF}$。
所以$S_1+S_2+S_3=3S_{△ DEF}$。
计算得$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}×3×4=6$，因此$S_1+S_2+S_3=3×6=18$。
【答案】
18
【知识点】
勾股定理逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查正方形性质、三角形全等和勾股定理相关知识，解题的核心是找到所求三角形与中间直角三角形的面积等量关系，对几何图形的角度转化和全等证明能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据三个正方形的面积可求出对应边长，发现边长满足3²+4²=5²，可判定中间的△DEF是直角三角形，先计算出它的面积。接下来要将所求的$S_1$、$S_2$、$S_3$和△DEF的面积建立联系：通过作辅助线构造直角三角形，利用角的互补关系推导等角，再证明三角形全等，可得每个所求三角形的面积都等于△DEF的面积，最后将三个面积相加即可得到结果。
【解析】
过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点J，则$∠ BJD = 90°$。
由正方形面积可得：$AE=DE=DB=\sqrt{25}=5$，$DF=CD=FI=\sqrt{9}=3$，$EF=EH=\sqrt{16}=4$。
已知$∠ BDE=∠ CDF=∠ AED=∠ HEF=90°$，
因为$∠ BDC + ∠ CDF + ∠ FDE + ∠ BDE = 360°$，代入直角可得$∠ FDE + ∠ BDC = 180°$，
又因为$∠ BDC + ∠ JDB = 180°$，所以$∠ JDB = ∠ FDE$。
又因为$DF^2+EF^2=9+16=25=DE^2$，由勾股定理逆定理得$△ DEF$是直角三角形，且$∠ EFD=90°$，所以$∠ BJD=∠ EFD=90°$。
在$△ DBJ$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}∠ BJD=∠ EFD \\∠ JDB=∠ FDE \\DB=DE\end{cases}$
所以$△ DBJ≌△ DEF(\mathrm{AAS})$，得$BJ=EF$。
因为$S_{△ BDC}=\frac{1}{2}·BJ·CD$，$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}·EF·DF$，且$CD=DF$，所以$S_{△ BDC}=S_{△ DEF}$。
同理可证：$S_{△ AEH}=S_{△ DEF}$，$S_{△ GFI}=S_{△ DEF}$。
所以$S_1+S_2+S_3=3S_{△ DEF}$。
计算得$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}×3×4=6$，因此$S_1+S_2+S_3=3×6=18$。
【答案】
18
【知识点】
勾股定理逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查正方形性质、三角形全等和勾股定理相关知识，解题的核心是找到所求三角形与中间直角三角形的面积等量关系，对几何图形的角度转化和全等证明能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
18. (2025·江苏泰州二模)如图，$AD⊥l$于点$D$，$BE⊥l$于点$E$，$C$为直线$l$上一个动点，连接$AC$，$AB$，$BC$。若$AD=DE=4$，$BE=1$，则当$CD$的长为
3 或 3.25 或 2
时，$△ ABC$为直角三角形。答案：
18. 3 或 3.25 或 2 解析:过点 B 作 BF⊥AD 于点 F. 因为 AD⊥l,BE⊥l,所以 BF//l,BE//DF. 又 DE = 4,BE = 1,所以 BF = DE = 4,DF = BE = 1. 因为 AD = 4,所以 AF = AD - DF = 3. 设 CD = x. 当△ABC 为直角三角形时,有∠BAC = 90°或∠ABC = 90°或∠ACB = 90°. 分类讨论如下: ① 如图①,若∠BAC = 90°,则 AC² + AB² = BC². 在 Rt△ACD、Rt△ABF 和 Rt△BCE 中,AC² = AD² + CD² = 4² + x² = x² + 16,AB² = AF² + BF² = 3² + 4² = 25,BC² = BE² + CE² = 1² + (x + 4)² = x² + 8x + 17,所以 x² + 16 + 25 = x² + 8x + 17,解得 x = 3; ② 如图②,若∠ABC = 90°,则 AB² + BC² = AC²,CE = DE - CD = 4 - x. 在 Rt△ACD、Rt△ABF 和 Rt△BCE 中,AB² = AF² + BF² = 25,BC² = BE² + CE² = 1² + (4 - x)² = x² - 8x + 17,AC² = CD² + AD² = x² + 16,所以 25 + x² - 8x + 17 = x² + 16,解得 x = 3.25; ③ 如图③,若∠ACB = 90°,则 AC² + BC² = AB²,CE = DE - CD = 4 - x. 在 Rt△ACD、Rt△ABF 和 Rt△BCE 中,AC² = CD² + AD² = x² + 16,BC² = CE² + BE² = x² - 8x + 17,AB² = AF² + BF² = 25,所以 x² + 16 + x² - 8x + 17 = 25. 整理,得 x² - 4x + 4 = 0. 又(x - 2)² = x² - 4x + 4,所以(x - 2)² = 0. 所以 x - 2 = 0,解得 x = 2. 综上,当 CD 的长为 3 或 3.25 或 2 时,△ABC 为直角三角形.
18. 3 或 3.25 或 2 解析:过点 B 作 BF⊥AD 于点 F. 因为 AD⊥l,BE⊥l,所以 BF//l,BE//DF. 又 DE = 4,BE = 1,所以 BF = DE = 4,DF = BE = 1. 因为 AD = 4,所以 AF = AD - DF = 3. 设 CD = x. 当△ABC 为直角三角形时,有∠BAC = 90°或∠ABC = 90°或∠ACB = 90°. 分类讨论如下: ① 如图①,若∠BAC = 90°,则 AC² + AB² = BC². 在 Rt△ACD、Rt△ABF 和 Rt△BCE 中,AC² = AD² + CD² = 4² + x² = x² + 16,AB² = AF² + BF² = 3² + 4² = 25,BC² = BE² + CE² = 1² + (x + 4)² = x² + 8x + 17,所以 x² + 16 + 25 = x² + 8x + 17,解得 x = 3; ② 如图②,若∠ABC = 90°,则 AB² + BC² = AC²,CE = DE - CD = 4 - x. 在 Rt△ACD、Rt△ABF 和 Rt△BCE 中,AB² = AF² + BF² = 25,BC² = BE² + CE² = 1² + (4 - x)² = x² - 8x + 17,AC² = CD² + AD² = x² + 16,所以 25 + x² - 8x + 17 = x² + 16,解得 x = 3.25; ③ 如图③,若∠ACB = 90°,则 AC² + BC² = AB²,CE = DE - CD = 4 - x. 在 Rt△ACD、Rt△ABF 和 Rt△BCE 中,AC² = CD² + AD² = x² + 16,BC² = CE² + BE² = x² - 8x + 17,AB² = AF² + BF² = 25,所以 x² + 16 + x² - 8x + 17 = 25. 整理,得 x² - 4x + 4 = 0. 又(x - 2)² = x² - 4x + 4,所以(x - 2)² = 0. 所以 x - 2 = 0,解得 x = 2. 综上,当 CD 的长为 3 或 3.25 或 2 时,△ABC 为直角三角形.
解析：
【分析】
要使△ABC为直角三角形，未明确哪个角为直角，因此需分三种情况讨论：∠BAC=90°、∠ABC=90°、∠ACB=90°。首先过点B作BF⊥AD，利用矩形的性质求出固定边AB的长度，再设CD=x，结合点C的位置用含x的式子表示CE的长度，再分别在对应的直角三角形中用勾股定理表示出AC²、BC²，根据对应直角的勾股定理关系列方程求解即可，注意不同情况中点C位置不同，线段长度的表示要准确。
【解析】
过点B作BF⊥AD于点F。
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴BF//l，BE//DF，四边形DFBE是矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1。
∵AD=4，
∴AF=AD-DF=4-1=3。
设CD=x，分三种情况讨论：
① 若∠BAC=90°，由勾股定理得$AC^2 + AB^2 = BC^2$，
在Rt△ACD中，$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+x^2=x^2+16$，
在Rt△ABF中，$AB^2=AF^2+BF^2=3^2+4^2=25$，
此时$CE=CD+DE=x+4$，在Rt△BCE中，$BC^2=BE^2+CE^2=1^2+(x+4)^2=x^2+8x+17$，
代入得$x^2+16+25=x^2+8x+17$，解得$x=3$；
② 若∠ABC=90°，由勾股定理得$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
此时$CE=DE-CD=4-x$，在Rt△BCE中，$BC^2=BE^2+CE^2=1^2+(4-x)^2=x^2-8x+17$，
$AC^2=x^2+16$，$AB^2=25$，
代入得$25+x^2-8x+17=x^2+16$，解得$x=3.25$；
③ 若∠ACB=90°，由勾股定理得$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
此时$CE=4-x$，$AC^2=x^2+16$，$BC^2=x^2-8x+17$，$AB^2=25$，
代入得$x^2+16+x^2-8x+17=25$，整理得$x^2-4x+4=0$，即$(x-2)^2=0$，解得$x=2$。
综上，当△ABC为直角三角形时，CD的长为3或3.25或2。
【答案】
3 或 3.25 或 2
【知识点】
勾股定理；矩形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于动点背景下的直角三角形存在性问题，解题核心是对直角顶点进行分类讨论，结合勾股定理建立方程求解，解题时需注意不同位置下线段长度的正确表示，避免出现漏解、错解的情况。
【难度系数】
0.4
要使△ABC为直角三角形，未明确哪个角为直角，因此需分三种情况讨论：∠BAC=90°、∠ABC=90°、∠ACB=90°。首先过点B作BF⊥AD，利用矩形的性质求出固定边AB的长度，再设CD=x，结合点C的位置用含x的式子表示CE的长度，再分别在对应的直角三角形中用勾股定理表示出AC²、BC²，根据对应直角的勾股定理关系列方程求解即可，注意不同情况中点C位置不同，线段长度的表示要准确。
【解析】
过点B作BF⊥AD于点F。
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴BF//l，BE//DF，四边形DFBE是矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1。
∵AD=4，
∴AF=AD-DF=4-1=3。
设CD=x，分三种情况讨论：
① 若∠BAC=90°，由勾股定理得$AC^2 + AB^2 = BC^2$，
在Rt△ACD中，$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+x^2=x^2+16$，
在Rt△ABF中，$AB^2=AF^2+BF^2=3^2+4^2=25$，
此时$CE=CD+DE=x+4$，在Rt△BCE中，$BC^2=BE^2+CE^2=1^2+(x+4)^2=x^2+8x+17$，
代入得$x^2+16+25=x^2+8x+17$，解得$x=3$；
② 若∠ABC=90°，由勾股定理得$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
此时$CE=DE-CD=4-x$，在Rt△BCE中，$BC^2=BE^2+CE^2=1^2+(4-x)^2=x^2-8x+17$，
$AC^2=x^2+16$，$AB^2=25$，
代入得$25+x^2-8x+17=x^2+16$，解得$x=3.25$；
③ 若∠ACB=90°，由勾股定理得$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
此时$CE=4-x$，$AC^2=x^2+16$，$BC^2=x^2-8x+17$，$AB^2=25$，
代入得$x^2+16+x^2-8x+17=25$，整理得$x^2-4x+4=0$，即$(x-2)^2=0$，解得$x=2$。
综上，当△ABC为直角三角形时，CD的长为3或3.25或2。
【答案】
3 或 3.25 或 2
【知识点】
勾股定理；矩形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于动点背景下的直角三角形存在性问题，解题核心是对直角顶点进行分类讨论，结合勾股定理建立方程求解，解题时需注意不同位置下线段长度的正确表示，避免出现漏解、错解的情况。
【难度系数】
0.4
三、耐心解一解(共66分)
19. (6分)(2026·江苏常州期末)如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,$AB=20$,$BC=21$,$AC=13$,求$AD$的长.
19. (6分)(2026·江苏常州期末)如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,$AB=20$,$BC=21$,$AC=13$,求$AD$的长.
答案：19. 因为 AD ⊥ BC,所以 ∠ADB = ∠ADC = 90°,即 AD² = AB² - BD² = AC² - CD². 因为 AB = 20,BC = 21,AC = 13,所以 20² - (21 - CD)² = 13² - CD²,解得 CD = 5. 所以 AD = √(AC² - CD²) = 12.
解析：
【分析】
本题要求高AD的长度，观察图形可知AD是直角三角形△ABD和△ACD的公共直角边，我们可以借助勾股定理分别在两个直角三角形中表示出$AD^2$，根据$AD^2$相等建立方程求解。首先设CD的长度为未知数，用BC的长度表示出BD的长度，代入等量关系解方程求出CD的长度，最后再用勾股定理计算AD即可。
【解析】
解：$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
由勾股定理可得：$AD^2 = AB^2 - BD^2$，$AD^2 = AC^2 - CD^2$，
$\therefore AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2$，
已知$AB=20$，$BC=21$，$AC=13$，且$BD=BC-CD=21-CD$，代入得：
$20^2 - (21 - CD)^2 = 13^2 - CD^2$
展开计算：$400 - (441 - 42CD + CD^2) = 169 - CD^2$
$400 - 441 + 42CD - CD^2 = 169 - CD^2$
消去$CD^2$整理得：$42CD=210$
解得：$CD=5$
再代入勾股定理求AD：$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144}=12$
【答案】
AD的长为12
【知识点】
勾股定理；列方程解几何问题
【点评】
本题是勾股定理应用的经典题型，核心是利用公共直角边作为等量关系，通过设未知数建立方程求解，这种用代数方法解决几何问题的思路在三角形边长、高的计算问题中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.65
本题要求高AD的长度，观察图形可知AD是直角三角形△ABD和△ACD的公共直角边，我们可以借助勾股定理分别在两个直角三角形中表示出$AD^2$，根据$AD^2$相等建立方程求解。首先设CD的长度为未知数，用BC的长度表示出BD的长度，代入等量关系解方程求出CD的长度，最后再用勾股定理计算AD即可。
【解析】
解：$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
由勾股定理可得：$AD^2 = AB^2 - BD^2$，$AD^2 = AC^2 - CD^2$，
$\therefore AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2$，
已知$AB=20$，$BC=21$，$AC=13$，且$BD=BC-CD=21-CD$，代入得：
$20^2 - (21 - CD)^2 = 13^2 - CD^2$
展开计算：$400 - (441 - 42CD + CD^2) = 169 - CD^2$
$400 - 441 + 42CD - CD^2 = 169 - CD^2$
消去$CD^2$整理得：$42CD=210$
解得：$CD=5$
再代入勾股定理求AD：$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144}=12$
【答案】
AD的长为12
【知识点】
勾股定理；列方程解几何问题
【点评】
本题是勾股定理应用的经典题型，核心是利用公共直角边作为等量关系，通过设未知数建立方程求解，这种用代数方法解决几何问题的思路在三角形边长、高的计算问题中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.65