20.（6分）新趋势 情境素材 定义:如图，M，N两点把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M，N两点把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若AM=2.5，MN=6.5，NB=6，则M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边.若AB=14，AM=4，求NB的长.
（1）已知M，N两点把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若AM=2.5，MN=6.5，NB=6，则M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边.若AB=14，AM=4，求NB的长.
答案：20. (1) M,N 是线段 AB 的勾股分割点. 理由如下:
因为 AM = 2.5, NB = 6, 所以 AM² + NB² = 42.25. 又 MN = 6.5, 所以 MN² = 42.25, 即 AM² + NB² = MN². 所以以 AM,MN,NB 为边的三角形是一个直角三角形,即 M,N 是线段 AB 的勾股分割点.
(2) 设 NB = x. 因为 AB = 14, AM = 4, 所以 MN = AB - AM - NB = 10 - x. 因为 M,N 是线段 AB 的勾股分割点,所以以 AM,MN,NB 为边的三角形是直角三角形. 又 AM 为直角边,所以有以 MN 为斜边或以 NB 为斜边两种情况. 当以 NB 为斜边时,AM² + MN² = NB², 所以 4² + (10 - x)² = x², 解得 x = 5.8. 则 NB = 5.8; 当以 MN 为斜边时,同理,得 x² + 4² = (10 - x)², 解得 x = 4.2. 则 NB = 4.2. 综上,NB 的长为 4.2 或 5.8.
因为 AM = 2.5, NB = 6, 所以 AM² + NB² = 42.25. 又 MN = 6.5, 所以 MN² = 42.25, 即 AM² + NB² = MN². 所以以 AM,MN,NB 为边的三角形是一个直角三角形,即 M,N 是线段 AB 的勾股分割点.
(2) 设 NB = x. 因为 AB = 14, AM = 4, 所以 MN = AB - AM - NB = 10 - x. 因为 M,N 是线段 AB 的勾股分割点,所以以 AM,MN,NB 为边的三角形是直角三角形. 又 AM 为直角边,所以有以 MN 为斜边或以 NB 为斜边两种情况. 当以 NB 为斜边时,AM² + MN² = NB², 所以 4² + (10 - x)² = x², 解得 x = 5.8. 则 NB = 5.8; 当以 MN 为斜边时,同理,得 x² + 4² = (10 - x)², 解得 x = 4.2. 则 NB = 4.2. 综上,NB 的长为 4.2 或 5.8.
解析：
【分析】
（1）要判断M，N是否为线段AB的勾股分割点，只需验证AM、MN、NB三条线段的长度是否满足勾股定理的逆定理：先分别计算三条线段的平方，再判断两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方即可。
（2）已知AM为直角边，不确定另外两条线段哪条是斜边，因此需要分两种情况讨论：①MN为斜边，②NB为斜边。先设NB的长为x，用AB的总长减去AM和NB的长度表示出MN，再根据勾股定理分别列方程求解，最后验证结果符合线段长度为正的要求即可。
【解析】
（1）M，N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
已知$AM=2.5$，$NB=6$，$MN=6.5$，
计算得：$AM^2 + NB^2 = 2.5^2 + 6^2 = 6.25 + 36 = 42.25$，
$MN^2 = 6.5^2 = 42.25$，
因此$AM^2 + NB^2 = MN^2$，
根据勾股定理的逆定理，以AM、MN、NB为边的三角形是直角三角形，故M，N是线段AB的勾股分割点。
（2）设$NB=x$，
∵$AB=14$，$AM=4$，
∴$MN = AB - AM - NB = 14 - 4 - x = 10 - x$，
∵M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，分两种情况讨论：
①当NB为斜边时，根据勾股定理得：$AM^2 + MN^2 = NB^2$，
代入得：$4^2 + (10 - x)^2 = x^2$，
展开计算：$16 + 100 - 20x + x^2 = x^2$，
化简得：$116 - 20x = 0$，解得$x = 5.8$，即$NB=5.8$；
②当MN为斜边时，根据勾股定理得：$AM^2 + NB^2 = MN^2$，
代入得：$4^2 + x^2 = (10 - x)^2$，
展开计算：$16 + x^2 = 100 - 20x + x^2$，
化简得：$20x = 84$，解得$x = 4.2$，即$NB=4.2$。
综上，NB的长为4.2或5.8。
【答案】
（1）M，N是线段AB的勾股分割点；（2）$\boxed{4.2}$或$\boxed{5.8}$
【知识点】
1. 勾股定理逆定理
2. 勾股定理的应用
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是准确理解“勾股分割点”的定义，结合勾股定理及其逆定理进行计算；第二问未明确斜边的情况下，需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）要判断M，N是否为线段AB的勾股分割点，只需验证AM、MN、NB三条线段的长度是否满足勾股定理的逆定理：先分别计算三条线段的平方，再判断两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方即可。
（2）已知AM为直角边，不确定另外两条线段哪条是斜边，因此需要分两种情况讨论：①MN为斜边，②NB为斜边。先设NB的长为x，用AB的总长减去AM和NB的长度表示出MN，再根据勾股定理分别列方程求解，最后验证结果符合线段长度为正的要求即可。
【解析】
（1）M，N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
已知$AM=2.5$，$NB=6$，$MN=6.5$，
计算得：$AM^2 + NB^2 = 2.5^2 + 6^2 = 6.25 + 36 = 42.25$，
$MN^2 = 6.5^2 = 42.25$，
因此$AM^2 + NB^2 = MN^2$，
根据勾股定理的逆定理，以AM、MN、NB为边的三角形是直角三角形，故M，N是线段AB的勾股分割点。
（2）设$NB=x$，
∵$AB=14$，$AM=4$，
∴$MN = AB - AM - NB = 14 - 4 - x = 10 - x$，
∵M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，分两种情况讨论：
①当NB为斜边时，根据勾股定理得：$AM^2 + MN^2 = NB^2$，
代入得：$4^2 + (10 - x)^2 = x^2$，
展开计算：$16 + 100 - 20x + x^2 = x^2$，
化简得：$116 - 20x = 0$，解得$x = 5.8$，即$NB=5.8$；
②当MN为斜边时，根据勾股定理得：$AM^2 + NB^2 = MN^2$，
代入得：$4^2 + x^2 = (10 - x)^2$，
展开计算：$16 + x^2 = 100 - 20x + x^2$，
化简得：$20x = 84$，解得$x = 4.2$，即$NB=4.2$。
综上，NB的长为4.2或5.8。
【答案】
（1）M，N是线段AB的勾股分割点；（2）$\boxed{4.2}$或$\boxed{5.8}$
【知识点】
1. 勾股定理逆定理
2. 勾股定理的应用
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是准确理解“勾股分割点”的定义，结合勾股定理及其逆定理进行计算；第二问未明确斜边的情况下，需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
21.（6分）新素养 几何直观 将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中$∠ DAB=90°$. 求证：$a^2 + b^2 = c^2$. 
答案：21. 连接 BD,过点 B 作 BF⊥DE,交 DE 的延长线于点 F,易得 BF = b - a. 所以 S五边形ACBED = S△ACB + S△ABD + S△BDE = 1/2 ab + 1/2 c² + 1/2 a · (b - a). 又 S五边形ACBED = S△ACB + S△ABE + S△ADE = 1/2 ab + 1/2 b² + 1/2 ab, 所以 1/2 ab + 1/2 b² + 1/2 ab = 1/2 ab + 1/2 c² + 1/2 a(b - a). 所以 a² + b² = c².
解析：
【分析】
本题采用面积法证明勾股定理，核心思路是对同一个五边形用两种不同的分割方式计算面积，利用面积相等建立等式，再通过整式化简推导结论。首先需要添加辅助线将五边形分割为可计算面积的三角形，分别求出两种分割方式下的总面积，令其相等后化简即可得到勾股定理表达式。
【解析】
证明：连接BD，过点B作$BF⊥ DE$，交DE的延长线于点F，易得$BF = b - a$。
第一种分割方式：将五边形ACBED拆分为$△ ACB$、$△ ABD$、$△ BDE$
则$S_{五边形ACBED} = S_{△ ACB} + S_{△ ABD} + S_{△ BDE}$
$= \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a · (b - a)$
第二种分割方式：将五边形ACBED拆分为$△ ACB$、$△ ABE$、$△ ADE$
则$S_{五边形ACBED} = S_{△ ACB} + S_{△ ABE} + S_{△ ADE}$
$= \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$
因为两式表示的是同一个五边形的面积，因此等式成立：
$\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$
两边同时乘2去分母得：$ab + b^2 + ab = ab + c^2 + a(b - a)$
展开、合并同类项化简得：$a^2 + b^2 = c^2$
【答案】
已证得$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
勾股定理证明，面积法应用，整式化简
【点评】
本题是勾股定理的典型证明题型，利用同一图形面积相等的原理，通过割补法建立几何图形与代数运算的关联，体现了数形结合的数学思想，熟练掌握面积法是解决这类证明题的核心。
【难度系数】
0.6
本题采用面积法证明勾股定理，核心思路是对同一个五边形用两种不同的分割方式计算面积，利用面积相等建立等式，再通过整式化简推导结论。首先需要添加辅助线将五边形分割为可计算面积的三角形，分别求出两种分割方式下的总面积，令其相等后化简即可得到勾股定理表达式。
【解析】
证明：连接BD，过点B作$BF⊥ DE$，交DE的延长线于点F，易得$BF = b - a$。
第一种分割方式：将五边形ACBED拆分为$△ ACB$、$△ ABD$、$△ BDE$
则$S_{五边形ACBED} = S_{△ ACB} + S_{△ ABD} + S_{△ BDE}$
$= \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a · (b - a)$
第二种分割方式：将五边形ACBED拆分为$△ ACB$、$△ ABE$、$△ ADE$
则$S_{五边形ACBED} = S_{△ ACB} + S_{△ ABE} + S_{△ ADE}$
$= \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$
因为两式表示的是同一个五边形的面积，因此等式成立：
$\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$
两边同时乘2去分母得：$ab + b^2 + ab = ab + c^2 + a(b - a)$
展开、合并同类项化简得：$a^2 + b^2 = c^2$
【答案】
已证得$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
勾股定理证明，面积法应用，整式化简
【点评】
本题是勾股定理的典型证明题型，利用同一图形面积相等的原理，通过割补法建立几何图形与代数运算的关联，体现了数形结合的数学思想，熟练掌握面积法是解决这类证明题的核心。
【难度系数】
0.6
22. (8分)(2026·江苏常州期末)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1) 仅用无刻度的直尺,在线段AC上找一点P,使$PC^2 - PA^2 = AB^2$,画出点P的位置,并说明理由；
(2) 求(1)中线段PA的长.
(1) 仅用无刻度的直尺,在线段AC上找一点P,使$PC^2 - PA^2 = AB^2$,画出点P的位置,并说明理由；
(2) 求(1)中线段PA的长.
答案：22. (1) 点 P 位于 BC 的垂直平分线与 AC 的交点处,图略. 理由如下:因为 PC² - PA² = AB², 所以 PC² = PA² + AB². 又点 P 在 AC 上, 所以 PA² + AB² = PB². 所以 PC = PB. 所以点 P 在 BC 的垂直平分线上,即点 P 位于 BC 的垂直平分线与 AC 的交点处.
(2) 设 PA = x. 由题意,得 AB = 4, AC = 6, 所以 PC = AC - PA = 6 - x. 所以 PB = 6 - x. 又 PA² + AB² = PB², 所以 x² + 4² = (6 - x)², 解得 x = 5/3. 则线段 PA 的长为 5/3.
(2) 设 PA = x. 由题意,得 AB = 4, AC = 6, 所以 PC = AC - PA = 6 - x. 所以 PB = 6 - x. 又 PA² + AB² = PB², 所以 x² + 4² = (6 - x)², 解得 x = 5/3. 则线段 PA 的长为 5/3.
解析：
【分析】
(1) 首先观察网格可知∠A=90°，因此对AC上任意一点P，Rt△PAB都满足勾股定理$PA^2+AB^2=PB^2$。将题设条件$PC^2-PA^2=AB^2$移项可得$PC^2=PA^2+AB^2$，结合勾股定理的结论可推导出$PC=PB$，根据线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知点P在BC的垂直平分线上，因此作BC的垂直平分线，与AC的交点即为所求点P。
(2) 要求PA的长度，可设$PA=x$，结合网格先确定AB、AC的长度，用含x的式子表示PC，再由$PC=PB$得到PB的表达式，最后在Rt△PAB中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 作BC的垂直平分线，交AC于点P，点P即为所求。
理由：
∵$PC^2 - PA^2 = AB^2$，
∴$PC^2 = PA^2 + AB^2$。
∵$AC⊥AB$，即$∠ A=90°$，在$Rt△ PAB$中，由勾股定理得$PA^2 + AB^2 = PB^2$，
∴$PC^2 = PB^2$，即$PC=PB$，
∴点P在BC的垂直平分线上，即点P为BC的垂直平分线与AC的交点。
(2) 设$PA=x$，由网格可知$AB=4$，$AC=6$，
∴$PC=AC-PA=6-x$，
由(1)知$PB=PC$，
∴$PB=6-x$，
在$Rt△ PAB$中，由勾股定理得：$PA^2 + AB^2 = PB^2$，
代入得$x^2 + 4^2 = (6-x)^2$，
展开得$x^2 + 16 = 36 - 12x + x^2$，
移项化简得$12x=20$，解得$x=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) 点P为BC的垂直平分线与AC的交点，理由见解析；
(2) 线段PA的长为$\frac{5}{3}$。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 线段垂直平分线的判定
3. 方程法求线段长
【点评】
本题将代数等式与几何性质结合考查，需要学生具备条件转化的能力，能将平方关系的代数条件转化为线段相等的几何结论，同时结合网格特点和方程思想求解线段长度，较好地考察了几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 首先观察网格可知∠A=90°，因此对AC上任意一点P，Rt△PAB都满足勾股定理$PA^2+AB^2=PB^2$。将题设条件$PC^2-PA^2=AB^2$移项可得$PC^2=PA^2+AB^2$，结合勾股定理的结论可推导出$PC=PB$，根据线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知点P在BC的垂直平分线上，因此作BC的垂直平分线，与AC的交点即为所求点P。
(2) 要求PA的长度，可设$PA=x$，结合网格先确定AB、AC的长度，用含x的式子表示PC，再由$PC=PB$得到PB的表达式，最后在Rt△PAB中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 作BC的垂直平分线，交AC于点P，点P即为所求。
理由：
∵$PC^2 - PA^2 = AB^2$，
∴$PC^2 = PA^2 + AB^2$。
∵$AC⊥AB$，即$∠ A=90°$，在$Rt△ PAB$中，由勾股定理得$PA^2 + AB^2 = PB^2$，
∴$PC^2 = PB^2$，即$PC=PB$，
∴点P在BC的垂直平分线上，即点P为BC的垂直平分线与AC的交点。
(2) 设$PA=x$，由网格可知$AB=4$，$AC=6$，
∴$PC=AC-PA=6-x$，
由(1)知$PB=PC$，
∴$PB=6-x$，
在$Rt△ PAB$中，由勾股定理得：$PA^2 + AB^2 = PB^2$，
代入得$x^2 + 4^2 = (6-x)^2$，
展开得$x^2 + 16 = 36 - 12x + x^2$，
移项化简得$12x=20$，解得$x=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) 点P为BC的垂直平分线与AC的交点，理由见解析；
(2) 线段PA的长为$\frac{5}{3}$。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 线段垂直平分线的判定
3. 方程法求线段长
【点评】
本题将代数等式与几何性质结合考查，需要学生具备条件转化的能力，能将平方关系的代数条件转化为线段相等的几何结论，同时结合网格特点和方程思想求解线段长度，较好地考察了几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6