23. (8分)(2026·江苏盐城期末)在社团活动中,徐老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上,另一端拴在定滑轮A的正下方物体C上,滑块B放置在水平地面的直轨道上,通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降.实验初始状态如图①所示,物体C静止在直轨道上,物体C到滑块B的水平距离BC=5 cm,物体C到定滑轮A的垂直距离AC=12 cm.(实验过程中,绳子始终保持绷紧状态,定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计)
(1) 求绳子的总长度;
(2) 如图②,若物体C升高2 cm至点C₁处,求滑块B向左滑动至点B₁处的距离.
(1) 求绳子的总长度;
(2) 如图②,若物体C升高2 cm至点C₁处,求滑块B向左滑动至点B₁处的距离.
答案：23. (1) 由题意,得∠ACB = 90°. 在 Rt△ACB 中,AC = 12 cm, BC = 5 cm, 所以 AB = √(AC² + BC²) = 13 cm. 所以 AB + AC = 25 cm. 所以绳子的总长度为 25 cm.
(2) 由题意,得 CC₁ = 2 cm. 因为 AC = 12 cm, 所以 AC₁ = AC - CC₁ = 10 cm. 由(1),得绳子的总长度为 25 cm, 所以 AB₁ = 25 - AC₁ = 15 cm. 所以 B₁C = √(AB₁² - AC₁²) = 9 cm. 又 BC = 5 cm, 所以 BB₁ = B₁C - BC = 4 cm. 则滑块 B 向左滑动至点 B₁ 处的距离为 4 cm.
(2) 由题意,得 CC₁ = 2 cm. 因为 AC = 12 cm, 所以 AC₁ = AC - CC₁ = 10 cm. 由(1),得绳子的总长度为 25 cm, 所以 AB₁ = 25 - AC₁ = 15 cm. 所以 B₁C = √(AB₁² - AC₁²) = 9 cm. 又 BC = 5 cm, 所以 BB₁ = B₁C - BC = 4 cm. 则滑块 B 向左滑动至点 B₁ 处的距离为 4 cm.
解析：
【分析】
(1) 首先根据题意可知AC垂直于水平地面，BC在水平地面上，因此△ACB是直角三角形，∠ACB=90°。已知两条直角边AC、BC的长度，可利用勾股定理求出斜边AB的长度，绳子总长度为AB与AC的和，直接相加即可得到结果。
(2) 当物体C升高至C₁处时，绳子始终绷紧总长度保持不变，先求出AC₁的长度，再用总长度减去AC₁得到AB₁的长度，此时△AB₁C仍然是直角三角形，再次利用勾股定理求出B₁C的长度，最后用B₁C减去原来的BC长度，即可得到滑块B向左滑动的距离BB₁。
【解析】
(1) 由题意得∠ACB=90°，即△ACB为直角三角形。
在Rt△ACB中，AC=12cm，BC=5cm，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$
绳子总长度为$AB+AC=13+12=25\mathrm{cm}$。
(2) 由题意知$CC_1=2\mathrm{cm}$，因此$AC_1=AC-CC_1=12-2=10\mathrm{cm}$。
因为绳子总长度不变，仍为25cm，所以$AB_1=25-AC_1=25-10=15\mathrm{cm}$。
在Rt△AB₁C中，A到地面的竖直距离恒为12cm，根据勾股定理：
$B_1C=\sqrt{AB_1^2-AC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9\mathrm{cm}$
又$BC=5\mathrm{cm}$，因此滑块滑动距离$BB_1=B_1C-BC=9-5=4\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 绳子的总长度为$\boldsymbol{25\mathrm{cm}}$；
(2) 滑块B向左滑动至点B₁处的距离为$\boldsymbol{4\mathrm{cm}}$。
【知识点】
勾股定理；不变量分析；实际问题建模
【点评】
本题结合物理实验场景，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题核心是抓住绳子总长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，贴近生活，注重对知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 首先根据题意可知AC垂直于水平地面，BC在水平地面上，因此△ACB是直角三角形，∠ACB=90°。已知两条直角边AC、BC的长度，可利用勾股定理求出斜边AB的长度，绳子总长度为AB与AC的和，直接相加即可得到结果。
(2) 当物体C升高至C₁处时，绳子始终绷紧总长度保持不变，先求出AC₁的长度，再用总长度减去AC₁得到AB₁的长度，此时△AB₁C仍然是直角三角形，再次利用勾股定理求出B₁C的长度，最后用B₁C减去原来的BC长度，即可得到滑块B向左滑动的距离BB₁。
【解析】
(1) 由题意得∠ACB=90°，即△ACB为直角三角形。
在Rt△ACB中，AC=12cm，BC=5cm，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$
绳子总长度为$AB+AC=13+12=25\mathrm{cm}$。
(2) 由题意知$CC_1=2\mathrm{cm}$，因此$AC_1=AC-CC_1=12-2=10\mathrm{cm}$。
因为绳子总长度不变，仍为25cm，所以$AB_1=25-AC_1=25-10=15\mathrm{cm}$。
在Rt△AB₁C中，A到地面的竖直距离恒为12cm，根据勾股定理：
$B_1C=\sqrt{AB_1^2-AC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9\mathrm{cm}$
又$BC=5\mathrm{cm}$，因此滑块滑动距离$BB_1=B_1C-BC=9-5=4\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 绳子的总长度为$\boldsymbol{25\mathrm{cm}}$；
(2) 滑块B向左滑动至点B₁处的距离为$\boldsymbol{4\mathrm{cm}}$。
【知识点】
勾股定理；不变量分析；实际问题建模
【点评】
本题结合物理实验场景，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题核心是抓住绳子总长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，贴近生活，注重对知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
24. (10分)新趋势 推导探究 如图，P是等边三角形ABC内部一点，连接PA，PB，PC，以PB为边作$∠ PBQ=60°$，且$QB=PB$，连接QC.
(1) 观察并猜想PA与QC之间的大小关系，并证明你的结论；
(2) 若$PA:PB:PC=3:4:5$，连接PQ，试判断$△ PQC$的形状，并说明理由.
(1) 观察并猜想PA与QC之间的大小关系，并证明你的结论；
(2) 若$PA:PB:PC=3:4:5$，连接PQ，试判断$△ PQC$的形状，并说明理由.
答案：24. (1) 猜想:PA = QC. 证明如下:因为△ABC 是等边三角形, 所以 AB = CB,∠ABC = 60°. 又∠PBQ = 60°, 所以∠ABC = ∠PBQ. 所以∠ABC - ∠PBC = ∠PBQ - ∠PBC, 即∠ABP = ∠CBQ. 因为 PB = QB, 所以△ABP≌△CBQ(SAS). 所以 PA = QC.
(2) △PQC 是直角三角形. 理由如下:因为 PA : PB : PC = 3 : 4 : 5, 所以可设 PA = 3a, PB = 4a, PC = 5a (a ＞ 0). 因为 QB = PB, 且∠PBQ = 60°, 所以△PBQ 是等边三角形. 所以 PQ = PB = 4a. 由(1),得 QC = PA, 则 QC = 3a. 在△PQC 中,PQ² + QC² = 16a² + 9a² = 25a² = PC², 所以△PQC 是直角三角形.
(2) △PQC 是直角三角形. 理由如下:因为 PA : PB : PC = 3 : 4 : 5, 所以可设 PA = 3a, PB = 4a, PC = 5a (a ＞ 0). 因为 QB = PB, 且∠PBQ = 60°, 所以△PBQ 是等边三角形. 所以 PQ = PB = 4a. 由(1),得 QC = PA, 则 QC = 3a. 在△PQC 中,PQ² + QC² = 16a² + 9a² = 25a² = PC², 所以△PQC 是直角三角形.
解析：
【分析】
(1) 要判断PA与QC的数量关系，首先观察图形可猜想PA=QC，证明线段相等通常优先考虑证明线段所在的三角形全等。结合等边△ABC的性质可得AB=CB，∠ABC=60°，结合已知∠PBQ=60°，两个60°角同时减去公共角∠PBC，即可得到∠ABP=∠CBQ，再加上已知PB=QB，可通过SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到PA=QC。
(2) 已知PA:PB:PC=3:4:5，是典型的勾股数组合，因此考虑用勾股定理的逆定理判断△PQC的形状。首先由∠PBQ=60°且QB=PB，可判定△PBQ是等边三角形，得到PQ=PB；再结合(1)的结论可得QC=PA，即可将△PQC的三边都用同一个参数表示，验证三边是否满足勾股定理的逆定理即可判断三角形形状。
【解析】
(1) 猜想:$PA = QC$. 证明如下:
因为△ABC 是等边三角形, 所以 $AB = CB$,$∠ABC = 60°$.
又$∠PBQ = 60°$, 所以$∠ABC = ∠PBQ$.
所以$∠ABC - ∠PBC = ∠PBQ - ∠PBC$, 即$∠ABP = ∠CBQ$.
在△ABP和△CBQ中，$\{\begin{array}{l}AB=CB\\ ∠ ABP=∠ CBQ\\ PB=QB\end{array} $
所以△ABP≌△CBQ(SAS). 所以 $PA = QC$.
(2) △PQC 是直角三角形. 理由如下:
因为 $PA : PB : PC = 3 : 4 : 5$, 所以可设 $PA = 3a$, $PB = 4a$, $PC = 5a$ $(a ＞ 0)$.
因为 $QB = PB$, 且$∠PBQ = 60°$, 所以△PBQ 是等边三角形. 所以 $PQ = PB = 4a$.
由(1)得 $QC = PA$, 则 $QC = 3a$.
在△PQC 中,$PQ^2 + QC^2 = (4a)^2 + (3a)^2 = 16a^2 + 9a^2 = 25a^2 = (5a)^2 = PC^2$,
根据勾股定理的逆定理可知△PQC 是直角三角形.
【答案】
(1) $PA=QC$；(2) $△ PQC$是直角三角形
【知识点】
1. 等边三角形的判定与性质；2. 全等三角形的判定与性质；3. 勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合考查了三角形全等、等边三角形和勾股定理逆定理的相关知识，解题时要注意前后小问的关联性，合理利用前一问的结论简化后一问的推导，通过转化线段的方法将分散的条件集中到同一个三角形中，是解决这类几何问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断PA与QC的数量关系，首先观察图形可猜想PA=QC，证明线段相等通常优先考虑证明线段所在的三角形全等。结合等边△ABC的性质可得AB=CB，∠ABC=60°，结合已知∠PBQ=60°，两个60°角同时减去公共角∠PBC，即可得到∠ABP=∠CBQ，再加上已知PB=QB，可通过SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到PA=QC。
(2) 已知PA:PB:PC=3:4:5，是典型的勾股数组合，因此考虑用勾股定理的逆定理判断△PQC的形状。首先由∠PBQ=60°且QB=PB，可判定△PBQ是等边三角形，得到PQ=PB；再结合(1)的结论可得QC=PA，即可将△PQC的三边都用同一个参数表示，验证三边是否满足勾股定理的逆定理即可判断三角形形状。
【解析】
(1) 猜想:$PA = QC$. 证明如下:
因为△ABC 是等边三角形, 所以 $AB = CB$,$∠ABC = 60°$.
又$∠PBQ = 60°$, 所以$∠ABC = ∠PBQ$.
所以$∠ABC - ∠PBC = ∠PBQ - ∠PBC$, 即$∠ABP = ∠CBQ$.
在△ABP和△CBQ中，$\{\begin{array}{l}AB=CB\\ ∠ ABP=∠ CBQ\\ PB=QB\end{array} $
所以△ABP≌△CBQ(SAS). 所以 $PA = QC$.
(2) △PQC 是直角三角形. 理由如下:
因为 $PA : PB : PC = 3 : 4 : 5$, 所以可设 $PA = 3a$, $PB = 4a$, $PC = 5a$ $(a ＞ 0)$.
因为 $QB = PB$, 且$∠PBQ = 60°$, 所以△PBQ 是等边三角形. 所以 $PQ = PB = 4a$.
由(1)得 $QC = PA$, 则 $QC = 3a$.
在△PQC 中,$PQ^2 + QC^2 = (4a)^2 + (3a)^2 = 16a^2 + 9a^2 = 25a^2 = (5a)^2 = PC^2$,
根据勾股定理的逆定理可知△PQC 是直角三角形.
【答案】
(1) $PA=QC$；(2) $△ PQC$是直角三角形
【知识点】
1. 等边三角形的判定与性质；2. 全等三角形的判定与性质；3. 勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合考查了三角形全等、等边三角形和勾股定理逆定理的相关知识，解题时要注意前后小问的关联性，合理利用前一问的结论简化后一问的推导，通过转化线段的方法将分散的条件集中到同一个三角形中，是解决这类几何问题的常用思路。
【难度系数】
0.7