21. (8分)(2026·江苏镇江期末)如图,消防车上的云梯最多只能伸长到25 m,且消防车的高AF=5 m.某栋楼发生火灾,在这栋楼的B处有一老人需要救援,救人时消防车上的云梯伸长至最长,此时消防车的位置A与楼房的距离AO为20 m.
(1) 求B处与地面的距离;
(2) 完成B处的救援后,消防员发现在B处上方9 m的D处有一小孩没有及时撤离,为了能成功救出小孩,消防车从A处向楼房移动的距离AC至少为多少?
(1) 求B处与地面的距离;
(2) 完成B处的救援后,消防员发现在B处上方9 m的D处有一小孩没有及时撤离,为了能成功救出小孩,消防车从A处向楼房移动的距离AC至少为多少?
答案：(1) 由题意,得OE=AF=5 m,∠AOB=90°,AB=25 m,AO=20 m,所以OB=√(AB²−AO²)=15 m,即BE=OB+OE=20 m.所以B处与地面的距离是20 m.
(2) 由题意,得∠COD=90°,CD=25 m,OD=OB+BD=24 m,所以OC=√(CD²−OD²)=7 m,即AC=AO−OC=13 m.所以消防车从A处向楼房移动的距离AC至少为13 m.
(2) 由题意,得∠COD=90°,CD=25 m,OD=OB+BD=24 m,所以OC=√(CD²−OD²)=7 m,即AC=AO−OC=13 m.所以消防车从A处向楼房移动的距离AC至少为13 m.
解析：
【分析】
(1) 求解B处与地面的距离时，先明确线段关系：消防车高度AF等于OE的长度，云梯AB、水平距离AO与竖直高度OB构成直角△AOB，直角顶点为O。先利用勾股定理计算OB的长度，再将OB与OE相加即可得到B到地面的距离。
(2) 求解消防车移动的最小距离AC时，已知D在B上方9m，可先算出OD的长度，此时云梯最长仍为25m即CD=25m，CD、OC、OD构成直角△COD，直角顶点为O。利用勾股定理算出此时的水平距离OC，用原水平距离AO减去OC即为需要移动的AC长度。
【解析】
(1) 由题意得：OE=AF=5 m，∠AOB=90°，AB=25 m，AO=20 m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$，
则B处与地面的距离$BE=OB+OE=15+5=20\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意得：BD=9 m，CD=25 m，∠COD=90°，
则$OD=OB+BD=15+9=24\ \mathrm{m}$，
在Rt△COD中，根据勾股定理：
$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7\ \mathrm{m}$，
因此消防车移动的距离$AC=AO-OC=20-7=13\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 20 m；(2) 13 m
【知识点】
勾股定理；直角三角形应用
【点评】
本题结合消防救援的生活场景考查勾股定理的运用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，理清各线段的数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
(1) 求解B处与地面的距离时，先明确线段关系：消防车高度AF等于OE的长度，云梯AB、水平距离AO与竖直高度OB构成直角△AOB，直角顶点为O。先利用勾股定理计算OB的长度，再将OB与OE相加即可得到B到地面的距离。
(2) 求解消防车移动的最小距离AC时，已知D在B上方9m，可先算出OD的长度，此时云梯最长仍为25m即CD=25m，CD、OC、OD构成直角△COD，直角顶点为O。利用勾股定理算出此时的水平距离OC，用原水平距离AO减去OC即为需要移动的AC长度。
【解析】
(1) 由题意得：OE=AF=5 m，∠AOB=90°，AB=25 m，AO=20 m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$，
则B处与地面的距离$BE=OB+OE=15+5=20\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意得：BD=9 m，CD=25 m，∠COD=90°，
则$OD=OB+BD=15+9=24\ \mathrm{m}$，
在Rt△COD中，根据勾股定理：
$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7\ \mathrm{m}$，
因此消防车移动的距离$AC=AO-OC=20-7=13\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 20 m；(2) 13 m
【知识点】
勾股定理；直角三角形应用
【点评】
本题结合消防救援的生活场景考查勾股定理的运用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，理清各线段的数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
22. (8分)一般地,如果一个正数$x$的平方等于$a$,即$x^2=a$,那么这个正数$x$叫作$a$的算术平方根,记为$\sqrt{a}$;0的算术平方根是0,即$\sqrt{0}=0$.所以被开方数$a$为非负数.
(1)若$(\sqrt{a})^2=a$,则$a$的取值范围是________;
(2)若$|a+b+1|+\sqrt{a-2b+4}=0$,求$(a+b)^{2026}$的值;
(3)若$|2026-a|+\sqrt{a-2027}=a$,求$a-2026^2$的值.
(1)若$(\sqrt{a})^2=a$,则$a$的取值范围是________;
(2)若$|a+b+1|+\sqrt{a-2b+4}=0$,求$(a+b)^{2026}$的值;
(3)若$|2026-a|+\sqrt{a-2027}=a$,求$a-2026^2$的值.
答案：(1) a≥0 解析:因为(√a)²=a,所以a的取值范围是a≥0.
(2) 由题意,得$\begin{cases}a+b+1=0,\\a-2b+4=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2,\\b=1.\end{cases}$所以(a+b)²⁰²⁶=(−2+1)²⁰²⁶=(−1)²⁰²⁶=1.
(3) 由题意,得a−2 027≥0,即a≥2 027.所以−(2 026−a)+√(a−2 027)=a,即√(a−2 027)=2 026.所以a−2 027=2 026²,即a−2 026²=2 027.
(2) 由题意,得$\begin{cases}a+b+1=0,\\a-2b+4=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2,\\b=1.\end{cases}$所以(a+b)²⁰²⁶=(−2+1)²⁰²⁶=(−1)²⁰²⁶=1.
(3) 由题意,得a−2 027≥0,即a≥2 027.所以−(2 026−a)+√(a−2 027)=a,即√(a−2 027)=2 026.所以a−2 027=2 026²,即a−2 026²=2 027.
解析：
【分析】
(1) 结合算术平方根的定义思考：只有非负数才有算术平方根，$\sqrt{a}$有意义的前提是被开方数$a$为非负数，因此直接可推导$a$的取值范围。
(2) 利用非负数的性质分析：绝对值和算术平方根都属于非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列二元一次方程组求解$a$、$b$的值，再代入代数式计算即可。
(3) 先找隐含条件再化简：首先根据算术平方根的被开方数非负，确定$a$的取值范围，再根据$a$的范围判断$2026-a$的正负，去掉绝对值符号后化简原式，变形即可得到所求式子的值。
【解析】
(1) 算术平方根$\sqrt{a}$有意义的条件是被开方数$a≥0$，此时$(\sqrt{a})^2=a$成立，因此$a$的取值范围是$a≥0$。
(2) 由非负数的性质可得：
$\begin{cases}a+b+1=0\\a-2b+4=0\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3b-3=0$，解得$b=1$，
将$b=1$代入$a+b+1=0$，得$a=-2$，
则$(a+b)^{2026}=(-2+1)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
(3) 要使$\sqrt{a-2027}$有意义，则$a-2027≥0$，即$a≥2027$，
因此$2026-a＜0$，$|2026-a|=a-2026$，
代入原式得$a-2026+\sqrt{a-2027}=a$，
化简得$\sqrt{a-2027}=2026$，
两边平方得$a-2027=2026^2$，
移项得$a-2026^2=2027$。
【答案】
(1) $a≥0$
(2) $1$
(3) $2027$
【知识点】
算术平方根的性质，非负数的性质，绝对值的化简
【点评】
本题考查算术平方根相关性质的综合运用，前两问为基础考查，第三问的易错点是容易忽略被开方数非负的隐含条件，无法正确化简绝对值，解题时要注意先确定字母的取值范围再化简运算。
【难度系数】
0.7
(1) 结合算术平方根的定义思考：只有非负数才有算术平方根，$\sqrt{a}$有意义的前提是被开方数$a$为非负数，因此直接可推导$a$的取值范围。
(2) 利用非负数的性质分析：绝对值和算术平方根都属于非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列二元一次方程组求解$a$、$b$的值，再代入代数式计算即可。
(3) 先找隐含条件再化简：首先根据算术平方根的被开方数非负，确定$a$的取值范围，再根据$a$的范围判断$2026-a$的正负，去掉绝对值符号后化简原式，变形即可得到所求式子的值。
【解析】
(1) 算术平方根$\sqrt{a}$有意义的条件是被开方数$a≥0$，此时$(\sqrt{a})^2=a$成立，因此$a$的取值范围是$a≥0$。
(2) 由非负数的性质可得：
$\begin{cases}a+b+1=0\\a-2b+4=0\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3b-3=0$，解得$b=1$，
将$b=1$代入$a+b+1=0$，得$a=-2$，
则$(a+b)^{2026}=(-2+1)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
(3) 要使$\sqrt{a-2027}$有意义，则$a-2027≥0$，即$a≥2027$，
因此$2026-a＜0$，$|2026-a|=a-2026$，
代入原式得$a-2026+\sqrt{a-2027}=a$，
化简得$\sqrt{a-2027}=2026$，
两边平方得$a-2027=2026^2$，
移项得$a-2026^2=2027$。
【答案】
(1) $a≥0$
(2) $1$
(3) $2027$
【知识点】
算术平方根的性质，非负数的性质，绝对值的化简
【点评】
本题考查算术平方根相关性质的综合运用，前两问为基础考查，第三问的易错点是容易忽略被开方数非负的隐含条件，无法正确化简绝对值，解题时要注意先确定字母的取值范围再化简运算。
【难度系数】
0.7
23. (8分)已知$△ ABC$和$△ CDE$都为等边三角形，$B,C,D$三点在同一条直线上，请仅用无刻度的直尺完成以下作图，不写作法，保留作图痕迹.
（1）如图①，当$BC=CD$时，作$△ ABC$的中线$BF$；
（2）如图②，当$BC≠CD$时，作$△ ABC$的中线$BG$.
（1）如图①，当$BC=CD$时，作$△ ABC$的中线$BF$；
（2）如图②，当$BC≠CD$时，作$△ ABC$的中线$BG$.
答案：
(1) 如图①,线段BF即为所作.
(2) 如图②,线段BG即为所作.
(1) 如图①,线段BF即为所作.
(2) 如图②,线段BG即为所作.
解析：
【分析】
本题为无刻度直尺作图题，需结合等边三角形的性质推导作图思路：
（1）当BC=CD时，△ABC和△CDE均为等边三角形，可得AB=CE，且∠ABC=∠ECD=60°，因此AB//CE，连接BE与AC相交，交点就是AC的中点，该点与B的连线即为△ABC的中线；
（2）当BC≠CD时，先利用等边三角形共顶点C的特点，连接AD、BE得到交点，结合等边三角形全等、三线合一的性质，即可确定AC边上的中点，进而得到中线BG。
【解析】
（1）因为△ABC和△CDE都是等边三角形，且BC=CD，所以AB=CE，AB//CE，连接BE交AC于点F，可证△ABF≌△CEF，得AF=CF，即F是AC中点，因此BF为△ABC的中线，作图痕迹如图①所示；
（2）因为△ABC和△CDE都是等边三角形，可证△ACD≌△BCE，连接AD、BE交于一点，连接该点与C，与AC的交点即为AC的中点G，因此BG为△ABC的中线，作图痕迹如图②所示。
【答案】
(1) 如图①,线段BF即为所作.
(2) 如图②,线段BG即为所作.
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定，无刻度直尺作图
【点评】
本题属于几何操作类题型，重点考查对特殊三角形性质的灵活运用，需要结合图形特征找到关键点的位置，作图时需保留必要的辅助线痕迹。
【难度系数】
0.6
本题为无刻度直尺作图题，需结合等边三角形的性质推导作图思路：
（1）当BC=CD时，△ABC和△CDE均为等边三角形，可得AB=CE，且∠ABC=∠ECD=60°，因此AB//CE，连接BE与AC相交，交点就是AC的中点，该点与B的连线即为△ABC的中线；
（2）当BC≠CD时，先利用等边三角形共顶点C的特点，连接AD、BE得到交点，结合等边三角形全等、三线合一的性质，即可确定AC边上的中点，进而得到中线BG。
【解析】
（1）因为△ABC和△CDE都是等边三角形，且BC=CD，所以AB=CE，AB//CE，连接BE交AC于点F，可证△ABF≌△CEF，得AF=CF，即F是AC中点，因此BF为△ABC的中线，作图痕迹如图①所示；
（2）因为△ABC和△CDE都是等边三角形，可证△ACD≌△BCE，连接AD、BE交于一点，连接该点与C，与AC的交点即为AC的中点G，因此BG为△ABC的中线，作图痕迹如图②所示。
【答案】
(1) 如图①,线段BF即为所作.
(2) 如图②,线段BG即为所作.
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定，无刻度直尺作图
【点评】
本题属于几何操作类题型，重点考查对特殊三角形性质的灵活运用，需要结合图形特征找到关键点的位置，作图时需保留必要的辅助线痕迹。
【难度系数】
0.6