24. (8分)如图，△ABC的外角∠DAC的平分线AP交边BC的垂直平分线PQ于点P，点Q在BC上，PD⊥AB，交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E。
(1) 求证:BD=CE；
(2) 若AB=6 cm，AC=10 cm，求AD的长。
(1) 求证:BD=CE；
(2) 若AB=6 cm，AC=10 cm，求AD的长。
答案：(1) 连接BP,CP.因为PQ垂直平分BC,所以BP=CP.又AP平分∠DAC,PD⊥AB,PE⊥AC,所以∠BDP=∠CEP=∠AEP=90°,DP=EP.所以Rt△BDP≌Rt△CEP(HL).所以BD=CE.
(2) 由(1),得∠ADP=∠AEP=90°,DP=EP,BD=CE.因为AP=AP,所以Rt△ADP≌Rt△AEP(HL).所以AD=AE.设AD=AE=x cm.因为AB=6 cm,AC=10 cm,所以BD=AD+AB=(x+6) cm,CE=AC−AE=(10−x) cm,即x+6=10−x,解得x=2.所以AD的长为2 cm.
(2) 由(1),得∠ADP=∠AEP=90°,DP=EP,BD=CE.因为AP=AP,所以Rt△ADP≌Rt△AEP(HL).所以AD=AE.设AD=AE=x cm.因为AB=6 cm,AC=10 cm,所以BD=AD+AB=(x+6) cm,CE=AC−AE=(10−x) cm,即x+6=10−x,解得x=2.所以AD的长为2 cm.
解析：
【分析】
(1) 要证明BD=CE，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等实现。首先PQ是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接BP、CP可得BP=CP；再结合AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB、PE⊥AC，根据角平分线的性质可得PD=PE，利用HL定理即可证明Rt△BDP≌Rt△CEP，从而得到BD=CE。
(2) 求AD的长时，先根据角平分线的性质和公共边AP，证明Rt△ADP≌Rt△AEP得到AD=AE，再结合第一问的BD=CE，设AD为未知数列方程即可求解。
【解析】
(1) 证明：连接BP、CP。
∵ PQ垂直平分BC，
∴ BP=CP。
又
∵ AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴ ∠BDP=∠CEP=90°，DP=EP。
在Rt△BDP和Rt△CEP中：
$\begin{cases} BP=CP \\ DP=EP \end{cases}$
∴ Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），
∴ BD=CE。
(2) 解：在Rt△ADP和Rt△AEP中：
$\begin{cases} AP=AP \\ DP=EP \end{cases}$
∴ Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴ AD=AE。
设AD=AE=x cm，
则BD=AB+AD=(6+x) cm，CE=AC-AE=(10-x) cm，
由(1)知BD=CE，
∴ 6+x=10-x，
解得x=2。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) AD的长为2 cm。
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，解题核心是合理构造辅助线，结合角平分线、垂直平分线的性质得到相等的边角，通过全等三角形转化线段关系，第二问运用方程思想简化求解，考查了几何推理和简单计算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明BD=CE，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等实现。首先PQ是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接BP、CP可得BP=CP；再结合AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB、PE⊥AC，根据角平分线的性质可得PD=PE，利用HL定理即可证明Rt△BDP≌Rt△CEP，从而得到BD=CE。
(2) 求AD的长时，先根据角平分线的性质和公共边AP，证明Rt△ADP≌Rt△AEP得到AD=AE，再结合第一问的BD=CE，设AD为未知数列方程即可求解。
【解析】
(1) 证明：连接BP、CP。
∵ PQ垂直平分BC，
∴ BP=CP。
又
∵ AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴ ∠BDP=∠CEP=90°，DP=EP。
在Rt△BDP和Rt△CEP中：
$\begin{cases} BP=CP \\ DP=EP \end{cases}$
∴ Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），
∴ BD=CE。
(2) 解：在Rt△ADP和Rt△AEP中：
$\begin{cases} AP=AP \\ DP=EP \end{cases}$
∴ Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴ AD=AE。
设AD=AE=x cm，
则BD=AB+AD=(6+x) cm，CE=AC-AE=(10-x) cm，
由(1)知BD=CE，
∴ 6+x=10-x，
解得x=2。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) AD的长为2 cm。
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，解题核心是合理构造辅助线，结合角平分线、垂直平分线的性质得到相等的边角，通过全等三角形转化线段关系，第二问运用方程思想简化求解，考查了几何推理和简单计算能力。
【难度系数】
0.7
25. (10分)新趋势 推导探究 如图①,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=45°,BD⊥AC,垂足为D,P为边AB上一点(不与A,B两点重合),PM⊥BC,垂足为M,交BD于点N.
(1) 猜想PN与BM之间的数量关系,并证明;
(2) 若P为边AB延长线上的一点,PM⊥BC,垂足为M,交DB的延长线于点N,请在图②中画出图形,并判断(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请写出你的猜想并证明.
(1) 猜想PN与BM之间的数量关系,并证明;
(2) 若P为边AB延长线上的一点,PM⊥BC,垂足为M,交DB的延长线于点N,请在图②中画出图形,并判断(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请写出你的猜想并证明.
答案：
(1) PN=2BM.证明如下:如图①,过点P作PF//AC,分别交BC,BD于F,E两点,则∠PFB=∠C,∠BPE=∠A=45°.因为BD⊥AC,所以PF⊥BD.所以∠BEP=∠BEF=90°.所以∠PBE=90°−∠BPE=45°,即∠PBE=∠BPE.所以BE=PE.因为PM⊥BC,所以∠PMB=90°.所以∠BNM+∠EBF=∠PNE+∠EPN=90°.又∠BNM=∠PNE,所以∠EBF=∠EPN.又∠PEN=∠BEF=90°,所以△PEN≌△BEF(ASA).所以PN=BF.因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.所以∠ABC=∠PFB.所以PB=PF.因为PM⊥BF,所以BF=2BM.所以PN=2BM.
(2) 成立.证明如下:如图②,过点P作PF//AC,交CB的延长线于点E,交DB的延长线于点F,则∠E=∠C,∠BPF=∠A=45°.因为PM⊥BC,所以∠BMN=90°.因为BD⊥AC,所以∠ADB=90°,BD⊥PF,即∠BFE=∠BFP=90°,∠ABD=90°−∠A=45°.所以∠PBF=∠ABD=45°.所以∠PBF=∠BPF.所以BF=PF.因为∠EBF+∠BNM=∠NPF+∠PNF=90°,且∠BNM=∠PNF,所以∠EBF=∠NPF.又∠BFE=∠PFN,所以△BFE≌△PFN(ASA).所以BE=PN.因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.所以∠E=∠ABC.又∠ABC=∠PBE,所以∠E=∠PBE.所以PE=PB.因为PM⊥EB,所以BE=2BM.所以PN=2BM.
(1) PN=2BM.证明如下:如图①,过点P作PF//AC,分别交BC,BD于F,E两点,则∠PFB=∠C,∠BPE=∠A=45°.因为BD⊥AC,所以PF⊥BD.所以∠BEP=∠BEF=90°.所以∠PBE=90°−∠BPE=45°,即∠PBE=∠BPE.所以BE=PE.因为PM⊥BC,所以∠PMB=90°.所以∠BNM+∠EBF=∠PNE+∠EPN=90°.又∠BNM=∠PNE,所以∠EBF=∠EPN.又∠PEN=∠BEF=90°,所以△PEN≌△BEF(ASA).所以PN=BF.因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.所以∠ABC=∠PFB.所以PB=PF.因为PM⊥BF,所以BF=2BM.所以PN=2BM.
(2) 成立.证明如下:如图②,过点P作PF//AC,交CB的延长线于点E,交DB的延长线于点F,则∠E=∠C,∠BPF=∠A=45°.因为PM⊥BC,所以∠BMN=90°.因为BD⊥AC,所以∠ADB=90°,BD⊥PF,即∠BFE=∠BFP=90°,∠ABD=90°−∠A=45°.所以∠PBF=∠ABD=45°.所以∠PBF=∠BPF.所以BF=PF.因为∠EBF+∠BNM=∠NPF+∠PNF=90°,且∠BNM=∠PNF,所以∠EBF=∠NPF.又∠BFE=∠PFN,所以△BFE≌△PFN(ASA).所以BE=PN.因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.所以∠E=∠ABC.又∠ABC=∠PBE,所以∠E=∠PBE.所以PE=PB.因为PM⊥EB,所以BE=2BM.所以PN=2BM.
解析：
【分析】
(1) 要探究PN与BM的数量关系，结合等腰△ABC、∠A=45°及多处垂直的已知条件，可通过作平行线构造全等三角形和等腰三角形，建立两条线段的联系：首先过P作PF平行于AC，可得到45°角，推出等腰直角△BEP，得到BE=PE；再证明△PEN和△BEF全等，将PN转化为BF；最后利用等腰三角形三线合一的性质，得到BF=2BM，即可推导出PN和BM的数量关系。
(2) 当P在AB延长线上时，先按要求补全图形，沿用(1)的思路，同样作平行于AC的辅助线，构造全等三角形和等腰三角形，通过全等转化线段，结合等腰三角形三线合一的性质，验证(1)的结论是否成立。
【解析】
(1) 猜想：$PN=2BM$，证明如下：
如图①，过点P作$PF// AC$，分别交BC、BD于F、E两点，由平行线的性质可得$∠ PFB=∠ C$，$∠ BPE=∠ A=45°$。
$\because BD⊥ AC$，$PF// AC$，$\therefore PF⊥ BD$，即$∠ BEP=∠ BEF=90°$。
在$Rt△ BEP$中，$∠ PBE=90°-∠ BPE=90°-45°=45°$，$\therefore ∠ PBE=∠ BPE$，$\therefore BE=PE$。
$\because PM⊥ BC$，$\therefore ∠ PMB=90°$，$\therefore ∠ BNM+∠ EBF=90°$；在$Rt△ PEN$中，$∠ PNE+∠ EPN=90°$。
又$\because ∠ BNM=∠ PNE$（对顶角相等），$\therefore ∠ EBF=∠ EPN$。
在$△ PEN$和$△ BEF$中：
$\begin{cases}∠ EPN=∠ EBF \\PE=BE \\∠ PEN=∠ BEF=90°\end{cases}$
$\therefore △ PEN≌△ BEF(ASA)$，$\therefore PN=BF$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C$，又$\because ∠ PFB=∠ C$，$\therefore ∠ ABC=∠ PFB$，$\therefore PB=PF$，即$△ PBF$为等腰三角形。
$\because PM⊥ BC$，由等腰三角形三线合一的性质可知M是BF中点，$\therefore BF=2BM$，$\therefore PN=2BM$。
(2) 补全图形如图②所示，(1)中的结论仍然成立，即$PN=2BM$，证明如下：
过点P作$PF// AC$，交CB的延长线于点E，交DB的延长线于点F，由平行线的性质可得$∠ E=∠ C$，$∠ BPF=∠ A=45°$。
$\because BD⊥ AC$，$PF// AC$，$\therefore BD⊥ PF$，即$∠ BFP=90°$。
在$Rt△ BFP$中，$∠ PBF=∠ ABD=90°-∠ A=45°$，$\therefore ∠ PBF=∠ BPF$，$\therefore BF=PF$。
$\because PM⊥ BC$，$\therefore ∠ BMN=90°$，$\therefore ∠ EBF+∠ BNM=90°$；在$Rt△ PFN$中，$∠ NPF+∠ PNF=90°$。
又$\because ∠ BNM=∠ PNF$（对顶角相等），$\therefore ∠ EBF=∠ NPF$。
在$△ BFE$和$△ PFN$中：
$\begin{cases}∠ EBF=∠ NPF \\BF=PF \\∠ BFE=∠ PFN=90°\end{cases}$
$\therefore △ BFE≌△ PFN(ASA)$，$\therefore BE=PN$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C$，又$\because ∠ E=∠ C$，$∠ ABC=∠ PBE$（对顶角相等），$\therefore ∠ E=∠ PBE$，$\therefore PB=PE$，即$△ PBE$为等腰三角形。
$\because PM⊥ EB$，由等腰三角形三线合一的性质可知M是BE中点，$\therefore BE=2BM$，$\therefore PN=2BM$。
【答案】
(1) $PN=2BM$，证明见解析
(2) 补全图形见解析，(1)中的结论仍然成立，即$PN=2BM$，证明见解析
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于几何综合探究题，核心是通过添加平行线构造全等三角形与等腰三角形，将待探究的两条线段通过全等转化、等腰三线合一建立联系，对几何辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求，掌握常见辅助线的构造方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.5
(1) 要探究PN与BM的数量关系，结合等腰△ABC、∠A=45°及多处垂直的已知条件，可通过作平行线构造全等三角形和等腰三角形，建立两条线段的联系：首先过P作PF平行于AC，可得到45°角，推出等腰直角△BEP，得到BE=PE；再证明△PEN和△BEF全等，将PN转化为BF；最后利用等腰三角形三线合一的性质，得到BF=2BM，即可推导出PN和BM的数量关系。
(2) 当P在AB延长线上时，先按要求补全图形，沿用(1)的思路，同样作平行于AC的辅助线，构造全等三角形和等腰三角形，通过全等转化线段，结合等腰三角形三线合一的性质，验证(1)的结论是否成立。
【解析】
(1) 猜想：$PN=2BM$，证明如下：
如图①，过点P作$PF// AC$，分别交BC、BD于F、E两点，由平行线的性质可得$∠ PFB=∠ C$，$∠ BPE=∠ A=45°$。
$\because BD⊥ AC$，$PF// AC$，$\therefore PF⊥ BD$，即$∠ BEP=∠ BEF=90°$。
在$Rt△ BEP$中，$∠ PBE=90°-∠ BPE=90°-45°=45°$，$\therefore ∠ PBE=∠ BPE$，$\therefore BE=PE$。
$\because PM⊥ BC$，$\therefore ∠ PMB=90°$，$\therefore ∠ BNM+∠ EBF=90°$；在$Rt△ PEN$中，$∠ PNE+∠ EPN=90°$。
又$\because ∠ BNM=∠ PNE$（对顶角相等），$\therefore ∠ EBF=∠ EPN$。
在$△ PEN$和$△ BEF$中：
$\begin{cases}∠ EPN=∠ EBF \\PE=BE \\∠ PEN=∠ BEF=90°\end{cases}$
$\therefore △ PEN≌△ BEF(ASA)$，$\therefore PN=BF$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C$，又$\because ∠ PFB=∠ C$，$\therefore ∠ ABC=∠ PFB$，$\therefore PB=PF$，即$△ PBF$为等腰三角形。
$\because PM⊥ BC$，由等腰三角形三线合一的性质可知M是BF中点，$\therefore BF=2BM$，$\therefore PN=2BM$。
(2) 补全图形如图②所示，(1)中的结论仍然成立，即$PN=2BM$，证明如下：
过点P作$PF// AC$，交CB的延长线于点E，交DB的延长线于点F，由平行线的性质可得$∠ E=∠ C$，$∠ BPF=∠ A=45°$。
$\because BD⊥ AC$，$PF// AC$，$\therefore BD⊥ PF$，即$∠ BFP=90°$。
在$Rt△ BFP$中，$∠ PBF=∠ ABD=90°-∠ A=45°$，$\therefore ∠ PBF=∠ BPF$，$\therefore BF=PF$。
$\because PM⊥ BC$，$\therefore ∠ BMN=90°$，$\therefore ∠ EBF+∠ BNM=90°$；在$Rt△ PFN$中，$∠ NPF+∠ PNF=90°$。
又$\because ∠ BNM=∠ PNF$（对顶角相等），$\therefore ∠ EBF=∠ NPF$。
在$△ BFE$和$△ PFN$中：
$\begin{cases}∠ EBF=∠ NPF \\BF=PF \\∠ BFE=∠ PFN=90°\end{cases}$
$\therefore △ BFE≌△ PFN(ASA)$，$\therefore BE=PN$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C$，又$\because ∠ E=∠ C$，$∠ ABC=∠ PBE$（对顶角相等），$\therefore ∠ E=∠ PBE$，$\therefore PB=PE$，即$△ PBE$为等腰三角形。
$\because PM⊥ EB$，由等腰三角形三线合一的性质可知M是BE中点，$\therefore BE=2BM$，$\therefore PN=2BM$。
【答案】
(1) $PN=2BM$，证明见解析
(2) 补全图形见解析，(1)中的结论仍然成立，即$PN=2BM$，证明见解析
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于几何综合探究题，核心是通过添加平行线构造全等三角形与等腰三角形，将待探究的两条线段通过全等转化、等腰三线合一建立联系，对几何辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求，掌握常见辅助线的构造方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.5