26. (12分) 新趋势 综合实践 已知在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=AC$.
【初步发现】
(1) 如图①，若点D在线段AB上，连接CD，在CD的右侧作$CE⊥ CD$，$CD=CE$，连接BE，先由边角边证明$△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$，从而得到$∠ A=∠ CBE=45°$，$AD=BE$，所以$∠ DBE=∠ DBC+∠ CBE=45°+45°=90°$，进而得到线段AD、BD和DE之间满足的数量关系是
【深入研究】
(2) 如图②，若点D在线段AB的延长线上，连接CD，在CD的右侧作$CE⊥ CD$，$CD=CE$，则(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【尝试应用】
(3) 如图③，若点D在直线AB上，连接CD，在CD的左侧作$CE⊥ CD$，$CD=CE$，当$AD=3$，$AB=9$时，求$△ CDE$的面积；
【拓展探究】
(4) 如图④，$∠ ACB=90°$，$BC=AC$，P为$△ ABC$外一点，$PC=5$，$PB=4$，$∠ CPB=45°$，则$PA=$
【初步发现】
(1) 如图①，若点D在线段AB上，连接CD，在CD的右侧作$CE⊥ CD$，$CD=CE$，连接BE，先由边角边证明$△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$，从而得到$∠ A=∠ CBE=45°$，$AD=BE$，所以$∠ DBE=∠ DBC+∠ CBE=45°+45°=90°$，进而得到线段AD、BD和DE之间满足的数量关系是
BD²+AD²=DE²
；【深入研究】
(2) 如图②，若点D在线段AB的延长线上，连接CD，在CD的右侧作$CE⊥ CD$，$CD=CE$，则(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【尝试应用】
(3) 如图③，若点D在直线AB上，连接CD，在CD的左侧作$CE⊥ CD$，$CD=CE$，当$AD=3$，$AB=9$时，求$△ CDE$的面积；
【拓展探究】
(4) 如图④，$∠ ACB=90°$，$BC=AC$，P为$△ ABC$外一点，$PC=5$，$PB=4$，$∠ CPB=45°$，则$PA=$
√66
.答案：
(1) BD²+AD²=DE² 解析:由勾股定理,得BD²+BE²=DE².所以BD²+AD²=DE².
(2) 成立.理由如下:连接BE.因为CE⊥CD,所以∠DCE=90°.又∠ACB=90°,所以∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.又AC=BC,CD=CE,所以△ACD≌△BCE(SAS).所以AD=BE,∠A=∠CBE.因为∠A+∠ABC=90°,所以∠ABC+∠CBE=90°,即∠ABE=90°.所以∠DBE=180°−∠ABE=90°.由勾股定理,得BD²+BE²=DE²,所以BD²+AD²=DE².
(3) 由题意,得点D在线段AB上或在线段BA的延长线上,连接AE.① 当点D在线段AB上时.同(1),得AE²+AD²=DE²,AE=BD.因为AD=3,AB=9,所以AE=BD=AB−AD=6.所以DE²=6²+3²=45.因为CD²+CE²=DE²,CD=CE,所以CD²=1/2 DE²=45/2.所以S△CDE=1/2 CD²=45/4;② 当点D在线段BA的延长线上时.同(2),得AE²+AD²=DE²,AE=BD.因为AD=3,AB=9,所以AE=BD=AB+AD=12.所以DE²=12²+3²=153.因为CD²+CE²=DE²,CD=CE,所以CD²=1/2 DE²=153/2.所以S△CDE=1/2 CD²=153/4.综上,△CDE的面积为153/4或45/4.
(4) √66 解析:如图,过点C作CD⊥PC,使CD=PC,连接PD,BD.所以△DCP是等腰直角三角形.所以∠CPD=45°,PD²=PC²+CD²=2PC².又∠CPB=45°,所以∠BPD=∠CPB+∠CPD=90°.所以BD²=PD²+PB².又PC=5,PB=4,所以BD²=2PC²+PB²=66,即BD=√66.因为∠ACB=∠DCP=90°,所以∠ACB+∠BCP=∠DCP+∠BCP,即∠ACP=∠BCD.又AC=BC,所以△ACP≌△BCD(SAS).所以PA=DB=√66.
(1) BD²+AD²=DE² 解析:由勾股定理,得BD²+BE²=DE².所以BD²+AD²=DE².
(2) 成立.理由如下:连接BE.因为CE⊥CD,所以∠DCE=90°.又∠ACB=90°,所以∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.又AC=BC,CD=CE,所以△ACD≌△BCE(SAS).所以AD=BE,∠A=∠CBE.因为∠A+∠ABC=90°,所以∠ABC+∠CBE=90°,即∠ABE=90°.所以∠DBE=180°−∠ABE=90°.由勾股定理,得BD²+BE²=DE²,所以BD²+AD²=DE².
(3) 由题意,得点D在线段AB上或在线段BA的延长线上,连接AE.① 当点D在线段AB上时.同(1),得AE²+AD²=DE²,AE=BD.因为AD=3,AB=9,所以AE=BD=AB−AD=6.所以DE²=6²+3²=45.因为CD²+CE²=DE²,CD=CE,所以CD²=1/2 DE²=45/2.所以S△CDE=1/2 CD²=45/4;② 当点D在线段BA的延长线上时.同(2),得AE²+AD²=DE²,AE=BD.因为AD=3,AB=9,所以AE=BD=AB+AD=12.所以DE²=12²+3²=153.因为CD²+CE²=DE²,CD=CE,所以CD²=1/2 DE²=153/2.所以S△CDE=1/2 CD²=153/4.综上,△CDE的面积为153/4或45/4.
(4) √66 解析:如图,过点C作CD⊥PC,使CD=PC,连接PD,BD.所以△DCP是等腰直角三角形.所以∠CPD=45°,PD²=PC²+CD²=2PC².又∠CPB=45°,所以∠BPD=∠CPB+∠CPD=90°.所以BD²=PD²+PB².又PC=5,PB=4,所以BD²=2PC²+PB²=66,即BD=√66.因为∠ACB=∠DCP=90°,所以∠ACB+∠BCP=∠DCP+∠BCP,即∠ACP=∠BCD.又AC=BC,所以△ACP≌△BCD(SAS).所以PA=DB=√66.
解析：
【分析】
1. 第(1)问：已知$∠ DBE=90°$且$AD=BE$，在$Rt△ DBE$中运用勾股定理，将$BE$替换为$AD$即可得到三条线段的数量关系。
2. 第(2)问：与第(1)问思路一致，先通过角的等量代换证明$△ ACD≌△ BCE$，得到$AD=BE$，再推导$∠ DBE=90°$，最后用勾股定理验证结论是否成立。
3. 第(3)问：需分类讨论点$D$的位置，分点$D$在线段$AB$上、点$D$在线段$BA$的延长线上两种情况，两种情况均先证三角形全等得到对应边相等，再结合勾股定理求出$DE^2$，最后利用等腰直角三角形的面积公式计算面积。
4. 第(4)问：通过构造等腰直角$△ PCD$，证明$△ ACP≌△ BCD$将$PA$转化为$BD$，再结合$∠ CPB=45°$得到$Rt△ BPD$，用勾股定理求出$BD$的长度即为$PA$的长度。
【解析】
(1) $\because∠ DBE=90°$，在$Rt△ DBE$中，由勾股定理得$BD^2+BE^2=DE^2$，又$\because AD=BE$，代入得$BD^2+AD^2=DE^2$。
(2) 成立，理由如下：
连接$BE$。$\because CE⊥ CD$，$\therefore∠ DCE=90°$，又$\because∠ ACB=90°$，$\therefore∠ ACB+∠ BCD=∠ DCE+∠ BCD$，即$∠ ACD=∠ BCE$。又$\because AC=BC$，$CD=CE$，$\therefore△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$，$\therefore AD=BE$，$∠ A=∠ CBE$。$\because∠ A+∠ ABC=90°$，$\therefore∠ ABC+∠ CBE=90°$，即$∠ ABE=90°$，$\therefore∠ DBE=180°-∠ ABE=90°$。在$Rt△ DBE$中由勾股定理得$BD^2+BE^2=DE^2$，代入$AD=BE$得$BD^2+AD^2=DE^2$。
(3) 由题意得，点$D$在线段$AB$上或在线段$BA$的延长线上，连接$AE$：
① 当点$D$在线段$AB$上时：同(1)的全等思路可得$AE=BD$，$∠ DAE=90°$，$\therefore AE^2+AD^2=DE^2$。$\because AD=3$，$AB=9$，$\therefore AE=BD=AB-AD=9-3=6$，$\therefore DE^2=6^2+3^2=45$。$\because CD=CE$，$∠ DCE=90°$，$\therefore 2CD^2=DE^2$，即$CD^2=\frac{1}{2}DE^2=\frac{45}{2}$，$\therefore S_{△ CDE}=\frac{1}{2}CD^2=\frac{45}{4}$。
② 当点$D$在线段$BA$的延长线上时：同(2)的全等思路可得$AE=BD$，$∠ DAE=90°$，$\therefore AE^2+AD^2=DE^2$。$\because AD=3$，$AB=9$，$\therefore AE=BD=AB+AD=9+3=12$，$\therefore DE^2=12^2+3^2=153$。同理$CD^2=\frac{1}{2}DE^2=\frac{153}{2}$，$\therefore S_{△ CDE}=\frac{1}{2}CD^2=\frac{153}{4}$。
综上，$△ CDE$的面积为$\frac{45}{4}$或$\frac{153}{4}$。
(4) 如图，过点$C$作$CD⊥ PC$，使$CD=PC$，连接$PD$，$BD$。则$△ DCP$是等腰直角三角形，$\therefore∠ CPD=45°$，$PD^2=PC^2+CD^2=2PC^2$。又$\because∠ CPB=45°$，$\therefore∠ BPD=∠ CPB+∠ CPD=90°$，即$△ BPD$是直角三角形，$\therefore BD^2=PD^2+PB^2$。代入$PC=5$，$PB=4$得$BD^2=2×5^2+4^2=66$，即$BD=\sqrt{66}$。$\because∠ ACB=∠ DCP=90°$，$\therefore∠ ACB+∠ BCP=∠ DCP+∠ BCP$，即$∠ ACP=∠ BCD$。又$\because AC=BC$，$PC=CD$，$\therefore△ ACP≌△ BCD(\mathrm{SAS})$，$\therefore PA=DB=\sqrt{66}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD^2+AD^2=DE^2}$
(2) 成立，理由见解析
(3) $\boldsymbol{\dfrac{45}{4}}$或$\boldsymbol{\dfrac{153}{4}}$
(4) $\boldsymbol{\sqrt{66}}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合探究题，以等腰直角三角形为背景，层层递进设置问题，既考查了基础几何定理的应用能力，也考查了分类讨论思想、辅助线构造的能力，对综合运用知识解决问题的能力要求较高。
【难度系数】
0.3
1. 第(1)问：已知$∠ DBE=90°$且$AD=BE$，在$Rt△ DBE$中运用勾股定理，将$BE$替换为$AD$即可得到三条线段的数量关系。
2. 第(2)问：与第(1)问思路一致，先通过角的等量代换证明$△ ACD≌△ BCE$，得到$AD=BE$，再推导$∠ DBE=90°$，最后用勾股定理验证结论是否成立。
3. 第(3)问：需分类讨论点$D$的位置，分点$D$在线段$AB$上、点$D$在线段$BA$的延长线上两种情况，两种情况均先证三角形全等得到对应边相等，再结合勾股定理求出$DE^2$，最后利用等腰直角三角形的面积公式计算面积。
4. 第(4)问：通过构造等腰直角$△ PCD$，证明$△ ACP≌△ BCD$将$PA$转化为$BD$，再结合$∠ CPB=45°$得到$Rt△ BPD$，用勾股定理求出$BD$的长度即为$PA$的长度。
【解析】
(1) $\because∠ DBE=90°$，在$Rt△ DBE$中，由勾股定理得$BD^2+BE^2=DE^2$，又$\because AD=BE$，代入得$BD^2+AD^2=DE^2$。
(2) 成立，理由如下：
连接$BE$。$\because CE⊥ CD$，$\therefore∠ DCE=90°$，又$\because∠ ACB=90°$，$\therefore∠ ACB+∠ BCD=∠ DCE+∠ BCD$，即$∠ ACD=∠ BCE$。又$\because AC=BC$，$CD=CE$，$\therefore△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$，$\therefore AD=BE$，$∠ A=∠ CBE$。$\because∠ A+∠ ABC=90°$，$\therefore∠ ABC+∠ CBE=90°$，即$∠ ABE=90°$，$\therefore∠ DBE=180°-∠ ABE=90°$。在$Rt△ DBE$中由勾股定理得$BD^2+BE^2=DE^2$，代入$AD=BE$得$BD^2+AD^2=DE^2$。
(3) 由题意得，点$D$在线段$AB$上或在线段$BA$的延长线上，连接$AE$：
① 当点$D$在线段$AB$上时：同(1)的全等思路可得$AE=BD$，$∠ DAE=90°$，$\therefore AE^2+AD^2=DE^2$。$\because AD=3$，$AB=9$，$\therefore AE=BD=AB-AD=9-3=6$，$\therefore DE^2=6^2+3^2=45$。$\because CD=CE$，$∠ DCE=90°$，$\therefore 2CD^2=DE^2$，即$CD^2=\frac{1}{2}DE^2=\frac{45}{2}$，$\therefore S_{△ CDE}=\frac{1}{2}CD^2=\frac{45}{4}$。
② 当点$D$在线段$BA$的延长线上时：同(2)的全等思路可得$AE=BD$，$∠ DAE=90°$，$\therefore AE^2+AD^2=DE^2$。$\because AD=3$，$AB=9$，$\therefore AE=BD=AB+AD=9+3=12$，$\therefore DE^2=12^2+3^2=153$。同理$CD^2=\frac{1}{2}DE^2=\frac{153}{2}$，$\therefore S_{△ CDE}=\frac{1}{2}CD^2=\frac{153}{4}$。
综上，$△ CDE$的面积为$\frac{45}{4}$或$\frac{153}{4}$。
(4) 如图，过点$C$作$CD⊥ PC$，使$CD=PC$，连接$PD$，$BD$。则$△ DCP$是等腰直角三角形，$\therefore∠ CPD=45°$，$PD^2=PC^2+CD^2=2PC^2$。又$\because∠ CPB=45°$，$\therefore∠ BPD=∠ CPB+∠ CPD=90°$，即$△ BPD$是直角三角形，$\therefore BD^2=PD^2+PB^2$。代入$PC=5$，$PB=4$得$BD^2=2×5^2+4^2=66$，即$BD=\sqrt{66}$。$\because∠ ACB=∠ DCP=90°$，$\therefore∠ ACB+∠ BCP=∠ DCP+∠ BCP$，即$∠ ACP=∠ BCD$。又$\because AC=BC$，$PC=CD$，$\therefore△ ACP≌△ BCD(\mathrm{SAS})$，$\therefore PA=DB=\sqrt{66}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD^2+AD^2=DE^2}$
(2) 成立，理由见解析
(3) $\boldsymbol{\dfrac{45}{4}}$或$\boldsymbol{\dfrac{153}{4}}$
(4) $\boldsymbol{\sqrt{66}}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合探究题，以等腰直角三角形为背景，层层递进设置问题，既考查了基础几何定理的应用能力，也考查了分类讨论思想、辅助线构造的能力，对综合运用知识解决问题的能力要求较高。
【难度系数】
0.3