23. (8分)(2026·江苏无锡期末)如图,在平面直角坐标系中,直线l与x轴、y轴分别交于A(3,0),B(0,2)两点,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,P(1,a)为坐标平面内的一个动点.
(1) 求直线l的函数表达式;
(2) 求△ABC的面积S;
(3) 当△ABC与△ABP的面积相等时,求实数a的值.
(1) 求直线l的函数表达式;
(2) 求△ABC的面积S;
(3) 当△ABC与△ABP的面积相等时,求实数a的值.
答案：
23. （1）设直线$l$的函数表达式为$y=kx+b$. 将$A(3,0)$,$B(0,2)$分别代入,得$\begin{cases}3k+b=0,\\b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3},\\b=2.\end{cases}$所以直线$l$的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x+2$.
（2）因为$A(3,0)$,$B(0,2)$,所以$OA=3$,$OB=2$.又$∠ AOB=90°$,所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{13}$.由题意,得$AC=AB=\sqrt{13}$,$∠ BAC=90°$,所以$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{13}{2}$.
（3）连接$BP$,$OP$,$AP$.由(1)(2),得直线$l$的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x+2$,$OA=3$,$OB=2$,$S_{△ ABC}=\frac{13}{2}$.对于$y=-\frac{2}{3}x+2$,令$x=1$,得$y=\frac{4}{3}$.因为$P(1,a)$,所以$a≥\frac{4}{3}$或$0≤ a＜\frac{4}{3}$或$a＜0$.分类讨论如下:① 当$a≥\frac{4}{3}$时,
①.因为$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}OA· OB=3$,$S_{△ OAP}=\frac{1}{2}OA· y_P=\frac{3}{2}a$,$S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB· x_P=1$,所以$S_{△ ABP}=S_{△ OBP}+S_{△ OAP}-S_{△ OAB}=\frac{13}{2}$,即$\frac{3}{2}a+1-3=\frac{13}{2}$,解得$a=\frac{17}{3}$;② 当$0≤ a＜\frac{4}{3}$时,易得$S_{△ ABP}＜S_{△ ABC}$,不符合题意,舍去;③ 当$a＜0$时,②.因为$S_{△ OAB}=3$,$S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB· x_P=1$,$S_{△ OAP}=\frac{1}{2}OA· (-y_P)=-\frac{3}{2}a$,所以$S_{△ ABP}=S_{△ OAB}+S_{△ OAP}-S_{△ OBP}=\frac{13}{2}$,即$3+(-\frac{3}{2}a)-1=\frac{13}{2}$,解得$a=-3$.综上,当$△ ABC$和$△ ABP$的面积相等时,$a$的值为$\frac{17}{3}$或$-3$.
23. （1）设直线$l$的函数表达式为$y=kx+b$. 将$A(3,0)$,$B(0,2)$分别代入,得$\begin{cases}3k+b=0,\\b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3},\\b=2.\end{cases}$所以直线$l$的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x+2$.
（2）因为$A(3,0)$,$B(0,2)$,所以$OA=3$,$OB=2$.又$∠ AOB=90°$,所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{13}$.由题意,得$AC=AB=\sqrt{13}$,$∠ BAC=90°$,所以$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{13}{2}$.
（3）连接$BP$,$OP$,$AP$.由(1)(2),得直线$l$的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x+2$,$OA=3$,$OB=2$,$S_{△ ABC}=\frac{13}{2}$.对于$y=-\frac{2}{3}x+2$,令$x=1$,得$y=\frac{4}{3}$.因为$P(1,a)$,所以$a≥\frac{4}{3}$或$0≤ a＜\frac{4}{3}$或$a＜0$.分类讨论如下:① 当$a≥\frac{4}{3}$时,
①.因为$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}OA· OB=3$,$S_{△ OAP}=\frac{1}{2}OA· y_P=\frac{3}{2}a$,$S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB· x_P=1$,所以$S_{△ ABP}=S_{△ OBP}+S_{△ OAP}-S_{△ OAB}=\frac{13}{2}$,即$\frac{3}{2}a+1-3=\frac{13}{2}$,解得$a=\frac{17}{3}$;② 当$0≤ a＜\frac{4}{3}$时,易得$S_{△ ABP}＜S_{△ ABC}$,不符合题意,舍去;③ 当$a＜0$时,②.因为$S_{△ OAB}=3$,$S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB· x_P=1$,$S_{△ OAP}=\frac{1}{2}OA· (-y_P)=-\frac{3}{2}a$,所以$S_{△ ABP}=S_{△ OAB}+S_{△ OAP}-S_{△ OBP}=\frac{13}{2}$,即$3+(-\frac{3}{2}a)-1=\frac{13}{2}$,解得$a=-3$.综上,当$△ ABC$和$△ ABP$的面积相等时,$a$的值为$\frac{17}{3}$或$-3$.解析：
【分析】
(1) 求直线的函数表达式可采用待定系数法，已知直线经过A、B两个定点，设解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到解析式。
(2) 求等腰直角$△ ABC$的面积，需先求直角边$AB$的长度：在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，已知$OA$、$OB$的长度，用勾股定理可算出$AB$；由于$△ ABC$是$∠ BAC=90°$的等腰直角三角形，故$AC=AB$，代入三角形面积公式即可计算。
(3) 已知$△ ABP$和$△ ABC$面积相等，即$S_{△ ABP}=\frac{13}{2}$，$P$点横坐标固定为1，纵坐标$a$不确定，因此需分$P$在直线$AB$上方、下方的情况讨论，用割补法，通过$△ OAB$、$△ OAP$、$△ OBP$的面积和差关系表示$S_{△ ABP}$，列方程求解后舍去不符合题意的结果。
【解析】
(1) 设直线$l$的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$，$B(0,2)$分别代入，得
$\begin{cases}3k+b=0\\b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3}\\b=2\end{cases}$
因此直线$l$的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x+2$。
(2) 由$A(3,0)$，$B(0,2)$得$OA=3$，$OB=2$，又$∠ AOB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
因为$△ ABC$是$∠ BAC=90°$的等腰直角三角形，所以$AC=AB=\sqrt{13}$，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×\sqrt{13}×\sqrt{13}=\frac{13}{2}$
(3) 连接$BP$，$OP$，$AP$，将$x=1$代入直线$l$的解析式得$y=\frac{4}{3}$，分三种情况讨论：
① 当$a\ge\frac{4}{3}$时，对应图，此时$S_{△ ABP}=S_{△ OBP}+S_{△ OAP}-S_{△ OAB}$
其中$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_{△ OAP}=\frac{3}{2}a$，$S_{△ OBP}=\frac{1}{2}×2×1=1$，代入得：
$\frac{3}{2}a + 1 - 3=\frac{13}{2}$，解得$a=\frac{17}{3}$，符合条件；
② 当$0\le a＜\frac{4}{3}$时，$S_{△ ABP}＜S_{△ ABC}$，不符合题意，舍去；
③ 当$a＜0$时，对应图，此时$S_{△ ABP}=S_{△ OAB}+S_{△ OAP}-S_{△ OBP}$
其中$S_{△ OAP}=-\frac{3}{2}a$，代入得：
$3 + (-\frac{3}{2}a) - 1=\frac{13}{2}$，解得$a=-3$，符合条件。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{3}x+2$
(2) $\frac{13}{2}$
(3) $\frac{17}{3}$或$-3$
【知识点】
待定系数法求解析式，勾股定理，坐标与面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数、勾股定理与坐标几何的面积计算，解题时需熟练运用待定系数法和割补法，第三问要注意分类讨论点P的位置，避免漏解，掌握坐标系中不规则三角形的面积计算方法是解题关键。
【难度系数】
0.4
(1) 求直线的函数表达式可采用待定系数法，已知直线经过A、B两个定点，设解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到解析式。
(2) 求等腰直角$△ ABC$的面积，需先求直角边$AB$的长度：在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，已知$OA$、$OB$的长度，用勾股定理可算出$AB$；由于$△ ABC$是$∠ BAC=90°$的等腰直角三角形，故$AC=AB$，代入三角形面积公式即可计算。
(3) 已知$△ ABP$和$△ ABC$面积相等，即$S_{△ ABP}=\frac{13}{2}$，$P$点横坐标固定为1，纵坐标$a$不确定，因此需分$P$在直线$AB$上方、下方的情况讨论，用割补法，通过$△ OAB$、$△ OAP$、$△ OBP$的面积和差关系表示$S_{△ ABP}$，列方程求解后舍去不符合题意的结果。
【解析】
(1) 设直线$l$的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$，$B(0,2)$分别代入，得
$\begin{cases}3k+b=0\\b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3}\\b=2\end{cases}$
因此直线$l$的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x+2$。
(2) 由$A(3,0)$，$B(0,2)$得$OA=3$，$OB=2$，又$∠ AOB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
因为$△ ABC$是$∠ BAC=90°$的等腰直角三角形，所以$AC=AB=\sqrt{13}$，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×\sqrt{13}×\sqrt{13}=\frac{13}{2}$
(3) 连接$BP$，$OP$，$AP$，将$x=1$代入直线$l$的解析式得$y=\frac{4}{3}$，分三种情况讨论：
① 当$a\ge\frac{4}{3}$时，对应图
，此时$S_{△ ABP}=S_{△ OBP}+S_{△ OAP}-S_{△ OAB}$其中$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_{△ OAP}=\frac{3}{2}a$，$S_{△ OBP}=\frac{1}{2}×2×1=1$，代入得：
$\frac{3}{2}a + 1 - 3=\frac{13}{2}$，解得$a=\frac{17}{3}$，符合条件；
② 当$0\le a＜\frac{4}{3}$时，$S_{△ ABP}＜S_{△ ABC}$，不符合题意，舍去；
③ 当$a＜0$时，对应图
，此时$S_{△ ABP}=S_{△ OAB}+S_{△ OAP}-S_{△ OBP}$其中$S_{△ OAP}=-\frac{3}{2}a$，代入得：
$3 + (-\frac{3}{2}a) - 1=\frac{13}{2}$，解得$a=-3$，符合条件。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{3}x+2$
(2) $\frac{13}{2}$
(3) $\frac{17}{3}$或$-3$
【知识点】
待定系数法求解析式，勾股定理，坐标与面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数、勾股定理与坐标几何的面积计算，解题时需熟练运用待定系数法和割补法，第三问要注意分类讨论点P的位置，避免漏解，掌握坐标系中不规则三角形的面积计算方法是解题关键。
【难度系数】
0.4
24. (10分)如图,一次函数$y=-\frac{1}{2}x+5$的图象$l_1$分别与x轴、y轴交于A,B两点,正比例函数的图象$l_2$与$l_1$交于点$C(m,4)$.
(1) 求$m$的值及直线$l_2$对应的函数表达式;
(2) 求$S_{△ AOC}-S_{△ BOC}$的值;
(3) 已知一次函数$y=kx+1$的图象为$l_3$,且$l_1,l_2,l_3$不能围成三角形,求$k$的值.
(1) 求$m$的值及直线$l_2$对应的函数表达式;
(2) 求$S_{△ AOC}-S_{△ BOC}$的值;
(3) 已知一次函数$y=kx+1$的图象为$l_3$,且$l_1,l_2,l_3$不能围成三角形,求$k$的值.
答案：24. （1）由题意,把$C(m,4)$代入$y=-\frac{1}{2}x+5$中,得$-\frac{m}{2}+5=4$,解得$m=2$.则$m$的值为2,点$C$的坐标为$(2,4)$.设直线$l_2$对应的函数表达式为$y=kx$.又点$C$在直线$l_2$上,所以$2k=4$,解得$k=2$.则直线$l_2$对应的函数表达式为$y=2x$.
（2）在$y=-\frac{1}{2}x+5$中,令$x=0$,得$y=5$;令$y=0$,得$-\frac{1}{2}x+5=0$,解得$x=10$.又直线$l_1$分别与$x$轴、$y$轴交于$A$,$B$两点,所以点$A$的坐标为$(10,0)$,点$B$的坐标为$(0,5)$,即$OA=10$,$OB=5$.过点$C$分别作$CD⊥ OA$,$CE⊥ OB$,垂足为$D$,$E$.由(1),得点$C$的坐标为$(2,4)$,所以$CD=4$,$CE=2$.则$S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OA· CD-\frac{1}{2}OB· CE=15$.
（3）由题意,得当直线$l_3$是由直线$l_1$平移得到或直线$l_3$是由直线$l_2$平移得到或直线$l_3$经过点$C$时,三条直线不能围成三角形.当直线$l_3$是由直线$l_1$平移得到时,$k=-\frac{1}{2}$;当直线$l_3$是由直线$l_2$平移得到时,由(1),得直线$l_2$的函数表达式为$y=2x$,则$k=2$;当直线$l_3$经过点$C$时,由(1),得点$C$的坐标为$(2,4)$,则$2k+1=4$,解得$k=\frac{3}{2}$.综上,$k$的值为$-\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$或2.
（2）在$y=-\frac{1}{2}x+5$中,令$x=0$,得$y=5$;令$y=0$,得$-\frac{1}{2}x+5=0$,解得$x=10$.又直线$l_1$分别与$x$轴、$y$轴交于$A$,$B$两点,所以点$A$的坐标为$(10,0)$,点$B$的坐标为$(0,5)$,即$OA=10$,$OB=5$.过点$C$分别作$CD⊥ OA$,$CE⊥ OB$,垂足为$D$,$E$.由(1),得点$C$的坐标为$(2,4)$,所以$CD=4$,$CE=2$.则$S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OA· CD-\frac{1}{2}OB· CE=15$.
（3）由题意,得当直线$l_3$是由直线$l_1$平移得到或直线$l_3$是由直线$l_2$平移得到或直线$l_3$经过点$C$时,三条直线不能围成三角形.当直线$l_3$是由直线$l_1$平移得到时,$k=-\frac{1}{2}$;当直线$l_3$是由直线$l_2$平移得到时,由(1),得直线$l_2$的函数表达式为$y=2x$,则$k=2$;当直线$l_3$经过点$C$时,由(1),得点$C$的坐标为$(2,4)$,则$2k+1=4$,解得$k=\frac{3}{2}$.综上,$k$的值为$-\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$或2.
解析：
【分析】
(1) 点C在直线l₁上，其坐标满足l₁的函数表达式，将C(m,4)代入l₁的解析式即可求出m的值，得到C点坐标；l₂是过原点的正比例函数，设解析式为y=kx，代入C点坐标即可求出l₂的函数表达式。
(2) 先求出l₁与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；△AOC以OA为底，高为C点的纵坐标，△BOC以OB为底，高为C点的横坐标，分别计算两个三角形的面积再作差即可。
(3) 三条直线不能围成三角形有三种情况：①l₃与l₁平行；②l₃与l₂平行；③l₃经过l₁和l₂的交点C，分别对三种情况计算k的值即可。
【解析】
(1) 把$C(m,4)$代入$y=-\frac{1}{2}x+5$中，得$-\frac{m}{2}+5=4$，解得$m=2$，即点C坐标为$(2,4)$。
设直线$l_2$对应的函数表达式为$y=kx$，将$C(2,4)$代入得$2k=4$，解得$k=2$，故直线$l_2$的表达式为$y=2x$。
(2) 在$y=-\frac{1}{2}x+5$中，令$x=0$，得$y=5$，即$B(0,5)$，$OB=5$；令$y=0$，得$-\frac{1}{2}x+5=0$，解得$x=10$，即$A(10,0)$，$OA=10$。
过点C作$CD⊥OA$于D，$CE⊥OB$于E，由C(2,4)得$CD=4$，$CE=2$。
则$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OA × CD = \frac{1}{2} × 10 × 4 = 20$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OB × CE = \frac{1}{2} ×5 ×2=5$，故$S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=20-5=15$。
(3) $l_1,l_2,l_3$不能围成三角形分三种情况：
① 当$l_3 // l_1$时，两直线斜率相等，故$k=-\frac{1}{2}$；
② 当$l_3 // l_2$时，两直线斜率相等，故$k=2$；
③ 当$l_3$过点C(2,4)时，将C代入$y=kx+1$得$2k+1=4$，解得$k=\frac{3}{2}$。
综上，k的值为$-\frac{1}{2}$或2或$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $m=2$，直线$l_2$的函数表达式为$\boldsymbol{y=2x}$；
(2) $\boldsymbol{15}$；
(3) $k$的值为$\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$或$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$。
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数交点问题，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的相关知识，覆盖了点与函数解析式的关系、三角形面积计算、三线不围成三角形的分类讨论等内容，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
(1) 点C在直线l₁上，其坐标满足l₁的函数表达式，将C(m,4)代入l₁的解析式即可求出m的值，得到C点坐标；l₂是过原点的正比例函数，设解析式为y=kx，代入C点坐标即可求出l₂的函数表达式。
(2) 先求出l₁与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；△AOC以OA为底，高为C点的纵坐标，△BOC以OB为底，高为C点的横坐标，分别计算两个三角形的面积再作差即可。
(3) 三条直线不能围成三角形有三种情况：①l₃与l₁平行；②l₃与l₂平行；③l₃经过l₁和l₂的交点C，分别对三种情况计算k的值即可。
【解析】
(1) 把$C(m,4)$代入$y=-\frac{1}{2}x+5$中，得$-\frac{m}{2}+5=4$，解得$m=2$，即点C坐标为$(2,4)$。
设直线$l_2$对应的函数表达式为$y=kx$，将$C(2,4)$代入得$2k=4$，解得$k=2$，故直线$l_2$的表达式为$y=2x$。
(2) 在$y=-\frac{1}{2}x+5$中，令$x=0$，得$y=5$，即$B(0,5)$，$OB=5$；令$y=0$，得$-\frac{1}{2}x+5=0$，解得$x=10$，即$A(10,0)$，$OA=10$。
过点C作$CD⊥OA$于D，$CE⊥OB$于E，由C(2,4)得$CD=4$，$CE=2$。
则$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OA × CD = \frac{1}{2} × 10 × 4 = 20$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OB × CE = \frac{1}{2} ×5 ×2=5$，故$S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=20-5=15$。
(3) $l_1,l_2,l_3$不能围成三角形分三种情况：
① 当$l_3 // l_1$时，两直线斜率相等，故$k=-\frac{1}{2}$；
② 当$l_3 // l_2$时，两直线斜率相等，故$k=2$；
③ 当$l_3$过点C(2,4)时，将C代入$y=kx+1$得$2k+1=4$，解得$k=\frac{3}{2}$。
综上，k的值为$-\frac{1}{2}$或2或$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $m=2$，直线$l_2$的函数表达式为$\boldsymbol{y=2x}$；
(2) $\boldsymbol{15}$；
(3) $k$的值为$\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$或$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$。
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数交点问题，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的相关知识，覆盖了点与函数解析式的关系、三角形面积计算、三线不围成三角形的分类讨论等内容，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6