20. (6分)(2026·江苏徐州期末)已知$y-2$与$x+3$成正比例，且当$x=-4$时，$y=0$.
（1）求$y$关于$x$的函数表达式；
（2）当$-2＜y≤6$时，求$x$的取值范围.
（1）求$y$关于$x$的函数表达式；
（2）当$-2＜y≤6$时，求$x$的取值范围.
答案：20. （1）因为$y-2$与$x+3$成正比例,所以设$y-2=k(x+3)$.因为当$x=-4$时,$y=0$,所以$0-2=k(-4+3)$,解得$k=2$.所以$y-2=2(x+3)$,即$y=2x+8$.所以$y$关于$x$的函数表达式为$y=2x+8$.
（2）由(1),得$y=2x+8$.令$y=-2$,得$2x+8=-2$,解得$x=-5$;令$y=6$,得$2x+8=6$,解得$x=-1$.又$y$随$x$的增大而增大,所以当$-2＜y≤6$时,$x$的取值范围为$-5＜x≤-1$.
（2）由(1),得$y=2x+8$.令$y=-2$,得$2x+8=-2$,解得$x=-5$;令$y=6$,得$2x+8=6$,解得$x=-1$.又$y$随$x$的增大而增大,所以当$-2＜y≤6$时,$x$的取值范围为$-5＜x≤-1$.
解析：
【分析】
（1）根据成正比例的定义，若两个量成正比例，可设其关系式为$A=kB$（$k$为常数，$k≠0$），本题中$y-2$与$x+3$成正比例，因此可设$y-2=k(x+3)$，再将已知的$x=-4$、$y=0$代入式子求出比例系数$k$，整理后即可得到$y$关于$x$的函数表达式。
（2）由（1）得到的一次函数解析式可知$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，只需分别求出$y=-2$和$y=6$对应的$x$值，结合函数的单调性就能确定$y$在给定范围时$x$的取值范围。
【解析】
（1）
∵$y-2$与$x+3$成正比例，
∴设$y-2=k(x+3)$（$k≠0$）。
将$x=-4$，$y=0$代入上式，得：
$0-2=k(-4+3)$
解得$k=2$。
将$k=2$代入$y-2=k(x+3)$，得：
$y-2=2(x+3)$
整理得$y=2x+8$。
（2）由（1）得一次函数解析式为$y=2x+8$，其中$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大。
当$y=-2$时，$2x+8=-2$，解得$x=-5$；
当$y=6$时，$2x+8=6$，解得$x=-1$。
结合函数单调性，当$-2＜y≤6$时，$x$的取值范围为$-5＜x≤-1$。
【答案】
（1）$y=2x+8$
（2）$-5＜x≤-1$
【知识点】
正比例关系定义、待定系数法求解析式、一次函数性质
【点评】
本题属于一次函数基础题，主要考查正比例的概念、待定系数法的应用以及一次函数增减性的使用，解题时注意严格按照定义列式，结合函数单调性判断不等号方向即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
（1）根据成正比例的定义，若两个量成正比例，可设其关系式为$A=kB$（$k$为常数，$k≠0$），本题中$y-2$与$x+3$成正比例，因此可设$y-2=k(x+3)$，再将已知的$x=-4$、$y=0$代入式子求出比例系数$k$，整理后即可得到$y$关于$x$的函数表达式。
（2）由（1）得到的一次函数解析式可知$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，只需分别求出$y=-2$和$y=6$对应的$x$值，结合函数的单调性就能确定$y$在给定范围时$x$的取值范围。
【解析】
（1）
∵$y-2$与$x+3$成正比例，
∴设$y-2=k(x+3)$（$k≠0$）。
将$x=-4$，$y=0$代入上式，得：
$0-2=k(-4+3)$
解得$k=2$。
将$k=2$代入$y-2=k(x+3)$，得：
$y-2=2(x+3)$
整理得$y=2x+8$。
（2）由（1）得一次函数解析式为$y=2x+8$，其中$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大。
当$y=-2$时，$2x+8=-2$，解得$x=-5$；
当$y=6$时，$2x+8=6$，解得$x=-1$。
结合函数单调性，当$-2＜y≤6$时，$x$的取值范围为$-5＜x≤-1$。
【答案】
（1）$y=2x+8$
（2）$-5＜x≤-1$
【知识点】
正比例关系定义、待定系数法求解析式、一次函数性质
【点评】
本题属于一次函数基础题，主要考查正比例的概念、待定系数法的应用以及一次函数增减性的使用，解题时注意严格按照定义列式，结合函数单调性判断不等号方向即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
21. (6分)如图,在平面直角坐标系中有A(0,3),B(-1,0),D(2,0)三点,DE⊥x轴于点D,且∠BED=∠ABO,直线AE交x轴于点C.
(1) 求证:△ABO≌△BED;
(2) 求直线AE对应的函数表达式;
(3) 若有一个动点P在y轴上,连接PE,PC,当PE+PC取最小值时,求点P的坐标.
(1) 求证:△ABO≌△BED;
(2) 求直线AE对应的函数表达式;
(3) 若有一个动点P在y轴上,连接PE,PC,当PE+PC取最小值时,求点P的坐标.
答案：21. （1）因为$A(0,3)$,$B(-1,0)$,$D(2,0)$,所以$OA=3$,$OB=1$,$OD=2$.所以$DB=3$,即$OA=DB$.又$DE⊥ x$轴,所以$∠ BDE=90°$.又$∠ AOB=90°$,所以$∠ AOB=∠ BDE$. 又$∠ BED=∠ ABO$,所以$△ ABO≌△ BED(\mathrm{AAS})$.
（2）由(1),得$△ ABO≌△ BED$,$OB=1$,$OD=2$,所以$OB=DE$,即$DE=1$.所以$E(2,1)$.设直线$AE$对应的函数表达式为$y=kx+b$,所以$\begin{cases}b=3,\\2k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=3.\end{cases}$所以直线$AE$对应的函数表达式为$y=-x+3$.
（3）由(2),得$E(2,1)$,直线$AE$对应的函数表达式为$y=-x+3$.令$y=0$,得$-x+3=0$,解得$x=3$.所以$C(3,0)$.作点$C$关于$y$轴的对称点$C'$,连接$C'E$,$PC'$,则点$C'$的坐标为$(-3,0)$,$PC'=PC$.所以$PE+PC=PE+PC'≥ C'E$,即当$C'$,$E$,$P$三点共线时,$PE+PC$取最小值.设直线$C'E$的函数表达式为$y=k_1x+b_1$,所以$\begin{cases}2k_1+b_1=1,\\-3k_1+b_1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=\frac{1}{5},\\b_1=\frac{3}{5}.\end{cases}$所以直线$C'E$的函数表达式为$y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}$.令$x=0$,得$y=\frac{3}{5}$.所以此时点$P$的坐标为$(0,\frac{3}{5})$.
（2）由(1),得$△ ABO≌△ BED$,$OB=1$,$OD=2$,所以$OB=DE$,即$DE=1$.所以$E(2,1)$.设直线$AE$对应的函数表达式为$y=kx+b$,所以$\begin{cases}b=3,\\2k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=3.\end{cases}$所以直线$AE$对应的函数表达式为$y=-x+3$.
（3）由(2),得$E(2,1)$,直线$AE$对应的函数表达式为$y=-x+3$.令$y=0$,得$-x+3=0$,解得$x=3$.所以$C(3,0)$.作点$C$关于$y$轴的对称点$C'$,连接$C'E$,$PC'$,则点$C'$的坐标为$(-3,0)$,$PC'=PC$.所以$PE+PC=PE+PC'≥ C'E$,即当$C'$,$E$,$P$三点共线时,$PE+PC$取最小值.设直线$C'E$的函数表达式为$y=k_1x+b_1$,所以$\begin{cases}2k_1+b_1=1,\\-3k_1+b_1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=\frac{1}{5},\\b_1=\frac{3}{5}.\end{cases}$所以直线$C'E$的函数表达式为$y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}$.令$x=0$,得$y=\frac{3}{5}$.所以此时点$P$的坐标为$(0,\frac{3}{5})$.
解析：
【分析】
（1）要证明△ABO≌△BED，先从已知坐标入手计算边长，得到边相等的条件，再结合已知的角相等、直角相等的条件，用AAS判定定理即可证明全等。
（2）求直线AE的函数表达式，需先通过全等结论得到E点坐标，再用待定系数法，将A、E两点坐标代入一次函数一般式求解系数即可。
（3）PE+PC的最小值属于轴对称最短路径问题，由于P在y轴上，先找C点关于y轴的对称点C'，根据轴对称性质PC=PC'，当C'、P、E三点共线时，PE+PC'（即PE+PC）最小，求出直线C'E与y轴的交点即为所求P点。
【解析】
（1）证明：由A(0,3)，B(-1,0)，D(2,0)可得：$OA=3$，$OB=1$，$BD=2-(-1)=3$，因此$OA=BD$。
因为$DE⊥x$轴，所以$∠BDE=90°$，又$∠AOB=90°$，故$∠AOB=∠BDE$。
在$△ ABO$和$△ BED$中：
$\begin{cases}∠ABO=∠BED \\∠AOB=∠BDE \\OA=BD\end{cases}$
因此$△ ABO≌△ BED(\mathrm{AAS})$。
（2）解：由（1）的全等结论可得$DE=OB=1$，结合$D(2,0)$且$DE⊥x$轴，得E点坐标为$(2,1)$。
设直线AE的函数表达式为$y=kx+b$，将A(0,3)、E(2,1)代入得：
$\begin{cases}b=3 \\2k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=3\end{cases}$
因此直线AE对应的函数表达式为$y=-x+3$。
（3）解：在$y=-x+3$中令$y=0$，得$-x+3=0$，解得$x=3$，因此C点坐标为$(3,0)$。
作C关于y轴的对称点$C'$，则$C'(-3,0)$，由轴对称性质得$PC=PC'$，因此$PE+PC=PE+PC'$，根据两点之间线段最短，当$C'$、$P$、$E$三点共线时，$PE+PC$取最小值，此时P为直线$C'E$与y轴的交点。
设直线$C'E$的表达式为$y=k_1x+b_1$，将$C'(-3,0)$、$E(2,1)$代入得：
$\begin{cases}-3k_1+b_1=0 \\2k_1+b_1=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=\frac{1}{5} \\b_1=\frac{3}{5}\end{cases}$
因此直线$C'E$的表达式为$y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}$，令$x=0$得$y=\frac{3}{5}$，即P点坐标为$(0,\frac{3}{5})$。
【答案】
（1）$△ ABO≌△ BED$，证明成立；
（2）直线AE对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+3}$；
（3）点P的坐标为$\boldsymbol{(0,\frac{3}{5})}$。
【知识点】
全等三角形判定、待定系数法求一次函数解析式、最短路径问题
【点评】
本题是坐标系下的几何与代数综合题，各小问递进关系清晰，既考察了基础的全等证明、一次函数解析式求解，也考察了轴对称模型在最值问题中的应用，要求学生能够熟练迁移知识点解决综合问题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABO≌△BED，先从已知坐标入手计算边长，得到边相等的条件，再结合已知的角相等、直角相等的条件，用AAS判定定理即可证明全等。
（2）求直线AE的函数表达式，需先通过全等结论得到E点坐标，再用待定系数法，将A、E两点坐标代入一次函数一般式求解系数即可。
（3）PE+PC的最小值属于轴对称最短路径问题，由于P在y轴上，先找C点关于y轴的对称点C'，根据轴对称性质PC=PC'，当C'、P、E三点共线时，PE+PC'（即PE+PC）最小，求出直线C'E与y轴的交点即为所求P点。
【解析】
（1）证明：由A(0,3)，B(-1,0)，D(2,0)可得：$OA=3$，$OB=1$，$BD=2-(-1)=3$，因此$OA=BD$。
因为$DE⊥x$轴，所以$∠BDE=90°$，又$∠AOB=90°$，故$∠AOB=∠BDE$。
在$△ ABO$和$△ BED$中：
$\begin{cases}∠ABO=∠BED \\∠AOB=∠BDE \\OA=BD\end{cases}$
因此$△ ABO≌△ BED(\mathrm{AAS})$。
（2）解：由（1）的全等结论可得$DE=OB=1$，结合$D(2,0)$且$DE⊥x$轴，得E点坐标为$(2,1)$。
设直线AE的函数表达式为$y=kx+b$，将A(0,3)、E(2,1)代入得：
$\begin{cases}b=3 \\2k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=3\end{cases}$
因此直线AE对应的函数表达式为$y=-x+3$。
（3）解：在$y=-x+3$中令$y=0$，得$-x+3=0$，解得$x=3$，因此C点坐标为$(3,0)$。
作C关于y轴的对称点$C'$，则$C'(-3,0)$，由轴对称性质得$PC=PC'$，因此$PE+PC=PE+PC'$，根据两点之间线段最短，当$C'$、$P$、$E$三点共线时，$PE+PC$取最小值，此时P为直线$C'E$与y轴的交点。
设直线$C'E$的表达式为$y=k_1x+b_1$，将$C'(-3,0)$、$E(2,1)$代入得：
$\begin{cases}-3k_1+b_1=0 \\2k_1+b_1=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=\frac{1}{5} \\b_1=\frac{3}{5}\end{cases}$
因此直线$C'E$的表达式为$y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}$，令$x=0$得$y=\frac{3}{5}$，即P点坐标为$(0,\frac{3}{5})$。
【答案】
（1）$△ ABO≌△ BED$，证明成立；
（2）直线AE对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+3}$；
（3）点P的坐标为$\boldsymbol{(0,\frac{3}{5})}$。
【知识点】
全等三角形判定、待定系数法求一次函数解析式、最短路径问题
【点评】
本题是坐标系下的几何与代数综合题，各小问递进关系清晰，既考察了基础的全等证明、一次函数解析式求解，也考察了轴对称模型在最值问题中的应用，要求学生能够熟练迁移知识点解决综合问题。
【难度系数】
0.7
22. (8分)新素养 数据观念 某商店计划购进甲、乙两种商品.若购进20个甲种商品和10个乙种商品,则一共需要2800元;若购进15个甲种商品和20个乙种商品,则一共需要3600元.
(1) 求甲、乙两种商品的进货价;
(2) 某单位计划到该商店购进甲、乙两种商品共200个,且购进甲种商品的数量不少于乙种商品数量的2倍.商店给予该单位一定的价格优惠,优惠措施如下表所示:
设该单位购进甲种商品x个,商店共获利w元.
① 若t=15,请求出此时w关于x的函数表达式,并求出商店能获得的最大利润;
② 商店业务员小王发现,在这笔交易中,无论单位采取何种购买方案,商店获得的利润始终保持不变,求t的值.
(1) 求甲、乙两种商品的进货价;
(2) 某单位计划到该商店购进甲、乙两种商品共200个,且购进甲种商品的数量不少于乙种商品数量的2倍.商店给予该单位一定的价格优惠,优惠措施如下表所示:
设该单位购进甲种商品x个,商店共获利w元.
① 若t=15,请求出此时w关于x的函数表达式,并求出商店能获得的最大利润;
② 商店业务员小王发现,在这笔交易中,无论单位采取何种购买方案,商店获得的利润始终保持不变,求t的值.
答案：22. （1）设甲种商品的进货价为$m$元/个,乙种商品的进货价为$n$元/个. 由题意,得$\begin{cases}20m+10n=2800,\\15m+20n=3600,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=80,\\n=120.\end{cases}$所以甲种商品的进货价为80元/个,乙种商品的进货价为120元/个.
（2）① 由题意,得$w=(100×0.9-80)x+(150-15-120)(200-x)=-5x+3000$.因为甲种商品的数量不少于乙种商品数量的2倍,所以$x≥2(200-x)$,解得$x≥133\frac{1}{3}$.因为$-5＜0$,所以$w$随$x$的增大而减小.所以当$x=134$时,$w$取最大值,且最大值为$-5×134+3000=2330$.所以$w$关于$x$的函数表达式为$w=-5x+3000$,商店能获得的最大利润为2 330元.
② 由题意,得$w=(100×0.9-80)x+(150-t-120)(200-x)=(t-20)x+6000-200t$.因为$w$的值与$x$无关,所以$t-20=0$,解得$t=20$.则$t$的值为20.
（2）① 由题意,得$w=(100×0.9-80)x+(150-15-120)(200-x)=-5x+3000$.因为甲种商品的数量不少于乙种商品数量的2倍,所以$x≥2(200-x)$,解得$x≥133\frac{1}{3}$.因为$-5＜0$,所以$w$随$x$的增大而减小.所以当$x=134$时,$w$取最大值,且最大值为$-5×134+3000=2330$.所以$w$关于$x$的函数表达式为$w=-5x+3000$,商店能获得的最大利润为2 330元.
② 由题意,得$w=(100×0.9-80)x+(150-t-120)(200-x)=(t-20)x+6000-200t$.因为$w$的值与$x$无关,所以$t-20=0$,解得$t=20$.则$t$的值为20.
解析：
【分析】
（1）第一问求甲、乙商品的进货价，属于二元一次方程组应用问题，可分别设甲、乙进货价为m元/个、n元/个，根据两次进货的总费用这两个等量关系列方程组，求解即可得到进价。
（2）①首先根据“甲的数量不少于乙数量的2倍”列不等式，求出x的取值范围；再根据“总利润=甲的单个利润×甲的数量+乙的单个利润×乙的数量”，代入t=15的条件写出w关于x的函数表达式，结合一次函数的增减性和x的取值范围（商品个数为正整数），即可求出最大利润。
②先写出w关于x的一般函数表达式，要让利润和购买方案无关，即w的值不受x变化影响，说明一次函数中x的系数为0，据此列方程求解t即可。
【解析】
（1）设甲种商品的进货价为$m$元/个，乙种商品的进货价为$n$元/个。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}20m+10n=2800\\15m+20n=3600\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$40m+20n=5600$，减去第二个方程得$25m=2000$，解得$m=80$。
把$m=80$代入$20m+10n=2800$，得$1600+10n=2800$，解得$n=120$。
（2）①设购进甲种商品$x$个，则购进乙种商品$(200-x)$个。
先求x的取值范围：由题意得$x≥2(200-x)$，解得$x≥133\frac{1}{3}$，因为x为正整数，所以$x≥134$且x为整数。
当$t=15$时，甲的单个利润为$100×0.9-80=10$元，乙的单个利润为$150-15-120=15$元，
总利润$w=10x+15(200-x)=-5x+3000$。
因为$k=-5＜0$，所以w随x的增大而减小，当x取最小值134时，w取得最大值，最大值为$-5×134+3000=2330$元。
②甲的单个利润为$100×0.9-80=10$元，乙的单个利润为$(150-t-120)=(30-t)$元，
总利润$w=10x+(30-t)(200-x)=(t-20)x+6000-200t$。
因为利润与购买方案无关，即w的值与x无关，所以x的系数为0，即$t-20=0$，解得$t=20$。
【答案】
（1）甲种商品的进货价为80元/个，乙种商品的进货价为120元/个；
（2）①$w=-5x+3000$（$x≥134$且x为整数），商店的最大利润为2330元；
②$t$的值为20。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 一次函数的实际应用
3. 一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活中的销售优惠场景，综合考查了方程、不等式、一次函数的相关知识，解题时需要理清成本、售价、利润之间的数量关系，找准等量关系与不等关系列式，同时要熟练掌握一次函数增减性判断最值的方法，以及函数值与自变量无关的条件，侧重考查对数据的分析处理能力和知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
（1）第一问求甲、乙商品的进货价，属于二元一次方程组应用问题，可分别设甲、乙进货价为m元/个、n元/个，根据两次进货的总费用这两个等量关系列方程组，求解即可得到进价。
（2）①首先根据“甲的数量不少于乙数量的2倍”列不等式，求出x的取值范围；再根据“总利润=甲的单个利润×甲的数量+乙的单个利润×乙的数量”，代入t=15的条件写出w关于x的函数表达式，结合一次函数的增减性和x的取值范围（商品个数为正整数），即可求出最大利润。
②先写出w关于x的一般函数表达式，要让利润和购买方案无关，即w的值不受x变化影响，说明一次函数中x的系数为0，据此列方程求解t即可。
【解析】
（1）设甲种商品的进货价为$m$元/个，乙种商品的进货价为$n$元/个。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}20m+10n=2800\\15m+20n=3600\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$40m+20n=5600$，减去第二个方程得$25m=2000$，解得$m=80$。
把$m=80$代入$20m+10n=2800$，得$1600+10n=2800$，解得$n=120$。
（2）①设购进甲种商品$x$个，则购进乙种商品$(200-x)$个。
先求x的取值范围：由题意得$x≥2(200-x)$，解得$x≥133\frac{1}{3}$，因为x为正整数，所以$x≥134$且x为整数。
当$t=15$时，甲的单个利润为$100×0.9-80=10$元，乙的单个利润为$150-15-120=15$元，
总利润$w=10x+15(200-x)=-5x+3000$。
因为$k=-5＜0$，所以w随x的增大而减小，当x取最小值134时，w取得最大值，最大值为$-5×134+3000=2330$元。
②甲的单个利润为$100×0.9-80=10$元，乙的单个利润为$(150-t-120)=(30-t)$元，
总利润$w=10x+(30-t)(200-x)=(t-20)x+6000-200t$。
因为利润与购买方案无关，即w的值与x无关，所以x的系数为0，即$t-20=0$，解得$t=20$。
【答案】
（1）甲种商品的进货价为80元/个，乙种商品的进货价为120元/个；
（2）①$w=-5x+3000$（$x≥134$且x为整数），商店的最大利润为2330元；
②$t$的值为20。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 一次函数的实际应用
3. 一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活中的销售优惠场景，综合考查了方程、不等式、一次函数的相关知识，解题时需要理清成本、售价、利润之间的数量关系，找准等量关系与不等关系列式，同时要熟练掌握一次函数增减性判断最值的方法，以及函数值与自变量无关的条件，侧重考查对数据的分析处理能力和知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.65