答案：
7. A 解析: 由题意, 得 $C,D$ 两点在 $x$ 轴上, 且 $CD=2$. 如图, 将线段 $BD$ 沿 $x$ 轴向左平移 2 个单位长度得线段 $B'C'(B,B'$ 两点是对应点), 作点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'(1,-3)$, 连接 $A'C,B'C,A'B'$, 则 $AC=A'C,C,C'$ 两点重合. 所以 $B'C=B'C'=BD,B'(2,5)$. 因为 $A(1,3),B(4,5)$, 所以 $AB=\sqrt{(1-4)^2+(3-5)^2}=\sqrt{13}$. 又 $C_{\mathrm{四边形}ABDC}=AB+CD+AC+BD=AC+BD+2+\sqrt{13}$, 所以当 $AC+BD$ 的值最小时, 四边形 $ABDC$ 的周长最小. 又 $AC+BD=A'C+B'C≥ A'B'$, 所以当 $B',C,A'$ 三点共线时, $AC+BD$ 取最小值. 设直线 $A'B'$ 对应的函数表达式为 $y=kx+b$, 将 $A'(1,-3),B'(2,5)$ 分别代入, 得 $\begin{cases}k+b=-3,\\2k+b=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=8,\\b=-11.\end{cases}$ 所以直线 $A'B'$ 对应的函数表达式为 $y=8x-11$. 令 $y=0$, 得 $8x-11=0$, 解得 $x=\frac{11}{8}$. 又点 $C$ 的坐标为 $(m,0)$, 所以 $m$ 的值为 $\frac{11}{8}$.

答案：8. D 解析: 因为四边形 $ABDE$ 和四边形 $BCHI$ 都是正方形, $∠ ACB = 90°$, 所以 $BA = BD, BC = BI$, $∠ ACB = ∠ HIB = 90°$, 即 $∠ DIB = 180° - ∠ HIB = 90°$. 所以 $∠ ACB = ∠ DIB = 90°$. 所以 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DBI(\mathrm{HL})$. 所以 $S_{△ ABC}=S_{△ DBI}$. 设 $AC=b,BC=a,AB=c$. 由勾股定理, 得 $AC^2+BC^2=AB^2$, 所以 $b^2+a^2=c^2$. 所以 $S_{\mathrm{正方形}ACFG}+S_{\mathrm{正方形}BCHI}=S_{\mathrm{正方形}ABDE}$, 即 $S_{\mathrm{正方形}ACFG}+S_{△ ABC}+S_{△ AHJ}+S_{\mathrm{四边形}AJIB}=S_{△ DBI}+S_{△ DEJ}+S_{\mathrm{四边形}AJIB}$. 所以 $S_{\mathrm{正方形}ACFG}+S_{△ AHJ}=S_{△ DEJ}$. 又 $S_{△ AHJ}=2,S_{△ DEJ}=6$, 所以 $S_{\mathrm{正方形}ACFG}=S_{△ DEJ}-S_{△ AHJ}=4$, 即 $b^2=4$, 解得 $b=2$(负值已舍去). 则直角边 $AC$ 的长为 2.

答案：
9. D 解析: 如图, 将线段 $DC$ 绕点 $D$ 按逆时针方向旋转 $60°$ 得到线段 $DR$, 连接 $CR,QR$, 则 $∠ CDR = 60°$, $DR=DC$. 所以 $△ CDR$ 是等边三角形. 所以 $∠ CRD = 60°,CR=DC$. 因为 $D$ 是边 $BC$ 的中点, $BC=4$, 所以 $CR=DC=\frac{1}{2}BC=2$. 因为 $△ PDQ$ 是等边三角形, 所以 $QD = PD, ∠ PDQ = 60°$. 所以 $∠ CDR = ∠ PDQ$. 所以 $∠ CDR - ∠ CDQ = ∠ PDQ - ∠ CDQ$. 所以 $∠ QDR = ∠ PDC$. 所以 $△ QDR ≌ △ PDC(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠ QRD = ∠ PCD = 90°$. 所以点 $Q$ 在过点 $R$ 且与 $DR$ 垂直的射线 $RM$ 上运动, 且 $∠ CRM = ∠ QRD - ∠ CRD = 30°$. 所以当 $CQ ⊥ RM$ 时, $CQ$ 的长最小, 且此时 $CQ = \frac{1}{2}CR = 1$. 则 $CQ$ 的长的最小值为 1.

答案：
10. C 解析: 令 $2x+2=-x+5$, 解得 $x=1$, 所以 $A(1,4)$. 设直线 $y=2x+2$ 与 $x$ 轴交于点 $B$, 过点 $A$ 作 $AC ⊥ x$ 轴于点 $C$, 则 $OC=1,AC=4$. 对于 $y=2x+2$, 令 $y=0$, 得 $2x+2=0$, 解得 $x=-1$. 所以 $B(-1,0)$, 即 $OB=1$. 所以 $BC=OB+OC=2$. 将直线 $y=2x+2$ 绕点 $A$ 旋转 $45°$, 分类讨论如下: ① 当直线 $AB$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $45°$ 时, 如图. 设旋转后的直线与 $x$ 轴的交点为 $P$, 此时 $∠ BAP=45°$. 过点 $B$ 作 $BD ⊥ AB$, 交直线 $AP$ 于点 $D$, 过点 $D$ 作 $DE ⊥ x$ 轴于点 $E$, 则 $∠ ACB = ∠ ABD = ∠ BED = 90°$. 所以 $∠ ABC + ∠ DBE = ∠ DBE + ∠ BDE = 90°$. 所以 $∠ ABC = ∠ BDE$. 因为 $∠ ABD = 90°$, $∠ BAP = 45°$, 所以 $∠ BDA = 180° - ∠ ABD - ∠ BAP = 45°$, 即 $∠ BDA = ∠ BAP = 45°$. 所以 $AB = BD$. 所以 $△ ACB ≌ △ BED(\mathrm{AAS})$. 所以 $DE = BC = 2, BE = AC = 4$. 所以 $OE = BE - OB = 3$. 所以 $D(3,-2)$. 设直线 $AP$ 的函数表达式为 $y=kx+b$. 将 $A(1,4), D(3,-2)$ 分别代入, 得 $\begin{cases}k+b=4,\\3k+b=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-3,\\b=7.\end{cases}$ 所以直线 $AP$ 的函数表达式为 $y=-3x+7$. 令 $y=0$, 得 $-3x+7=0$, 解得 $x=\frac{7}{3}$. 所以 $P(\frac{7}{3},0)$; ② 当直线 $AB$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $45°$ 时, 如图. 设此时直线与 $x$ 轴的交点为 $Q$, 延长 $DB$ 交 $AQ$ 于点 $F$, 则 $∠ BAQ = 45°$. 因为 $∠ ABF = 180° - ∠ ABD = 90°$, 所以 $∠ BFA = 180° - ∠ ABF - ∠ BAQ = 45°$, 即 $∠ BAF = ∠ BFA = 45°$. 所以 $BF = BA = BD$, 即 $B$ 为 $DF$ 的中点. 因为 $B(-1,0), D(3,-2)$, 所以 $F(-5,2)$. 设直线 $AQ$ 的函数表达式为 $y=mx+n$. 将 $A(1,4), F(-5,2)$ 分别代入, 得 $\begin{cases}m+n=4,\\-5m+n=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=\frac{1}{3},\\n=\frac{11}{3}.\end{cases}$ 所以直线 $AQ$ 的函数表达式为 $y=\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}$. 令 $y=0$, 得 $\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}=0$, 解得 $x=-11$. 所以 $Q(-11,0)$. 综上, 将直线 $y=2x+2$ 绕点 $A$ 旋转 $45°$ 后, 所得直线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-11,0)$ 或 $(\frac{7}{3},0)$.

答案：11. 2

答案：12. 答案不唯一,如:5

答案：13. 1.2

答案：14. 15

答案：15. 4