26.（12分）新趋势 推导探究 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，4)，P为x轴正半轴上一点，直线AC⊥直线BP，垂足为C，连接OC。设点P的横坐标为m。
（1）求证：∠PAC=∠PBO；
（2）当m=3时，求点C的坐标；
（3）取点O关于直线BP的对称点D，连接CD，OD。
① 求证：当0＜m＜4时，△OCD为等腰直角三角形；
② 探索AC，BC，OD之间的数量关系，并说明理由。
备用图
（1）求证：∠PAC=∠PBO；
（2）当m=3时，求点C的坐标；
（3）取点O关于直线BP的对称点D，连接CD，OD。
① 求证：当0＜m＜4时，△OCD为等腰直角三角形；
② 探索AC，BC，OD之间的数量关系，并说明理由。
备用图
答案：
26. （1）证明：因为 $AC ⊥ BP$, 所以 $∠ ACP = 90°$. 所以$∠ PAC+∠ APC=90°$. 因为 $∠ BOP=90°$, 所以$∠ PBO+∠ APC=90°$.所以$∠ PAC=∠ PBO$.
（2）因为点 A 的坐标为$(-4,0)$,点 B 的坐标为$(0,4)$,所以 $OA=OB=4$. 如图①,设 AC 与 y 轴交于点 H. 当 $m=3$ 时,点 P 的坐标为$(3,0)$,所以 $OP=3$. 设直线 BP 的函数表达式为 $y=k_1x+b_1$. 把 $B(0,4)$,$P(3,0)$ 分别代入 $y = k_1x + b_1$ 中,得$\begin{cases}b_1=4,\\3k_1+b_1=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=-\frac{4}{3},\\b_1=4.\end{cases}$ 所以直线 BP 的函数表达式为 $y=-\frac{4}{3} x+4$. 由(1),得$∠ PAC=∠ PBO$,所以$∠ HAO=∠ PBO$. 又$∠ AOH=∠ BOP=90°$,所以$△ AOH≌△ BOP$(ASA). 所以 $OH=OP=3$. 所以点 H 的坐标为$(0,3)$. 设直线 AC 的函数表达式为 $y=k_2x+b_2$. 把 $A(-4,0)$,$H(0,3)$分别代入 $y = k_2x + b_2$ 中,得$\begin{cases}-4k_2+b_2=0,\\b_2=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=\frac{3}{4},\\b_2=3.\end{cases}$ 所以直线 AC 的函数表达式为 $y=\frac{3}{4} x+3$. 联立方程组,得$\begin{cases}y=-\frac{4}{3} x+4,\\y=\frac{3}{4} x+3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=\frac{12}{25},\\y=\frac{84}{25}.\end{cases}$ 所以点 C 的坐标为$(\frac{12}{25},\frac{84}{25})$.
（3）① 如图①,当 $0＜m＜4$ 时,过点 O 作 $OE⊥ AC$于点 E,设 OD 与 BP 交于点 F. 因为 O,D 两点关于直线 BP 对称,所以 $OC=DC$,$OD⊥ BP$,$∠ OCP=∠ DCP$. 由(2),得$△ AOH≌△ BOP$. 所以 $AH=BP$,$S_{△ AOH}=S_{△ BOP}$. 所以 $\frac{1}{2} AH· OE=\frac{1}{2} BP· OF$,即 $OE=OF$. 所以 CO 平分$∠ ACP$. 因为 $AC⊥ BP$,所以$∠ ACP=90°$,即$∠ DCP=∠ OCP=\frac{1}{2} ∠ ACP=45°$. 所以$∠ OCD=∠ OCP+∠ DCP=90°$. 所以△OCD 为等腰直角三角形.
② 当 $0＜m＜4$ 时,$AC=BC+OD$;当 $m≥4$ 时,$OD=AC+BC$. 理由如下:如图①,当 $0＜m＜4$ 时,因为 $OE⊥ AC$,所以$∠ OEA=∠ OEC=90°$. 因为 O,D 两点关于直线 BP 对称,所以 $OF=DF$,$OD⊥ BP$. 所以 F 是 OD 的中点,$∠ OFB=90°$. 所以$∠ OEA=∠ OFB$. 由(3)①,得$∠ ACP=∠ OCD=90°$,$OE=OF$,所以 $CF=OF=DF=OE$. 又 $CO=CO$,所以 $Rt△ ECO≌ Rt△ FCO$(HL). 所以 $CE=CF$. 所以 $CE=OF$. 因为$∠ OAE=∠ OBF$,所以$△ AEO≌△ BFO$(AAS). 所以 $AE=BF$. 所以 $AC=AE+CE=BF+OF=BC+CF+OF=BC+DF+OF=BC+OD$;
当 $m≥4$ 时,同理,得 $AE=BF$,$CE=OF$,$CF=DF$,所以 $OD=OF+DF=CE+CF=CE+BF+BC=CE+AE+BC=AC+BC$. 综上,当 $0＜m＜4$ 时,$AC=BC+OD$;当 $m≥4$ 时,$OD=AC+BC$.
26. （1）证明：因为 $AC ⊥ BP$, 所以 $∠ ACP = 90°$. 所以$∠ PAC+∠ APC=90°$. 因为 $∠ BOP=90°$, 所以$∠ PBO+∠ APC=90°$.所以$∠ PAC=∠ PBO$.
（2）因为点 A 的坐标为$(-4,0)$,点 B 的坐标为$(0,4)$,所以 $OA=OB=4$. 如图①,设 AC 与 y 轴交于点 H. 当 $m=3$ 时,点 P 的坐标为$(3,0)$,所以 $OP=3$. 设直线 BP 的函数表达式为 $y=k_1x+b_1$. 把 $B(0,4)$,$P(3,0)$ 分别代入 $y = k_1x + b_1$ 中,得$\begin{cases}b_1=4,\\3k_1+b_1=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=-\frac{4}{3},\\b_1=4.\end{cases}$ 所以直线 BP 的函数表达式为 $y=-\frac{4}{3} x+4$. 由(1),得$∠ PAC=∠ PBO$,所以$∠ HAO=∠ PBO$. 又$∠ AOH=∠ BOP=90°$,所以$△ AOH≌△ BOP$(ASA). 所以 $OH=OP=3$. 所以点 H 的坐标为$(0,3)$. 设直线 AC 的函数表达式为 $y=k_2x+b_2$. 把 $A(-4,0)$,$H(0,3)$分别代入 $y = k_2x + b_2$ 中,得$\begin{cases}-4k_2+b_2=0,\\b_2=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=\frac{3}{4},\\b_2=3.\end{cases}$ 所以直线 AC 的函数表达式为 $y=\frac{3}{4} x+3$. 联立方程组,得$\begin{cases}y=-\frac{4}{3} x+4,\\y=\frac{3}{4} x+3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=\frac{12}{25},\\y=\frac{84}{25}.\end{cases}$ 所以点 C 的坐标为$(\frac{12}{25},\frac{84}{25})$.
（3）① 如图①,当 $0＜m＜4$ 时,过点 O 作 $OE⊥ AC$于点 E,设 OD 与 BP 交于点 F. 因为 O,D 两点关于直线 BP 对称,所以 $OC=DC$,$OD⊥ BP$,$∠ OCP=∠ DCP$. 由(2),得$△ AOH≌△ BOP$. 所以 $AH=BP$,$S_{△ AOH}=S_{△ BOP}$. 所以 $\frac{1}{2} AH· OE=\frac{1}{2} BP· OF$,即 $OE=OF$. 所以 CO 平分$∠ ACP$. 因为 $AC⊥ BP$,所以$∠ ACP=90°$,即$∠ DCP=∠ OCP=\frac{1}{2} ∠ ACP=45°$. 所以$∠ OCD=∠ OCP+∠ DCP=90°$. 所以△OCD 为等腰直角三角形.
② 当 $0＜m＜4$ 时,$AC=BC+OD$;当 $m≥4$ 时,$OD=AC+BC$. 理由如下:如图①,当 $0＜m＜4$ 时,因为 $OE⊥ AC$,所以$∠ OEA=∠ OEC=90°$. 因为 O,D 两点关于直线 BP 对称,所以 $OF=DF$,$OD⊥ BP$. 所以 F 是 OD 的中点,$∠ OFB=90°$. 所以$∠ OEA=∠ OFB$. 由(3)①,得$∠ ACP=∠ OCD=90°$,$OE=OF$,所以 $CF=OF=DF=OE$. 又 $CO=CO$,所以 $Rt△ ECO≌ Rt△ FCO$(HL). 所以 $CE=CF$. 所以 $CE=OF$. 因为$∠ OAE=∠ OBF$,所以$△ AEO≌△ BFO$(AAS). 所以 $AE=BF$. 所以 $AC=AE+CE=BF+OF=BC+CF+OF=BC+DF+OF=BC+OD$;
当 $m≥4$ 时,同理,得 $AE=BF$,$CE=OF$,$CF=DF$,所以 $OD=OF+DF=CE+CF=CE+BF+BC=CE+AE+BC=AC+BC$. 综上,当 $0＜m＜4$ 时,$AC=BC+OD$;当 $m≥4$ 时,$OD=AC+BC$.
解析：
【分析】
（1）要证明∠PAC=∠PBO，可利用“同角的余角相等”推导：两个角都与∠APC互余，结合垂直的性质找到直角三角形中角的等量关系即可。
（2）点C是直线AC和直线BP的交点，因此只需先求出两条直线的函数表达式，联立解方程组即可得到C点坐标：首先根据B、P坐标求BP解析式，再利用(1)的角相等证明△AOH≌△BOP得到AC与y轴交点H的坐标，进而求出AC的解析式，联立求解即可。
（3）①要证明△OCD是等腰直角三角形，首先根据轴对称的性质得到OC=DC，再证明∠OCD=90°：利用角平分线的判定证明CO平分∠ACP，结合∠ACP=90°得到两个45°角，相加即可得到直角，满足等腰直角三角形的判定。
②探索线段数量关系需分情况讨论：当0＜m＜4时和m≥4时，分别通过全等三角形将AC、BC、OD拆分为对应相等的线段，重组即可得到三者的数量关系。
【解析】
（1）证明：
∵$AC ⊥ BP$, 所以 $∠ ACP = 90°$. 所以$∠ PAC+∠ APC=90°$. 因为 $∠ BOP=90°$, 所以$∠ PBO+∠ APC=90°$.所以$∠ PAC=∠ PBO$.
（2）因为点 A 的坐标为$(-4,0)$,点 B 的坐标为$(0,4)$,所以 $OA=OB=4$. 如图①,设 AC 与 y 轴交于点 H. 当 $m=3$ 时,点 P 的坐标为$(3,0)$,所以 $OP=3$. 设直线 BP 的函数表达式为 $y=k_1x+b_1$. 把 $B(0,4)$,$P(3,0)$ 分别代入 $y = k_1x + b_1$ 中,得$\begin{cases}b_1=4,\\3k_1+b_1=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=-\frac{4}{3},\\b_1=4.\end{cases}$ 所以直线 BP 的函数表达式为 $y=-\frac{4}{3} x+4$. 由(1),得$∠ PAC=∠ PBO$,所以$∠ HAO=∠ PBO$. 又$∠ AOH=∠ BOP=90°$,所以$△ AOH≌△ BOP$(ASA). 所以 $OH=OP=3$. 所以点 H 的坐标为$(0,3)$. 设直线 AC 的函数表达式为 $y=k_2x+b_2$. 把 $A(-4,0)$,$H(0,3)$分别代入 $y = k_2x + b_2$ 中,得$\begin{cases}-4k_2+b_2=0,\\b_2=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=\frac{3}{4},\\b_2=3.\end{cases}$ 所以直线 AC 的函数表达式为 $y=\frac{3}{4} x+3$. 联立方程组,得$\begin{cases}y=-\frac{4}{3} x+4,\\y=\frac{3}{4} x+3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=\frac{12}{25},\\y=\frac{84}{25}.\end{cases}$ 所以点 C 的坐标为$(\frac{12}{25},\frac{84}{25})$.
（3）① 如图①,当 $0＜m＜4$ 时,过点 O 作 $OE⊥ AC$于点 E,设 OD 与 BP 交于点 F. 因为 O,D 两点关于直线 BP 对称,所以 $OC=DC$,$OD⊥ BP$,$∠ OCP=∠ DCP$. 由(2),得$△ AOH≌△ BOP$. 所以 $AH=BP$,$S_{△ AOH}=S_{△ BOP}$. 所以 $\frac{1}{2} AH· OE=\frac{1}{2} BP· OF$,即 $OE=OF$. 所以 CO 平分$∠ ACP$. 因为 $AC⊥ BP$,所以$∠ ACP=90°$,即$∠ DCP=∠ OCP=\frac{1}{2} ∠ ACP=45°$. 所以$∠ OCD=∠ OCP+∠ DCP=90°$. 所以△OCD 为等腰直角三角形.
② 当 $0＜m＜4$ 时,$AC=BC+OD$;当 $m≥4$ 时,$OD=AC+BC$. 理由如下:如图①,当 $0＜m＜4$ 时,因为 $OE⊥ AC$,所以$∠ OEA=∠ OEC=90°$. 因为 O,D 两点关于直线 BP 对称,所以 $OF=DF$,$OD⊥ BP$. 所以 F 是 OD 的中点,$∠ OFB=90°$. 所以$∠ OEA=∠ OFB$. 由(3)①,得$∠ ACP=∠ OCD=90°$,$OE=OF$,所以 $CF=OF=DF=OE$. 又 $CO=CO$,所以 $Rt△ ECO≌ Rt△ FCO$(HL). 所以 $CE=CF$. 所以 $CE=OF$. 因为$∠ OAE=∠ OBF$,所以$△ AEO≌△ BFO$(AAS). 所以 $AE=BF$. 所以 $AC=AE+CE=BF+OF=BC+CF+OF=BC+DF+OF=BC+OD$;
当 $m≥4$ 时,同理,得 $AE=BF$,$CE=OF$,$CF=DF$,所以 $OD=OF+DF=CE+CF=CE+BF+BC=CE+AE+BC=AC+BC$. 综上,当 $0＜m＜4$ 时,$AC=BC+OD$;当 $m≥4$ 时,$OD=AC+BC$.
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠PAC=∠PBO}$，证明见解析；
（2）点C的坐标为$\boldsymbol{(\frac{12}{25},\frac{84}{25})}$；
（3）①$\boldsymbol{△OCD}$为等腰直角三角形，证明见解析；②当$\boldsymbol{0＜m＜4}$时，$\boldsymbol{AC=BC+OD}$；当$\boldsymbol{m≥4}$时，$\boldsymbol{OD=AC+BC}$，理由见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，一次函数综合应用，轴对称的性质
【点评】
本题是代数几何综合压轴题，融合了一次函数解析式求解、全等三角形证明、轴对称性质、等腰直角三角形判定等多个考点，考查了分类讨论思想、转化思想以及逻辑推理、运算求解能力，解题关键是利用角的等量关系推导全等条件，结合函数与坐标的关系求解交点。
【难度系数】
0.3
（1）要证明∠PAC=∠PBO，可利用“同角的余角相等”推导：两个角都与∠APC互余，结合垂直的性质找到直角三角形中角的等量关系即可。
（2）点C是直线AC和直线BP的交点，因此只需先求出两条直线的函数表达式，联立解方程组即可得到C点坐标：首先根据B、P坐标求BP解析式，再利用(1)的角相等证明△AOH≌△BOP得到AC与y轴交点H的坐标，进而求出AC的解析式，联立求解即可。
（3）①要证明△OCD是等腰直角三角形，首先根据轴对称的性质得到OC=DC，再证明∠OCD=90°：利用角平分线的判定证明CO平分∠ACP，结合∠ACP=90°得到两个45°角，相加即可得到直角，满足等腰直角三角形的判定。
②探索线段数量关系需分情况讨论：当0＜m＜4时和m≥4时，分别通过全等三角形将AC、BC、OD拆分为对应相等的线段，重组即可得到三者的数量关系。
【解析】
（1）证明：
∵$AC ⊥ BP$, 所以 $∠ ACP = 90°$. 所以$∠ PAC+∠ APC=90°$. 因为 $∠ BOP=90°$, 所以$∠ PBO+∠ APC=90°$.所以$∠ PAC=∠ PBO$.
（2）因为点 A 的坐标为$(-4,0)$,点 B 的坐标为$(0,4)$,所以 $OA=OB=4$. 如图①,设 AC 与 y 轴交于点 H. 当 $m=3$ 时,点 P 的坐标为$(3,0)$,所以 $OP=3$. 设直线 BP 的函数表达式为 $y=k_1x+b_1$. 把 $B(0,4)$,$P(3,0)$ 分别代入 $y = k_1x + b_1$ 中,得$\begin{cases}b_1=4,\\3k_1+b_1=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=-\frac{4}{3},\\b_1=4.\end{cases}$ 所以直线 BP 的函数表达式为 $y=-\frac{4}{3} x+4$. 由(1),得$∠ PAC=∠ PBO$,所以$∠ HAO=∠ PBO$. 又$∠ AOH=∠ BOP=90°$,所以$△ AOH≌△ BOP$(ASA). 所以 $OH=OP=3$. 所以点 H 的坐标为$(0,3)$. 设直线 AC 的函数表达式为 $y=k_2x+b_2$. 把 $A(-4,0)$,$H(0,3)$分别代入 $y = k_2x + b_2$ 中,得$\begin{cases}-4k_2+b_2=0,\\b_2=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=\frac{3}{4},\\b_2=3.\end{cases}$ 所以直线 AC 的函数表达式为 $y=\frac{3}{4} x+3$. 联立方程组,得$\begin{cases}y=-\frac{4}{3} x+4,\\y=\frac{3}{4} x+3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=\frac{12}{25},\\y=\frac{84}{25}.\end{cases}$ 所以点 C 的坐标为$(\frac{12}{25},\frac{84}{25})$.
（3）① 如图①,当 $0＜m＜4$ 时,过点 O 作 $OE⊥ AC$于点 E,设 OD 与 BP 交于点 F. 因为 O,D 两点关于直线 BP 对称,所以 $OC=DC$,$OD⊥ BP$,$∠ OCP=∠ DCP$. 由(2),得$△ AOH≌△ BOP$. 所以 $AH=BP$,$S_{△ AOH}=S_{△ BOP}$. 所以 $\frac{1}{2} AH· OE=\frac{1}{2} BP· OF$,即 $OE=OF$. 所以 CO 平分$∠ ACP$. 因为 $AC⊥ BP$,所以$∠ ACP=90°$,即$∠ DCP=∠ OCP=\frac{1}{2} ∠ ACP=45°$. 所以$∠ OCD=∠ OCP+∠ DCP=90°$. 所以△OCD 为等腰直角三角形.
② 当 $0＜m＜4$ 时,$AC=BC+OD$;当 $m≥4$ 时,$OD=AC+BC$. 理由如下:如图①,当 $0＜m＜4$ 时,因为 $OE⊥ AC$,所以$∠ OEA=∠ OEC=90°$. 因为 O,D 两点关于直线 BP 对称,所以 $OF=DF$,$OD⊥ BP$. 所以 F 是 OD 的中点,$∠ OFB=90°$. 所以$∠ OEA=∠ OFB$. 由(3)①,得$∠ ACP=∠ OCD=90°$,$OE=OF$,所以 $CF=OF=DF=OE$. 又 $CO=CO$,所以 $Rt△ ECO≌ Rt△ FCO$(HL). 所以 $CE=CF$. 所以 $CE=OF$. 因为$∠ OAE=∠ OBF$,所以$△ AEO≌△ BFO$(AAS). 所以 $AE=BF$. 所以 $AC=AE+CE=BF+OF=BC+CF+OF=BC+DF+OF=BC+OD$;
当 $m≥4$ 时,同理,得 $AE=BF$,$CE=OF$,$CF=DF$,所以 $OD=OF+DF=CE+CF=CE+BF+BC=CE+AE+BC=AC+BC$. 综上,当 $0＜m＜4$ 时,$AC=BC+OD$;当 $m≥4$ 时,$OD=AC+BC$.
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠PAC=∠PBO}$，证明见解析；
（2）点C的坐标为$\boldsymbol{(\frac{12}{25},\frac{84}{25})}$；
（3）①$\boldsymbol{△OCD}$为等腰直角三角形，证明见解析；②当$\boldsymbol{0＜m＜4}$时，$\boldsymbol{AC=BC+OD}$；当$\boldsymbol{m≥4}$时，$\boldsymbol{OD=AC+BC}$，理由见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，一次函数综合应用，轴对称的性质
【点评】
本题是代数几何综合压轴题，融合了一次函数解析式求解、全等三角形证明、轴对称性质、等腰直角三角形判定等多个考点，考查了分类讨论思想、转化思想以及逻辑推理、运算求解能力，解题关键是利用角的等量关系推导全等条件，结合函数与坐标的关系求解交点。
【难度系数】
0.3