24. (10分)(2026·江苏扬州期末)如图①,一条直的公路上依次有A,B,C三个汽车站,AB=250 km,BC=60 km,一辆汽车上午8:00从距离A站10 km的P地出发,匀速向C站行驶,途中休息一段时间后,按原速继续前进,当到达B站时接到通知,要求中午12:00前到达C站.设汽车出发x h后离A站y km,图②中折线D-E-F-G表示接到通知前y与x之间的函数关系.
(1) 根据图象可知,接到通知前汽车行驶的速度为
(2) 求线段FG所在直线对应的函数表达式(不写自变量的取值范围);
(3) 接到通知后,若汽车仍按照原来的速度行驶,则能否按时到达? 如果不能按时到达,那么速度至少提高到多少可按时到达? 请说明理由.
(1) 根据图象可知,接到通知前汽车行驶的速度为
80
km/h;(2) 求线段FG所在直线对应的函数表达式(不写自变量的取值范围);
(3) 接到通知后,若汽车仍按照原来的速度行驶,则能否按时到达? 如果不能按时到达,那么速度至少提高到多少可按时到达? 请说明理由.
答案：24. （1）80 解析:由题图,得接到通知前汽车行驶的速度为$(90-10)÷1=80$(km/h).
（2）由(1),得接到通知前汽车行驶的速度为 80 km/h.由题意,得汽车出发 $1.5+(250-90)÷80=3.5$(h)后离 A 站 250 km,所以点 G 的坐标为$(3.5,250)$. 设线段 FG 所在直线对应的函数表达式为 $y=kx+b$,将$F(1.5,90)$,$G(3.5,250)$分别代入,得$\begin{cases}1.5k+b=90,\\3.5k+b=250,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=80,\\b=-30.\end{cases}$ 所以线段 FG 所在直线对应的函数表达式为 $y=80x-30$.
（3）若汽车按原速行驶,则不能按时到达,速度至少提高到 120 km/h. 理由如下:由(1),得接到通知前汽车行驶的速度为 80 km/h. 接到通知后,若汽车仍按照原来的速度行驶,则行完全程所需时间为 $3.5+60÷80=4.25$(h). 因为 $12-8=4$,且 $4.25＞4$,所以若汽车仍按照原来的速度行驶,则不能按时到达. 若要使其能按时到达,则速度至少提高到 $60÷(4-3.5)=120$(km/h).
（2）由(1),得接到通知前汽车行驶的速度为 80 km/h.由题意,得汽车出发 $1.5+(250-90)÷80=3.5$(h)后离 A 站 250 km,所以点 G 的坐标为$(3.5,250)$. 设线段 FG 所在直线对应的函数表达式为 $y=kx+b$,将$F(1.5,90)$,$G(3.5,250)$分别代入,得$\begin{cases}1.5k+b=90,\\3.5k+b=250,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=80,\\b=-30.\end{cases}$ 所以线段 FG 所在直线对应的函数表达式为 $y=80x-30$.
（3）若汽车按原速行驶,则不能按时到达,速度至少提高到 120 km/h. 理由如下:由(1),得接到通知前汽车行驶的速度为 80 km/h. 接到通知后,若汽车仍按照原来的速度行驶,则行完全程所需时间为 $3.5+60÷80=4.25$(h). 因为 $12-8=4$,且 $4.25＞4$,所以若汽车仍按照原来的速度行驶,则不能按时到达. 若要使其能按时到达,则速度至少提高到 $60÷(4-3.5)=120$(km/h).
解析：
【分析】
(1) 求汽车行驶速度时，先从图象提取信息：汽车出发0h时离A站10km，出发1h时离A站90km，1小时行驶的路程为$90-10=80\mathrm{km}$，根据$速度=路程÷时间$即可算出速度。
(2) 求线段FG的函数表达式，首先明确F点坐标为$(1.5,90)$；G点对应汽车到达B站，此时离A站250km，先算出从F点到G点需要行驶的路程为$250-90=160\mathrm{km}$，结合已求的速度算出这段路程的行驶时间，加上1.5h得到G点的横坐标，再用待定系数法将F、G两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，求解参数即可得到解析式。
(3) 判断能否按时到达，先计算按原速从B站到C站需要的时间，加上到达B站已经用的总时间，和8:00到12:00的总时长4h比较；若不能按时到达，先算出到达B站后剩余的可用时间，再根据$速度=路程÷时间$计算最低需要的速度即可。
【解析】
(1) 由图象可知，汽车1小时行驶的路程为$90-10=80(\mathrm{km})$，故行驶速度为$80÷1=80(\mathrm{km/h})$。
(2) 由(1)得汽车行驶速度为80km/h，汽车到达B站时离A站250km，从F点对应的位置到B站的路程为$250-90=160(\mathrm{km})$，行驶这段路程所需时间为$160÷80=2(\mathrm{h})$，因此到达B站的总时间为$1.5+2=3.5(\mathrm{h})$，即G点坐标为$(3.5,250)$。
设线段FG的函数表达式为$y=kx+b$，将$F(1.5,90)$、$G(3.5,250)$代入得：
$\begin{cases}1.5k + b = 90 \\3.5k + b = 250\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$2k=160$，解得$k=80$，将$k=80$代入$1.5k + b = 90$，得$120 + b = 90$，解得$b=-30$，故线段FG的函数表达式为$y=80x-30$。
(3) 不能按时到达，速度至少提高到120km/h，理由如下：
按原速行驶，从B站到C站的路程为60km，所需时间为$60÷80=0.75(\mathrm{h})$，则走完全程总时间为$3.5+0.75=4.25(\mathrm{h})$。
上午8:00到中午12:00的总时长为$12-8=4(\mathrm{h})$，因为$4.25＞4$，所以按原速不能按时到达。
若要按时到达，到达B站后剩余的可用时间为$4-3.5=0.5(\mathrm{h})$，则最低速度为$60÷0.5=120(\mathrm{km/h})$。
【答案】
(1) $\boxed{80}$
(2) $\boxed{y=80x-30}$
(3) 不能按时到达，速度至少提高到$\boxed{120\mathrm{km/h}}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题计算
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，需要学生准确理解函数图象的含义，从中提取有效信息，结合行程的基本公式计算求解，同时考查了实际问题的方案判断能力，注重对读图能力和运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求汽车行驶速度时，先从图象提取信息：汽车出发0h时离A站10km，出发1h时离A站90km，1小时行驶的路程为$90-10=80\mathrm{km}$，根据$速度=路程÷时间$即可算出速度。
(2) 求线段FG的函数表达式，首先明确F点坐标为$(1.5,90)$；G点对应汽车到达B站，此时离A站250km，先算出从F点到G点需要行驶的路程为$250-90=160\mathrm{km}$，结合已求的速度算出这段路程的行驶时间，加上1.5h得到G点的横坐标，再用待定系数法将F、G两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，求解参数即可得到解析式。
(3) 判断能否按时到达，先计算按原速从B站到C站需要的时间，加上到达B站已经用的总时间，和8:00到12:00的总时长4h比较；若不能按时到达，先算出到达B站后剩余的可用时间，再根据$速度=路程÷时间$计算最低需要的速度即可。
【解析】
(1) 由图象可知，汽车1小时行驶的路程为$90-10=80(\mathrm{km})$，故行驶速度为$80÷1=80(\mathrm{km/h})$。
(2) 由(1)得汽车行驶速度为80km/h，汽车到达B站时离A站250km，从F点对应的位置到B站的路程为$250-90=160(\mathrm{km})$，行驶这段路程所需时间为$160÷80=2(\mathrm{h})$，因此到达B站的总时间为$1.5+2=3.5(\mathrm{h})$，即G点坐标为$(3.5,250)$。
设线段FG的函数表达式为$y=kx+b$，将$F(1.5,90)$、$G(3.5,250)$代入得：
$\begin{cases}1.5k + b = 90 \\3.5k + b = 250\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$2k=160$，解得$k=80$，将$k=80$代入$1.5k + b = 90$，得$120 + b = 90$，解得$b=-30$，故线段FG的函数表达式为$y=80x-30$。
(3) 不能按时到达，速度至少提高到120km/h，理由如下：
按原速行驶，从B站到C站的路程为60km，所需时间为$60÷80=0.75(\mathrm{h})$，则走完全程总时间为$3.5+0.75=4.25(\mathrm{h})$。
上午8:00到中午12:00的总时长为$12-8=4(\mathrm{h})$，因为$4.25＞4$，所以按原速不能按时到达。
若要按时到达，到达B站后剩余的可用时间为$4-3.5=0.5(\mathrm{h})$，则最低速度为$60÷0.5=120(\mathrm{km/h})$。
【答案】
(1) $\boxed{80}$
(2) $\boxed{y=80x-30}$
(3) 不能按时到达，速度至少提高到$\boxed{120\mathrm{km/h}}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题计算
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，需要学生准确理解函数图象的含义，从中提取有效信息，结合行程的基本公式计算求解，同时考查了实际问题的方案判断能力，注重对读图能力和运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
25. (10分)新素养 创新意识 定义:在平面直角坐标系中,对于点$M(x,y)$.若点$N$的坐标为$(x+2a,-y-2a)$,则我们称点$N$是点$M$的等距平移点,其中$a$为等距平移常量.例如:当$a=0$时,点$M(3,2)$的等距平移点$N$为$(3,-2)$.
(1) ① 当等距平移常量$a=-3$时,点$M$的坐标为$(4,3)$,则它的等距平移点$N$的坐标为
② 若点$M$的坐标为$(-2,1)$,它的等距平移点$N$的坐标为$(4,-7)$,则等距平移常量$a=$
(2) 若点$M$在$x$轴上,且它的等距平移点$N$的坐标为$(-2a+1,-9+4a)$,其中$a$为等距平移常量,$O$为坐标原点,求$△ OMN$的面积;
(3) 已知点$M(x,y_1)$的等距平移点是点$N(x+2a,y_2)$,其中$a$为等距平移常量.若$y_1-y_2=2$,且其中一个点到$x$轴的距离等于另一个点到$x$轴距离的2倍,求$a$的值.
(1) ① 当等距平移常量$a=-3$时,点$M$的坐标为$(4,3)$,则它的等距平移点$N$的坐标为
$(-2,3)$
,② 若点$M$的坐标为$(-2,1)$,它的等距平移点$N$的坐标为$(4,-7)$,则等距平移常量$a=$
3
;(2) 若点$M$在$x$轴上,且它的等距平移点$N$的坐标为$(-2a+1,-9+4a)$,其中$a$为等距平移常量,$O$为坐标原点,求$△ OMN$的面积;
(3) 已知点$M(x,y_1)$的等距平移点是点$N(x+2a,y_2)$,其中$a$为等距平移常量.若$y_1-y_2=2$,且其中一个点到$x$轴的距离等于另一个点到$x$轴距离的2倍,求$a$的值.
答案：25. （1）① $(-2,3)$ 解析:由题意,得点 N 的坐标为$(4+2×(-3),-3-2×(-3))$,即$(-2,3)$.
② 3 解析:由题意,得$-2+2a=4$,$-1-2a=-7$,解得 $a=3$.
（2）设点 M 的坐标为$(x_0,0)$. 因为点 M 的等距平移点 N 的坐标为$(-2a+1,-9+4a)$,$a$ 为等距平移常量,所以 $x_0+2a=-2a+1$,$-2a=-9+4a$,解得$a=\frac{3}{2}$,$x_0=-5$. 所以点 M 的坐标为$(-5,0)$,点 N的坐标为$(-2,-3)$,即 $OM=5$. 所以 $S_{△ OMN}=\frac{1}{2} OM· |y_N|=\frac{15}{2}$.
（3）因为点 $M(x,y_1)$ 的等距平移点是点 $N(x+2a,y_2)$,所以 $-y_1-2a=y_2$. 又 $y_1-y_2=2$,所以 $y_1=1-a$,$y_2=-1-a$. 又其中一个点到 x 轴的距离是另一个点到 x 轴距离的 2 倍,所以 $|1-a|=2|-1-a|$或 $2|1-a|=|-1-a|$. 分类讨论如下:① 当 $1-a=2(-1-a)$时,解得 $a=-3$;② 当 $1-a=2(1+a)$时,解得 $a=-\frac{1}{3}$;③ 当 $2(1-a)=-1-a$ 时,解得 $a=3$;④ 当 $2(1-a)=1+a$ 时,解得 $a=\frac{1}{3}$. 综上,$a$ 的值为$-\frac{1}{3}$或$-3$或$\frac{1}{3}$或$3$.
② 3 解析:由题意,得$-2+2a=4$,$-1-2a=-7$,解得 $a=3$.
（2）设点 M 的坐标为$(x_0,0)$. 因为点 M 的等距平移点 N 的坐标为$(-2a+1,-9+4a)$,$a$ 为等距平移常量,所以 $x_0+2a=-2a+1$,$-2a=-9+4a$,解得$a=\frac{3}{2}$,$x_0=-5$. 所以点 M 的坐标为$(-5,0)$,点 N的坐标为$(-2,-3)$,即 $OM=5$. 所以 $S_{△ OMN}=\frac{1}{2} OM· |y_N|=\frac{15}{2}$.
（3）因为点 $M(x,y_1)$ 的等距平移点是点 $N(x+2a,y_2)$,所以 $-y_1-2a=y_2$. 又 $y_1-y_2=2$,所以 $y_1=1-a$,$y_2=-1-a$. 又其中一个点到 x 轴的距离是另一个点到 x 轴距离的 2 倍,所以 $|1-a|=2|-1-a|$或 $2|1-a|=|-1-a|$. 分类讨论如下:① 当 $1-a=2(-1-a)$时,解得 $a=-3$;② 当 $1-a=2(1+a)$时,解得 $a=-\frac{1}{3}$;③ 当 $2(1-a)=-1-a$ 时,解得 $a=3$;④ 当 $2(1-a)=1+a$ 时,解得 $a=\frac{1}{3}$. 综上,$a$ 的值为$-\frac{1}{3}$或$-3$或$\frac{1}{3}$或$3$.
解析：
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“等距平移点”的定义：若点$M(x,y)$，则其等距平移点$N$的坐标为$(x+2a, -y-2a)$。解题思路如下：
(1)①直接将已知的$a$值和$M$点坐标代入定义公式，分别计算$N$点的横、纵坐标即可；②根据$M$和$N$的坐标，利用横、纵坐标的对应关系列一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
(2)点$M$在$x$轴上，可知其纵坐标为0，结合$N$点坐标，根据等距平移点的定义列方程，先求出$a$的值和$M$点的横坐标，再确定$OM$的长度为底，$N$点纵坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式计算即可。
(3)首先根据定义得到$y_2$与$y_1$的关系式，结合$y_1-y_2=2$，用含$a$的代数式分别表示$y_1$和$y_2$；点到$x$轴的距离是该点纵坐标的绝对值，根据“一个点到$x$轴的距离是另一个的2倍”分两种情况列绝对值方程，再分类讨论去绝对值求解，注意不要漏解。
【解析】
(1)①根据等距平移点的定义，当$a=-3$，$M(4,3)$时：
$N$点横坐标：$4 + 2×(-3) = -2$
$N$点纵坐标：$-3 - 2×(-3) = 3$
故$N$点坐标为$(-2, 3)$。
②已知$M(-2,1)$，$N(4,-7)$，根据定义横坐标关系：$-2 + 2a = 4$，解得$a=3$，验证纵坐标$-1-2×3=-7$，符合题意。
(2)设点$M$的坐标为$(x_0, 0)$（$M$在$x$轴上，纵坐标为0），
根据定义，$N$的坐标为$(x_0+2a, -2a)$，又已知$N(-2a+1, -9+4a)$，列方程组：
$\begin{cases}x_0 + 2a = -2a + 1 \\ -2a = -9 + 4a \end{cases}$
解第二个方程得$a=\frac{3}{2}$，代入第一个方程得$x_0=-5$，
因此$M(-5,0)$，$OM=5$，$N$点坐标为$(-2,-3)$，
$△ OMN$的高为$|y_N|=3$，则$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}×5×3=\frac{15}{2}$。
(3)根据定义可得$y_2 = -y_1 -2a$，代入$y_1-y_2=2$得：
$y_1 - (-y_1 -2a)=2$，解得$y_1=1-a$，则$y_2=-1-a$。
点到$x$轴的距离为纵坐标的绝对值，分两种情况列方程：
情况1：$|1-a|=2|-1-a|$，情况2：$|-1-a|=2|1-a|$，
分类去绝对值求解：
①$1-a=2(-1-a)$，解得$a=-3$；
②$1-a=2(1+a)$，解得$a=-\frac{1}{3}$；
③$1+a=2(1-a)$，解得$a=\frac{1}{3}$；
④$-1-a=2(1-a)$，解得$a=3$。
综上，$a$的值为$\pm3$或$\pm\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{(-2,3)}$；②$\boldsymbol{3}$
(2)$\boldsymbol{\frac{15}{2}}$
(3)$\boldsymbol{a}$的值为$\boldsymbol{3、-3、\frac{1}{3}、-\frac{1}{3}}$
【知识点】
新定义问题，坐标与图形性质，绝对值方程求解
【点评】
本题属于新定义综合题，重点考查对新概念的理解迁移能力，结合了平面直角坐标系的坐标运算、三角形面积计算和分类讨论思想，解题时需严格按照定义列式，分类讨论绝对值方程时要注意不要漏解。
【难度系数】
0.5
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“等距平移点”的定义：若点$M(x,y)$，则其等距平移点$N$的坐标为$(x+2a, -y-2a)$。解题思路如下：
(1)①直接将已知的$a$值和$M$点坐标代入定义公式，分别计算$N$点的横、纵坐标即可；②根据$M$和$N$的坐标，利用横、纵坐标的对应关系列一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
(2)点$M$在$x$轴上，可知其纵坐标为0，结合$N$点坐标，根据等距平移点的定义列方程，先求出$a$的值和$M$点的横坐标，再确定$OM$的长度为底，$N$点纵坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式计算即可。
(3)首先根据定义得到$y_2$与$y_1$的关系式，结合$y_1-y_2=2$，用含$a$的代数式分别表示$y_1$和$y_2$；点到$x$轴的距离是该点纵坐标的绝对值，根据“一个点到$x$轴的距离是另一个的2倍”分两种情况列绝对值方程，再分类讨论去绝对值求解，注意不要漏解。
【解析】
(1)①根据等距平移点的定义，当$a=-3$，$M(4,3)$时：
$N$点横坐标：$4 + 2×(-3) = -2$
$N$点纵坐标：$-3 - 2×(-3) = 3$
故$N$点坐标为$(-2, 3)$。
②已知$M(-2,1)$，$N(4,-7)$，根据定义横坐标关系：$-2 + 2a = 4$，解得$a=3$，验证纵坐标$-1-2×3=-7$，符合题意。
(2)设点$M$的坐标为$(x_0, 0)$（$M$在$x$轴上，纵坐标为0），
根据定义，$N$的坐标为$(x_0+2a, -2a)$，又已知$N(-2a+1, -9+4a)$，列方程组：
$\begin{cases}x_0 + 2a = -2a + 1 \\ -2a = -9 + 4a \end{cases}$
解第二个方程得$a=\frac{3}{2}$，代入第一个方程得$x_0=-5$，
因此$M(-5,0)$，$OM=5$，$N$点坐标为$(-2,-3)$，
$△ OMN$的高为$|y_N|=3$，则$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}×5×3=\frac{15}{2}$。
(3)根据定义可得$y_2 = -y_1 -2a$，代入$y_1-y_2=2$得：
$y_1 - (-y_1 -2a)=2$，解得$y_1=1-a$，则$y_2=-1-a$。
点到$x$轴的距离为纵坐标的绝对值，分两种情况列方程：
情况1：$|1-a|=2|-1-a|$，情况2：$|-1-a|=2|1-a|$，
分类去绝对值求解：
①$1-a=2(-1-a)$，解得$a=-3$；
②$1-a=2(1+a)$，解得$a=-\frac{1}{3}$；
③$1+a=2(1-a)$，解得$a=\frac{1}{3}$；
④$-1-a=2(1-a)$，解得$a=3$。
综上，$a$的值为$\pm3$或$\pm\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{(-2,3)}$；②$\boldsymbol{3}$
(2)$\boldsymbol{\frac{15}{2}}$
(3)$\boldsymbol{a}$的值为$\boldsymbol{3、-3、\frac{1}{3}、-\frac{1}{3}}$
【知识点】
新定义问题，坐标与图形性质，绝对值方程求解
【点评】
本题属于新定义综合题，重点考查对新概念的理解迁移能力，结合了平面直角坐标系的坐标运算、三角形面积计算和分类讨论思想，解题时需严格按照定义列式，分类讨论绝对值方程时要注意不要漏解。
【难度系数】
0.5