21.（6分）如图，$AC⊥ BC$，$AD⊥ BD$，E为AB的中点，连接CE，DE，CD，CD交AB于点F.
（1）求证：$△ ECD$是等腰三角形；
（2）若$AD=BD$，$EF=3$，$DE=4$，求$CD$的长.
（1）求证：$△ ECD$是等腰三角形；
（2）若$AD=BD$，$EF=3$，$DE=4$，求$CD$的长.
答案：21. （1）证明：因为 $AC ⊥ BC$, $AD ⊥ BD$, 所以 $∠ ACB =∠ ADB=90°$. 又 E 为 AB 的中点, 所以 $CE=\frac{1}{2} AB$,$DE=\frac{1}{2} AB$. 所以 $CE=DE$,即△ECD 是等腰三角形.
（2）因为 $AD=BD$,$E$ 为 AB 的中点,所以 $DE⊥ AB$. 在 $Rt△ DEF$ 中,$DE=4$,$EF=3$,由勾股定理,得 $DF=\sqrt{DE^2+EF^2}=5$. 过点 E 作 $EH⊥ CD$ 于点 H. 由(1),得 $CE=DE$,所以 $CD=2DH$. 因为 $S_{△ DEF}=\frac{1}{2} EF· DE=\frac{1}{2} DF· EH$,所以 $EH=\frac{EF· DE}{DF}=\frac{12}{5}$. 在 $Rt△ DEH$ 中,由勾股定理,得 $DH=\sqrt{DE^2-EH^2}=\frac{16}{5}$. 所以 $CD=\frac{32}{5}$.
（2）因为 $AD=BD$,$E$ 为 AB 的中点,所以 $DE⊥ AB$. 在 $Rt△ DEF$ 中,$DE=4$,$EF=3$,由勾股定理,得 $DF=\sqrt{DE^2+EF^2}=5$. 过点 E 作 $EH⊥ CD$ 于点 H. 由(1),得 $CE=DE$,所以 $CD=2DH$. 因为 $S_{△ DEF}=\frac{1}{2} EF· DE=\frac{1}{2} DF· EH$,所以 $EH=\frac{EF· DE}{DF}=\frac{12}{5}$. 在 $Rt△ DEH$ 中,由勾股定理,得 $DH=\sqrt{DE^2-EH^2}=\frac{16}{5}$. 所以 $CD=\frac{32}{5}$.
解析：
【分析】
（1）要证明△ECD是等腰三角形，只需证两条边相等即可。已知存在两个以AB为斜边的直角三角形，且E是AB中点，可联想直角三角形斜边中线的性质，分别推导CE、DE与AB的数量关系，即可得到CE=DE完成证明。
（2）已知AD=BD且E是AB中点，根据等腰三角形三线合一可得DE⊥AB，先在Rt△DEF中用勾股定理算出DF的长度。结合（1）的结论△ECD是等腰三角形，过E作CD的高EH，利用等腰三角形三线合一可得CD=2DH；再通过面积法求出EH的长度，最后在Rt△DEH中用勾股定理算出DH，即可得到CD的长。
【解析】
（1）证明：
∵ $AC ⊥ BC$，$AD ⊥ BD$，
∴ $∠ACB =∠ADB=90°$，△ACB和△ADB均为直角三角形。
又
∵ E为AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $CE=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}AB$，
∴ $CE=DE$，即△ECD是等腰三角形。
（2）解：
∵ $AD=BD$，E为AB的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得 $DE⊥AB$。
在$Rt△DEF$中，$DE=4$，$EF=3$，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
过点E作$EH⊥CD$于点H，
由（1）得$CE=DE$，△ECD是等腰三角形，根据三线合一得$CD=2DH$。
∵ $S_{△DEF}=\frac{1}{2}EF·DE=\frac{1}{2}DF·EH$，
代入数值计算得：$EH=\frac{EF·DE}{DF}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
在$Rt△DEH$中，由勾股定理得：
$DH=\sqrt{DE^2-EH^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$。
∴ $CD=2DH=2×\frac{16}{5}=\frac{32}{5}$。
【答案】
（1）证明见解析，△ECD是等腰三角形成立；（2）$\frac{32}{5}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，综合考查了直角三角形、等腰三角形的核心性质，解题时要紧扣“中点”“垂直”等特征条件关联对应几何定理，第二问的面积法是求三角形高的常用技巧，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.6
（1）要证明△ECD是等腰三角形，只需证两条边相等即可。已知存在两个以AB为斜边的直角三角形，且E是AB中点，可联想直角三角形斜边中线的性质，分别推导CE、DE与AB的数量关系，即可得到CE=DE完成证明。
（2）已知AD=BD且E是AB中点，根据等腰三角形三线合一可得DE⊥AB，先在Rt△DEF中用勾股定理算出DF的长度。结合（1）的结论△ECD是等腰三角形，过E作CD的高EH，利用等腰三角形三线合一可得CD=2DH；再通过面积法求出EH的长度，最后在Rt△DEH中用勾股定理算出DH，即可得到CD的长。
【解析】
（1）证明：
∵ $AC ⊥ BC$，$AD ⊥ BD$，
∴ $∠ACB =∠ADB=90°$，△ACB和△ADB均为直角三角形。
又
∵ E为AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $CE=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}AB$，
∴ $CE=DE$，即△ECD是等腰三角形。
（2）解：
∵ $AD=BD$，E为AB的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得 $DE⊥AB$。
在$Rt△DEF$中，$DE=4$，$EF=3$，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
过点E作$EH⊥CD$于点H，
由（1）得$CE=DE$，△ECD是等腰三角形，根据三线合一得$CD=2DH$。
∵ $S_{△DEF}=\frac{1}{2}EF·DE=\frac{1}{2}DF·EH$，
代入数值计算得：$EH=\frac{EF·DE}{DF}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
在$Rt△DEH$中，由勾股定理得：
$DH=\sqrt{DE^2-EH^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$。
∴ $CD=2DH=2×\frac{16}{5}=\frac{32}{5}$。
【答案】
（1）证明见解析，△ECD是等腰三角形成立；（2）$\frac{32}{5}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，综合考查了直角三角形、等腰三角形的核心性质，解题时要紧扣“中点”“垂直”等特征条件关联对应几何定理，第二问的面积法是求三角形高的常用技巧，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.6
22. (8分)新素养 推理能力 已知有一正方形纸片.
(1) 如图①,若正方形纸片ABCD的面积为1 dm²,则它的对角线AC的长为
(2) 若一个圆与一个正方形的面积都为2π cm²,且圆的半径为r cm,正方形的边长为d cm,则r
(3) 如图②,若正方形纸片ABCD的面积为15 cm²,李明同学想沿这张正方形纸片边的方向裁出一张面积为8 cm²的小长方形纸片,使它的长和宽之比为2:1,他能裁出吗?请说明理由.
(1) 如图①,若正方形纸片ABCD的面积为1 dm²,则它的对角线AC的长为
$\sqrt{2}$
dm;(2) 若一个圆与一个正方形的面积都为2π cm²,且圆的半径为r cm,正方形的边长为d cm,则r
＜
d(填“＞”“＜”或“=”);(3) 如图②,若正方形纸片ABCD的面积为15 cm²,李明同学想沿这张正方形纸片边的方向裁出一张面积为8 cm²的小长方形纸片,使它的长和宽之比为2:1,他能裁出吗?请说明理由.
答案：22. (1)$\sqrt{2}$ 解析:因为四边形 ABCD 是面积为 1 dm² 的正方形,所以 $AB=BC=1$ dm,$∠ B=90°$. 所以由勾股定理,得 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}$ dm.
(2)$＜$ 解析:由题意,得 $π r^2=2π$,$d^2=2π$,所以 $r=\sqrt{2}$,$d=\sqrt{2π}$. 所以 $r＜d$.
(3) 不能. 理由如下:设所裁出的小长方形纸片的宽为$x$ cm,且它的长和宽之比为 2:1,则它的长为 $2x$ cm.由题意,得 $2x· x=8$,所以 $2x^2=8$,即 $x^2=4$. 因为$(±2)^2=4$,所以 $x=2$(负值已舍去). 所以小长方形纸片的长为 $2×2=4$(cm). 因为正方形纸片ABCD 的面积为 15 cm²,所以这张正方形纸片的边长为$\sqrt{15}$ cm. 又$\sqrt{15}＜4$,所以不能裁出.
(2)$＜$ 解析:由题意,得 $π r^2=2π$,$d^2=2π$,所以 $r=\sqrt{2}$,$d=\sqrt{2π}$. 所以 $r＜d$.
(3) 不能. 理由如下:设所裁出的小长方形纸片的宽为$x$ cm,且它的长和宽之比为 2:1,则它的长为 $2x$ cm.由题意,得 $2x· x=8$,所以 $2x^2=8$,即 $x^2=4$. 因为$(±2)^2=4$,所以 $x=2$(负值已舍去). 所以小长方形纸片的长为 $2×2=4$(cm). 因为正方形纸片ABCD 的面积为 15 cm²,所以这张正方形纸片的边长为$\sqrt{15}$ cm. 又$\sqrt{15}＜4$,所以不能裁出.
解析：
【分析】
(1) 先根据正方形的面积求出边长，正方形的内角为直角，对角线与相邻两边构成直角三角形，再利用勾股定理即可求出对角线AC的长度；
(2) 分别根据圆、正方形的面积公式列等式，求出r和d的表达式，再比较两个实数的大小即可；
(3) 要判断能否裁出符合要求的长方形，先根据长宽比设未知数，结合长方形面积求出长和宽，再将长方形的长与正方形的边长比较，若长小于等于正方形边长则可以裁出，反之则不能。
【解析】
(1)
∵正方形ABCD的面积为1 dm²，
∴边长AB=BC=1 dm，且∠B=90°。在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ dm。
(2) 由题意得：圆的面积$πr^2=2π$，解得$r^2=2$，
∵r＞0，
∴$r=\sqrt{2}$；正方形的面积$d^2=2π$，
∵d＞0，
∴$d=\sqrt{2π}$。
∵$2＜2π$，
∴$\sqrt{2}＜\sqrt{2π}$，即$r＜d$。
(3) 不能裁出，理由如下：
设小长方形的宽为$x$ cm，
∵长和宽之比为2:1，
∴长为$2x$ cm。
根据长方形面积公式得：$2x·x=8$，即$2x^2=8$，化简得$x^2=4$，解得$x=2$（边长为正，舍去负根），
∴小长方形的长为$2×2=4$ cm。
∵正方形的面积为15 cm²，
∴正方形的边长为$\sqrt{15}$ cm。
∵$\sqrt{15}＜\sqrt{16}=4$，即正方形边长小于小长方形的长，
∴不能裁出符合要求的小长方形。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $＜$；(3) 不能
【知识点】
勾股定理，算术平方根的应用，实数大小比较
【点评】
本题结合正方形、圆的性质考查实数的相关运算，将几何面积计算与实数比较相结合，第三问为实际应用类问题，需要结合图形的边长限制判断可行性，能有效考查知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据正方形的面积求出边长，正方形的内角为直角，对角线与相邻两边构成直角三角形，再利用勾股定理即可求出对角线AC的长度；
(2) 分别根据圆、正方形的面积公式列等式，求出r和d的表达式，再比较两个实数的大小即可；
(3) 要判断能否裁出符合要求的长方形，先根据长宽比设未知数，结合长方形面积求出长和宽，再将长方形的长与正方形的边长比较，若长小于等于正方形边长则可以裁出，反之则不能。
【解析】
(1)
∵正方形ABCD的面积为1 dm²，
∴边长AB=BC=1 dm，且∠B=90°。在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ dm。
(2) 由题意得：圆的面积$πr^2=2π$，解得$r^2=2$，
∵r＞0，
∴$r=\sqrt{2}$；正方形的面积$d^2=2π$，
∵d＞0，
∴$d=\sqrt{2π}$。
∵$2＜2π$，
∴$\sqrt{2}＜\sqrt{2π}$，即$r＜d$。
(3) 不能裁出，理由如下：
设小长方形的宽为$x$ cm，
∵长和宽之比为2:1，
∴长为$2x$ cm。
根据长方形面积公式得：$2x·x=8$，即$2x^2=8$，化简得$x^2=4$，解得$x=2$（边长为正，舍去负根），
∴小长方形的长为$2×2=4$ cm。
∵正方形的面积为15 cm²，
∴正方形的边长为$\sqrt{15}$ cm。
∵$\sqrt{15}＜\sqrt{16}=4$，即正方形边长小于小长方形的长，
∴不能裁出符合要求的小长方形。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $＜$；(3) 不能
【知识点】
勾股定理，算术平方根的应用，实数大小比较
【点评】
本题结合正方形、圆的性质考查实数的相关运算，将几何面积计算与实数比较相结合，第三问为实际应用类问题，需要结合图形的边长限制判断可行性，能有效考查知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
23. (8分)(2026·江苏常州期末)如图①呈现的是开平方运算关系.
(1) m 的值为
(2) 解关于n 的方程:$a^2n+3b^2n=64$;
(3) 通过探究发现,$x(x≥0)$与其算术平方根$\sqrt{x}$具有函数关系,记$y=\sqrt{x}$.利用几何软件画出$y=\sqrt{x}$以及$y=x$的图象,如图②,请结合图象解答下列问题:
① 当$0＜x_1＜x_2$时,$\sqrt{x_1}\_\_\_\_\_\_\sqrt{x_2}$(填“＞”“＜”或“=”);
② 当x满足
(1) m 的值为
4
,a+b 的平方根为0
;(2) 解关于n 的方程:$a^2n+3b^2n=64$;
(3) 通过探究发现,$x(x≥0)$与其算术平方根$\sqrt{x}$具有函数关系,记$y=\sqrt{x}$.利用几何软件画出$y=\sqrt{x}$以及$y=x$的图象,如图②,请结合图象解答下列问题:
① 当$0＜x_1＜x_2$时,$\sqrt{x_1}\_\_\_\_\_\_\sqrt{x_2}$(填“＞”“＜”或“=”);
② 当x满足
$0＜x＜1$
时,$x-\sqrt{x}＜0$.答案：23. （1）4 0
（2）因为 $a,b$ 是 $n$ 的两个平方根,所以 $a^2=b^2=n≥0$. 因为 $a^2n+3b^2n=64$,所以 $n^2+3n^2=64$. 所以 $n^2=16$,解得 $n=4$(负值已舍去).
（3）① $＜$ 解析:由题图②,得 $y=\sqrt{x}$ 的函数值 $y$ 随 $x$的增大而增大,所以当 $0＜x_1＜x_2$ 时,$\sqrt{x_1}＜\sqrt{x_2}$.
② $0＜x＜1$ 解析:由题图②,得当 $x$ 满足 $0＜x＜1$ 时,$x＜\sqrt{x}$,即 $x-\sqrt{x}＜0$.
（2）因为 $a,b$ 是 $n$ 的两个平方根,所以 $a^2=b^2=n≥0$. 因为 $a^2n+3b^2n=64$,所以 $n^2+3n^2=64$. 所以 $n^2=16$,解得 $n=4$(负值已舍去).
（3）① $＜$ 解析:由题图②,得 $y=\sqrt{x}$ 的函数值 $y$ 随 $x$的增大而增大,所以当 $0＜x_1＜x_2$ 时,$\sqrt{x_1}＜\sqrt{x_2}$.
② $0＜x＜1$ 解析:由题图②,得当 $x$ 满足 $0＜x＜1$ 时,$x＜\sqrt{x}$,即 $x-\sqrt{x}＜0$.
解析：
【分析】
(1)根据开平方的定义，若一个数开平方得到2，那么该数就是2的平方，据此可求m的值；一个正数的两个平方根互为相反数，可得a与b的和为0，再求0的平方根即可。
(2)根据平方根的性质，一个数的平方根的平方等于这个数本身，因此a²=b²=n，将其代入方程转化为关于n的一元二次方程求解，注意平方根的被开方数非负，需舍去负值。
(3)①观察y=√x的图象可知函数值随x增大而增大，据此即可比较两个算术平方根的大小；②x-√x＜0等价于x＜√x，即y=x的图象在y=√x图象下方的区域，对应找出x的取值范围即可。
【解析】
(1) 因为m开平方的结果为2，所以$m=2^2=4$；
a和b是n的两个平方根，由平方根的性质可知一个正数的两个平方根互为相反数，因此$a+b=0$，0的平方根是0，故a+b的平方根为0。
(2) 因为a,b是n的两个平方根，所以$a^2=b^2=n≥0$，
将$a^2=n$、$b^2=n$代入方程$a^2n+3b^2n=64$，得：
$n· n + 3n· n=64$
即$4n^2=64$，
化简得$n^2=16$，
因为n为非负数，所以$n=4$（负值舍去）。
(3) ①观察图②中$y=\sqrt{x}$的图象，可得y随x的增大而增大，因此当$0＜x_1＜x_2$时，$\sqrt{x_1}＜\sqrt{x_2}$；
②$x-\sqrt{x}＜0$即$x＜\sqrt{x}$，对应图象中$y=x$位于$y=\sqrt{x}$下方的部分，结合图象可得此时x的取值范围为$0＜x＜1$。
【答案】
(1) 4；0
(2) $n=4$
(3) ① ＜；② $0＜x＜1$
【知识点】
平方根的性质，解方程，函数图象应用
【点评】
本题结合开平方运算和函数图象考查相关基础知识点，既检验了对平方根概念、性质的掌握程度，也考查了数形结合思想的应用，难度适中，对基础知识的巩固有较好的作用。
【难度系数】
0.75
(1)根据开平方的定义，若一个数开平方得到2，那么该数就是2的平方，据此可求m的值；一个正数的两个平方根互为相反数，可得a与b的和为0，再求0的平方根即可。
(2)根据平方根的性质，一个数的平方根的平方等于这个数本身，因此a²=b²=n，将其代入方程转化为关于n的一元二次方程求解，注意平方根的被开方数非负，需舍去负值。
(3)①观察y=√x的图象可知函数值随x增大而增大，据此即可比较两个算术平方根的大小；②x-√x＜0等价于x＜√x，即y=x的图象在y=√x图象下方的区域，对应找出x的取值范围即可。
【解析】
(1) 因为m开平方的结果为2，所以$m=2^2=4$；
a和b是n的两个平方根，由平方根的性质可知一个正数的两个平方根互为相反数，因此$a+b=0$，0的平方根是0，故a+b的平方根为0。
(2) 因为a,b是n的两个平方根，所以$a^2=b^2=n≥0$，
将$a^2=n$、$b^2=n$代入方程$a^2n+3b^2n=64$，得：
$n· n + 3n· n=64$
即$4n^2=64$，
化简得$n^2=16$，
因为n为非负数，所以$n=4$（负值舍去）。
(3) ①观察图②中$y=\sqrt{x}$的图象，可得y随x的增大而增大，因此当$0＜x_1＜x_2$时，$\sqrt{x_1}＜\sqrt{x_2}$；
②$x-\sqrt{x}＜0$即$x＜\sqrt{x}$，对应图象中$y=x$位于$y=\sqrt{x}$下方的部分，结合图象可得此时x的取值范围为$0＜x＜1$。
【答案】
(1) 4；0
(2) $n=4$
(3) ① ＜；② $0＜x＜1$
【知识点】
平方根的性质，解方程，函数图象应用
【点评】
本题结合开平方运算和函数图象考查相关基础知识点，既检验了对平方根概念、性质的掌握程度，也考查了数形结合思想的应用，难度适中，对基础知识的巩固有较好的作用。
【难度系数】
0.75