15. 亮点原创·如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠BCD=135°,连接AC,BD, M是AC的中点,连接BM,DM.若△BDM的面积为$\frac{25}{2}$,则AC=
10
.答案：15. 10 解析:因为 $∠ ABC=∠ ADC=90°$,$∠ BCD=135°$,$M$ 是 AC 的中点,所以 $BM=AM=DM=\frac{1}{2} AC$,$∠ BAD = 360° - ∠ ABC - ∠ ADC -∠ BCD=45°$. 所以 $∠ BAM=∠ ABM$,$∠ DAM=∠ ADM$. 又$∠ BMC=∠ BAM+∠ ABM$,$∠ DMC=∠ DAM+∠ ADM$, 所以 $∠ BMC = 2∠ BAM$,$∠ DMC = 2∠ DAM$, 即 $∠ BMD = ∠ BMC +∠ DMC=2(∠ BAM+∠ DAM)=2∠ BAD=90°$.所以 $S_{△ BDM}=\frac{1}{2} BM · DM=\frac{1}{8} AC^2$. 又△BDM 的面积为$\frac{25}{2}$,所以$\frac{1}{8} AC^2=\frac{25}{2}$,即 $AC=10$.
解析：
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：①看到直角三角形斜边的中点，优先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得出BM、DM都等于AC的一半，即BM=DM；②利用四边形内角和为360°，结合已知的三个内角的度数，计算出∠BAD的度数；③根据等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，推导出∠BMD为90°，即△BDM是等腰直角三角形；④最后利用等腰直角三角形的面积公式建立和AC的等量关系，解方程即可求出AC的长度。
【解析】
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$BM=AM=DM=\frac{1}{2}AC$。
∵四边形内角和为360°，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=135°，
∴$∠BAD = 360° - 90° - 90° -135°=45°$。
∵BM=AM，DM=AM，
∴∠BAM=∠ABM，∠DAM=∠ADM。
根据三角形外角的性质，∠BMC是△ABM的外角，∠DMC是△ADM的外角，
∴$∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM$，$∠DMC=∠DAM+∠ADM=2∠DAM$，
∴$∠BMD = ∠BMC +∠DMC=2(∠BAM+∠DAM)=2∠BAD=2×45°=90°$，即△BDM是等腰直角三角形。
∴$S_{△BDM}=\frac{1}{2}·BM·DM=\frac{1}{2}·\frac{1}{2}AC·\frac{1}{2}AC=\frac{1}{8}AC^2$。
已知$S_{△BDM}=\frac{25}{2}$，代入得$\frac{1}{8}AC^2=\frac{25}{2}$，
解得$AC^2=100$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴AC=10。
【答案】
10
【知识点】
直角三角形斜边中线定理；四边形内角和；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是几何综合类常考题，将直角三角形性质、四边形内角和、三角形面积计算结合考查，解题的核心是推导得出△BDM为等腰直角三角形，从而建立待求线段AC和已知面积的等量关系，要求学生熟练掌握基础几何性质并能灵活运用推导角的关系。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路逐步推导：①看到直角三角形斜边的中点，优先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得出BM、DM都等于AC的一半，即BM=DM；②利用四边形内角和为360°，结合已知的三个内角的度数，计算出∠BAD的度数；③根据等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，推导出∠BMD为90°，即△BDM是等腰直角三角形；④最后利用等腰直角三角形的面积公式建立和AC的等量关系，解方程即可求出AC的长度。
【解析】
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$BM=AM=DM=\frac{1}{2}AC$。
∵四边形内角和为360°，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=135°，
∴$∠BAD = 360° - 90° - 90° -135°=45°$。
∵BM=AM，DM=AM，
∴∠BAM=∠ABM，∠DAM=∠ADM。
根据三角形外角的性质，∠BMC是△ABM的外角，∠DMC是△ADM的外角，
∴$∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM$，$∠DMC=∠DAM+∠ADM=2∠DAM$，
∴$∠BMD = ∠BMC +∠DMC=2(∠BAM+∠DAM)=2∠BAD=2×45°=90°$，即△BDM是等腰直角三角形。
∴$S_{△BDM}=\frac{1}{2}·BM·DM=\frac{1}{2}·\frac{1}{2}AC·\frac{1}{2}AC=\frac{1}{8}AC^2$。
已知$S_{△BDM}=\frac{25}{2}$，代入得$\frac{1}{8}AC^2=\frac{25}{2}$，
解得$AC^2=100$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴AC=10。
【答案】
10
【知识点】
直角三角形斜边中线定理；四边形内角和；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是几何综合类常考题，将直角三角形性质、四边形内角和、三角形面积计算结合考查，解题的核心是推导得出△BDM为等腰直角三角形，从而建立待求线段AC和已知面积的等量关系，要求学生熟练掌握基础几何性质并能灵活运用推导角的关系。
【难度系数】
0.6
16. 新趋势 学科融合 如图，在平面直角坐标系中，一束光线从原点O射出，照在经过A(1,0)，B(0,1)两点的镜面上的点D处，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为
$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$
。答案：16. $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ 解析:分别作点 O 关于直线 AB 的对称点$O'$及点 A 关于 y 轴的对称点 $A'$,连接 $OO'$,$A'O'$. 设$A'O'$交 y 轴于点 C,易得 $A'$,$C$,$D$,$O'$ 四点共线.因为 $A(1,0)$,$B(0,1)$,所以易得 $A'(-1,0)$,$O'(1,1)$,直线 AB 的函数表达式为 $y=-x+1$.所以易得直线 $A'O'$ 的函数表达式为 $y=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}$. 联立方程组 $\begin{cases}y=-x+1,\\y=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\frac{1}{3},\\y=\frac{2}{3}.\end{cases}$ 则点 D 的坐标为$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$.
解析：
【分析】
本题是光线反射与一次函数结合的问题，解题核心是利用反射的对称性将折线光路转化为直线：1. 光线经AB反射时，点O关于AB的对称点O'在AB的反射光线所在直线上；2. 光线经y轴反射时，点A关于y轴的对称点A'在y轴的入射光线所在直线上，因此两次反射的光路所在直线恰好经过A'和O'，求出该直线与AB的交点即为D点。
【解析】
第一步：求直线AB的解析式
已知A(1,0)，B(0,1)，设直线AB的解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}0=k+b\\1=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=1\end{cases}$，即直线AB的解析式为$y=-x+1$。
第二步：求两个对称点的坐标
① 作点A关于y轴的对称点$A'$，根据y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，得$A'(-1,0)$；
② 作点O关于直线AB的对称点$O'$，直线AB垂直平分线段$OO'$，可得$O'$的坐标为$(1,1)$。
第三步：求直线$A'O'$的解析式
设直线$A'O'$的解析式为$y=mx+n$，代入$A'(-1,0)$、$O'(1,1)$得：
$\begin{cases}0=-m+n\\1=m+n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\n=\frac{1}{2}\end{cases}$，即直线$A'O'$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
第四步：求两直线交点D的坐标
联立直线AB和直线$A'O'$的解析式：
$\begin{cases}y=-x+1\\y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{cases}$。
【答案】
$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$
【知识点】
1. 一次函数解析式求解
2. 轴对称的性质
3. 两直线交点计算
【点评】
本题属于跨学科融合题型，结合了物理光线反射规律与数学函数、轴对称知识，解题的关键是灵活运用对称性将折线光路转化为直线路径，降低解题难度，能有效考查学生知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.4
本题是光线反射与一次函数结合的问题，解题核心是利用反射的对称性将折线光路转化为直线：1. 光线经AB反射时，点O关于AB的对称点O'在AB的反射光线所在直线上；2. 光线经y轴反射时，点A关于y轴的对称点A'在y轴的入射光线所在直线上，因此两次反射的光路所在直线恰好经过A'和O'，求出该直线与AB的交点即为D点。
【解析】
第一步：求直线AB的解析式
已知A(1,0)，B(0,1)，设直线AB的解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}0=k+b\\1=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=1\end{cases}$，即直线AB的解析式为$y=-x+1$。
第二步：求两个对称点的坐标
① 作点A关于y轴的对称点$A'$，根据y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，得$A'(-1,0)$；
② 作点O关于直线AB的对称点$O'$，直线AB垂直平分线段$OO'$，可得$O'$的坐标为$(1,1)$。
第三步：求直线$A'O'$的解析式
设直线$A'O'$的解析式为$y=mx+n$，代入$A'(-1,0)$、$O'(1,1)$得：
$\begin{cases}0=-m+n\\1=m+n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\n=\frac{1}{2}\end{cases}$，即直线$A'O'$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
第四步：求两直线交点D的坐标
联立直线AB和直线$A'O'$的解析式：
$\begin{cases}y=-x+1\\y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{cases}$。
【答案】
$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$
【知识点】
1. 一次函数解析式求解
2. 轴对称的性质
3. 两直线交点计算
【点评】
本题属于跨学科融合题型，结合了物理光线反射规律与数学函数、轴对称知识，解题的关键是灵活运用对称性将折线光路转化为直线路径，降低解题难度，能有效考查学生知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.4
17. 如图，C为线段AB上一动点（不与A，B两点重合），在AB同侧分别作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH.有下列结论：① $AE=DB$；② $GH// AB$；③ $AD=DH$；④ $GE=HB$；⑤ $∠ AFD=60°$.其中正确的是
①②④⑤
.（填序号）答案：17. ①②④⑤ 解析:因为△ACD 和△BCE 都是等边三角形,所以 $∠ ADC=∠ ACD=∠ CAD=∠ BCE=60°$,$AC=DC$,$CB=CE$. 又 $∠ ACD+∠ DCH+∠ BCE=180°$,所以 $∠ DCH=180°-∠ ACD-∠ BCE=60°$. 又 $∠ ACE=∠ ACD+∠ DCE$,$∠ DCB = ∠ DCE + ∠ BCE$, 所以 $∠ ACE =∠ DCB$. 所以 $△ ACE ≌ △ DCB$ (SAS). 所以$∠ CAE = ∠ CDB$, $AE = DB$. 故 ① 正确; 所以$△ ACG≌△ DCH$(ASA). 所以 $CG=CH$,$AG=DH$. 所以△GCH 是等边三角形. 所以 $∠ CGH=60°$,即$∠ CGH=∠ ACD$. 所以 $GH// AB$. 故②正确;又$∠ AGD=∠ ACD+∠ CAG＞60°$,所以$∠ AGD＞∠ ADC$,即 $AD＞AG$. 所以 $AD＞DH$. 故③错误;又$GE=AE-AG$,$HB=DB-DH$,所以 $GE=HB$. 故④正确;因为$∠ AFD=∠ CAE+∠ CBD$,$∠ ACD=∠ CDB+∠ CBD$, 所以 $∠ AFD = ∠ ACD$, 即$∠ AFD=60°$.故⑤正确.综上,正确的是①②④⑤.
解析：
【分析】
本题是等边三角形与全等三角形结合的综合题，解题时可按以下思路推导：首先利用等边三角形的边、角性质，通过证明三角形全等判断线段相等；再结合全等得到的边角关系，推导等边三角形和平行关系；最后利用三角形外角性质判断角度结论。具体步骤：①要证AE=DB，只需证明△ACE≌△DCB即可；②要证GH//AB，可先证△CGH是等边三角形，得到内错角相等推导平行；③判断AD=DH，可通过边的大小比较推导；④判断GE=HB，可通过等线段相减推导；⑤判断∠AFD=60°，可通过外角性质将角转化为等边三角形的内角。
【解析】
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴∠ADC=∠ACD=∠CAD=∠BCE=60°，AC=DC，CB=CE，
∵∠ACD+∠DCH+∠BCE=180°，
∴∠DCH=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=60°+∠DCE，∠DCB=∠BCE+∠DCE=60°+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
$\{\begin{array}{l} AC=DC\\ ∠ ACE=∠ DCB\\ CE=CB\end{array} $
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DB，∠CAE=∠CDB，故①正确；
在△ACG和△DCH中，
$\{\begin{array}{l} ∠ CAG=∠ CDH\\ AC=DC\\ ∠ ACG=∠ DCH=60°\end{array} $
∴△ACG≌△DCH（ASA），
∴CG=CH，AG=DH，
∴△GCH是等边三角形，
∴∠CGH=60°=∠ACD，
∴GH//AB，故②正确；
∵∠AGD是△ACG的外角，
∴∠AGD=∠ACD+∠CAG＞60°，
又
∵∠ADC=60°，
∴∠AGD＞∠ADC，
∴AD＞AG，结合AG=DH得AD＞DH，故③错误；
∵GE=AE-AG，HB=DB-DH，且AE=DB，AG=DH，
∴GE=HB，故④正确；
∵∠AFD是△AFB的外角，
∴∠AFD=∠CAE+∠CBD，
又
∵∠CAE=∠CDB，
∴∠AFD=∠CDB+∠CBD=∠ACD=60°，故⑤正确。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
等边三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是几何部分的经典综合题型，考查了多个核心知识点的综合运用，需要学生具备清晰的逻辑推理能力，解题时要从已知的等边三角形条件出发，逐步推导边、角的等量关系，逐一验证各个结论。
【难度系数】
0.6
本题是等边三角形与全等三角形结合的综合题，解题时可按以下思路推导：首先利用等边三角形的边、角性质，通过证明三角形全等判断线段相等；再结合全等得到的边角关系，推导等边三角形和平行关系；最后利用三角形外角性质判断角度结论。具体步骤：①要证AE=DB，只需证明△ACE≌△DCB即可；②要证GH//AB，可先证△CGH是等边三角形，得到内错角相等推导平行；③判断AD=DH，可通过边的大小比较推导；④判断GE=HB，可通过等线段相减推导；⑤判断∠AFD=60°，可通过外角性质将角转化为等边三角形的内角。
【解析】
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴∠ADC=∠ACD=∠CAD=∠BCE=60°，AC=DC，CB=CE，
∵∠ACD+∠DCH+∠BCE=180°，
∴∠DCH=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=60°+∠DCE，∠DCB=∠BCE+∠DCE=60°+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
$\{\begin{array}{l} AC=DC\\ ∠ ACE=∠ DCB\\ CE=CB\end{array} $
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DB，∠CAE=∠CDB，故①正确；
在△ACG和△DCH中，
$\{\begin{array}{l} ∠ CAG=∠ CDH\\ AC=DC\\ ∠ ACG=∠ DCH=60°\end{array} $
∴△ACG≌△DCH（ASA），
∴CG=CH，AG=DH，
∴△GCH是等边三角形，
∴∠CGH=60°=∠ACD，
∴GH//AB，故②正确；
∵∠AGD是△ACG的外角，
∴∠AGD=∠ACD+∠CAG＞60°，
又
∵∠ADC=60°，
∴∠AGD＞∠ADC，
∴AD＞AG，结合AG=DH得AD＞DH，故③错误；
∵GE=AE-AG，HB=DB-DH，且AE=DB，AG=DH，
∴GE=HB，故④正确；
∵∠AFD是△AFB的外角，
∴∠AFD=∠CAE+∠CBD，
又
∵∠CAE=∠CDB，
∴∠AFD=∠CDB+∠CBD=∠ACD=60°，故⑤正确。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
等边三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是几何部分的经典综合题型，考查了多个核心知识点的综合运用，需要学生具备清晰的逻辑推理能力，解题时要从已知的等边三角形条件出发，逐步推导边、角的等量关系，逐一验证各个结论。
【难度系数】
0.6
18. 如图，线段$AB=2$，$O$是$AB$的中点，直线$l$经过点$O$，$∠ 1=60°$，$P$是直线$l$上一点，则当$△ APB$为直角三角形时，$BP$的长为________。
答案：18. 1或$\sqrt{3}$或$\sqrt{7}$ 解析:因为 $AB=2$,$O$ 是 AB 的中点, 所以 $OA=OB=\frac{1}{2} AB=1$. 当△APB 为直角三角形时,分类讨论如下:① 若$∠ APB=90°$,则 $OP=OA=OB=1$. 当点 P 在线段 AB 上方时,因为$∠ 1=60°$,所以△OBP 是等边三角形. 所以 $BP=OB=1$;当点 P 在线段 AB 下方时,因为$∠ AOP=∠ 1=60°$,所以△OAP 是等边三角形. 所以 $AP=OP=1$. 所以在 $Rt△ ABP$ 中,由勾股定理,得 $BP=\sqrt{AB^2-AP^2}=\sqrt{3}$;② 若$∠ PAB=90°$,则点 P 在线段 AB 的下方,且$∠ AOP=∠ 1=60°$. 又$∠ AOP+∠ APO=90°$,所以$∠ APO=30°$. 所以 $OP=2OA=2$. 在 $Rt△ OAP$ 中, 由勾股定理, 得 $AP=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{3}$. 在 $Rt△ ABP$ 中,由勾股定理,得$BP=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{7}$;③ 若$∠ PBA=90°$,则点 P在线段 AB 的上方,且$∠ BPO=90°-∠ 1=30°$. 所以 $OP=2OB=2$. 在 $Rt△ OBP$ 中,由勾股定理,得$BP=\sqrt{OP^2-OB^2}=\sqrt{3}$. 综上,$BP$ 的长为 1 或$\sqrt{3}$或$\sqrt{7}$.
解析：
【分析】
本题是直角三角形存在性问题，因未明确直角顶点，需分三种情况讨论：①∠APB为直角；②∠PAB为直角；③∠PBA为直角。首先由O是AB中点得OA=OB=1，再结合∠1=60°，分别利用直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理计算每种情况下BP的长度，注意考虑点P在AB上下两侧的不同位置，避免漏解。
【解析】
已知$AB=2$，$O$是$AB$的中点，因此$OA=OB=\frac{1}{2}AB=1$，分三种情况讨论：
1. 当$∠ APB=90°$时：
直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因此$OP=OA=OB=1$。
若点$P$在$AB$上方：$∠1=60°$，$OB=OP=1$，故$△ OBP$是等边三角形，因此$BP=OB=1$。
若点$P$在$AB$下方：$∠ AOP=∠1=60°$，$OA=OP=1$，故$△ OAP$是等边三角形，因此$AP=OA=1$。在$Rt△ ABP$中，由勾股定理得$BP=\sqrt{AB^2-AP^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
2. 当$∠ PAB=90°$时：
点$P$在$AB$下方，$∠ AOP=∠1=60°$，在$Rt△ OAP$中，$∠ APO=90°-60°=30°$，因此$OP=2OA=2$。由勾股定理得$AP=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。在$Rt△ ABP$中，由勾股定理得$BP=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{7}$。
3. 当$∠ PBA=90°$时：
点$P$在$AB$上方，$∠1=60°$，在$Rt△ OBP$中，$∠ BPO=90°-60°=30°$，因此$OP=2OB=2$。由勾股定理得$BP=\sqrt{OP^2-OB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
综上，$BP$的长为$1$或$\sqrt{3}$或$\sqrt{7}$。
【答案】
$1$或$\sqrt{3}$或$\sqrt{7}$
【知识点】
直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题考查动态几何中直角三角形的存在性问题，解题核心是对直角顶点进行分类讨论，结合已知角度和线段长度的条件，运用相关几何性质求解，易错点是忽略点P的位置差异导致漏解。
【难度系数】
0.5
本题是直角三角形存在性问题，因未明确直角顶点，需分三种情况讨论：①∠APB为直角；②∠PAB为直角；③∠PBA为直角。首先由O是AB中点得OA=OB=1，再结合∠1=60°，分别利用直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理计算每种情况下BP的长度，注意考虑点P在AB上下两侧的不同位置，避免漏解。
【解析】
已知$AB=2$，$O$是$AB$的中点，因此$OA=OB=\frac{1}{2}AB=1$，分三种情况讨论：
1. 当$∠ APB=90°$时：
直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因此$OP=OA=OB=1$。
若点$P$在$AB$上方：$∠1=60°$，$OB=OP=1$，故$△ OBP$是等边三角形，因此$BP=OB=1$。
若点$P$在$AB$下方：$∠ AOP=∠1=60°$，$OA=OP=1$，故$△ OAP$是等边三角形，因此$AP=OA=1$。在$Rt△ ABP$中，由勾股定理得$BP=\sqrt{AB^2-AP^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
2. 当$∠ PAB=90°$时：
点$P$在$AB$下方，$∠ AOP=∠1=60°$，在$Rt△ OAP$中，$∠ APO=90°-60°=30°$，因此$OP=2OA=2$。由勾股定理得$AP=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。在$Rt△ ABP$中，由勾股定理得$BP=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{7}$。
3. 当$∠ PBA=90°$时：
点$P$在$AB$上方，$∠1=60°$，在$Rt△ OBP$中，$∠ BPO=90°-60°=30°$，因此$OP=2OB=2$。由勾股定理得$BP=\sqrt{OP^2-OB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
综上，$BP$的长为$1$或$\sqrt{3}$或$\sqrt{7}$。
【答案】
$1$或$\sqrt{3}$或$\sqrt{7}$
【知识点】
直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题考查动态几何中直角三角形的存在性问题，解题核心是对直角顶点进行分类讨论，结合已知角度和线段长度的条件，运用相关几何性质求解，易错点是忽略点P的位置差异导致漏解。
【难度系数】
0.5
三、耐心解一解(共66分)
19.（6分）
（1）计算：$\sqrt{(-2)^2} + |1 - \sqrt{3}| - \sqrt[3]{8}$；
（2）解方程：$\frac{1}{2}(x - 5)^2 - 8 = 0$。
19.（6分）
（1）计算：$\sqrt{(-2)^2} + |1 - \sqrt{3}| - \sqrt[3]{8}$；
（2）解方程：$\frac{1}{2}(x - 5)^2 - 8 = 0$。
答案：19. （1）原式=$2+\sqrt{3}-1-2=\sqrt{3}-1$.
（2）$x=1$或9.
（2）$x=1$或9.
解析：
【分析】
（1）本题属于实数混合运算题，解题时先分别化简每一项：先计算算术平方根$\sqrt{(-2)^2}$，再根据绝对值的性质化简$|1-\sqrt{3}|$（先判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数），然后计算立方根$\sqrt[3]{8}$，最后将各项化简结果合并计算即可。
（2）本题是平方项为整体形式的一元二次方程，适合用直接开平方法求解，解题步骤为先移项将常数项移到等号右侧，再将平方项的系数化为1，最后对等式两边开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解，注意开平方时不要漏掉负根。
【解析】
（1）分别化简各项：
$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，
因为$\sqrt{3}＞1$，所以$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，
$\sqrt[3]{8}=2$，
代入原式计算：
原式$=2+(\sqrt{3}-1)-2=\sqrt{3}-1$。
（2）解方程$\frac{1}{2}(x - 5)^2 - 8 = 0$：
移项得：$\frac{1}{2}(x-5)^2=8$，
两边同时乘2得：$(x-5)^2=16$，
两边开平方得：$x-5=\pm4$，
当$x-5=4$时，$x=9$；当$x-5=-4$时，$x=1$。
【答案】
（1）$\sqrt{3}-1$；（2）$x=1$或$9$
【知识点】
实数的混合运算、绝对值的化简、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础计算题，第一问要注意根式化简的规则和去绝对值时的符号判断，第二问考查一元二次方程的基础解法，用直接开平方法时要注意开平方后有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.85
（1）本题属于实数混合运算题，解题时先分别化简每一项：先计算算术平方根$\sqrt{(-2)^2}$，再根据绝对值的性质化简$|1-\sqrt{3}|$（先判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数），然后计算立方根$\sqrt[3]{8}$，最后将各项化简结果合并计算即可。
（2）本题是平方项为整体形式的一元二次方程，适合用直接开平方法求解，解题步骤为先移项将常数项移到等号右侧，再将平方项的系数化为1，最后对等式两边开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解，注意开平方时不要漏掉负根。
【解析】
（1）分别化简各项：
$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，
因为$\sqrt{3}＞1$，所以$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，
$\sqrt[3]{8}=2$，
代入原式计算：
原式$=2+(\sqrt{3}-1)-2=\sqrt{3}-1$。
（2）解方程$\frac{1}{2}(x - 5)^2 - 8 = 0$：
移项得：$\frac{1}{2}(x-5)^2=8$，
两边同时乘2得：$(x-5)^2=16$，
两边开平方得：$x-5=\pm4$，
当$x-5=4$时，$x=9$；当$x-5=-4$时，$x=1$。
【答案】
（1）$\sqrt{3}-1$；（2）$x=1$或$9$
【知识点】
实数的混合运算、绝对值的化简、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础计算题，第一问要注意根式化简的规则和去绝对值时的符号判断，第二问考查一元二次方程的基础解法，用直接开平方法时要注意开平方后有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.85
20. (6分)如图,点A在射线OX上,OA＝a.如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0＜n≤360)到OA′,那么点A′的位置可以用(a,n°)表示.
（1）按上述表示方法,若a＝3,n＝37,则点A′的位置可以表示为
（2）在(1)的条件下,点B的位置用(3,74°)表示,连接A′A,A′B.求证:A′A＝A′B.
（1）按上述表示方法,若a＝3,n＝37,则点A′的位置可以表示为
$(3,37°)$
；（2）在(1)的条件下,点B的位置用(3,74°)表示,连接A′A,A′B.求证:A′A＝A′B.
答案：20. （1）$(3,37°)$
（2）由题意,得 $OA=OA'=OB=3$,$∠ AOB=74°$,$∠ AOA'=37°$,所以$∠ BOA'=∠ AOB-∠ AOA'=37°$,即$∠ BOA'=∠ AOA'$. 又 $OA'=OA'$, 所以$△ AOA'≌△ BOA'$(SAS). 所以 $A'A=A'B$.
（2）由题意,得 $OA=OA'=OB=3$,$∠ AOB=74°$,$∠ AOA'=37°$,所以$∠ BOA'=∠ AOB-∠ AOA'=37°$,即$∠ BOA'=∠ AOA'$. 又 $OA'=OA'$, 所以$△ AOA'≌△ BOA'$(SAS). 所以 $A'A=A'B$.
解析：
【分析】
（1）第一问考查对新定义的理解，题目明确规定点$A'$的位置用$(a,n°)$表示，其中$a$是线段$OA$的长度，$n°$是$OA$旋转的角度，直接将已知的$a=3$、$n=37$代入定义即可得到结果。
（2）第二问要证明两条线段相等，可通过证明线段所在的三角形全等求解。首先根据点$B$的位置表示提取出$OB$的长度和$∠ AOB$的度数，结合第一问的条件可得到$OA=OA'=OB$，再计算得到$∠ AOA'=∠ BOA'$，即可通过SAS判定两个三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
【解析】
（1）根据题中给出的点位置表示规则，$a=3$，旋转角度为$37°$，因此点$A'$的位置可以表示为$(3,37°)$。
（2）证明：
由题意得：$OA=OA'=OB=3$，$∠ AOA'=37°$，$∠ AOB=74°$，
$\therefore ∠ BOA'=∠ AOB-∠ AOA'=74°-37°=37°$，即$∠ AOA'=∠ BOA'$，
在$△ AOA'$和$△ BOA'$中：
$\begin{cases}OA=OB \\∠ AOA'=∠ BOA' \\OA'=OA'\end{cases}$
$\therefore △ AOA'≌△ BOA'(\mathrm{SAS})$，
$\therefore A'A=A'B$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(3,37°)}$
（2）证明成立，$A'A=A'B$。
【知识点】
新定义理解、SAS判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题结合新的位置表示规则考查全等三角形的相关知识，解题的核心是读懂新定义，准确提取边长、角度的对应信息，再结合全等判定定理完成证明，出题形式灵活，整体难度不高。
【难度系数】
0.8
（1）第一问考查对新定义的理解，题目明确规定点$A'$的位置用$(a,n°)$表示，其中$a$是线段$OA$的长度，$n°$是$OA$旋转的角度，直接将已知的$a=3$、$n=37$代入定义即可得到结果。
（2）第二问要证明两条线段相等，可通过证明线段所在的三角形全等求解。首先根据点$B$的位置表示提取出$OB$的长度和$∠ AOB$的度数，结合第一问的条件可得到$OA=OA'=OB$，再计算得到$∠ AOA'=∠ BOA'$，即可通过SAS判定两个三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
【解析】
（1）根据题中给出的点位置表示规则，$a=3$，旋转角度为$37°$，因此点$A'$的位置可以表示为$(3,37°)$。
（2）证明：
由题意得：$OA=OA'=OB=3$，$∠ AOA'=37°$，$∠ AOB=74°$，
$\therefore ∠ BOA'=∠ AOB-∠ AOA'=74°-37°=37°$，即$∠ AOA'=∠ BOA'$，
在$△ AOA'$和$△ BOA'$中：
$\begin{cases}OA=OB \\∠ AOA'=∠ BOA' \\OA'=OA'\end{cases}$
$\therefore △ AOA'≌△ BOA'(\mathrm{SAS})$，
$\therefore A'A=A'B$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(3,37°)}$
（2）证明成立，$A'A=A'B$。
【知识点】
新定义理解、SAS判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题结合新的位置表示规则考查全等三角形的相关知识，解题的核心是读懂新定义，准确提取边长、角度的对应信息，再结合全等判定定理完成证明，出题形式灵活，整体难度不高。
【难度系数】
0.8