【分析】
要求线段AE的最小值，首先要确定动点E的运动轨迹。第一步，结合已知∠ABC=90°和∠ABD=∠BCE，推导∠CEB的度数；第二步，根据直角三角形斜边中线的性质，可知E到BC中点的距离为定值，由此确定E的运动轨迹是以BC中点为圆心、BC长度一半为半径的圆；第三步，根据点到圆上点的最短距离的求法，利用勾股定理算出点A到圆心的距离，再减去半径即可得到AE的最小值。
【解析】
取BC的中点F，连接EF、AF。
1. 推导∠CEB的度数：
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠ABD + ∠CBD = 90°，
又
∵ ∠ABD=∠BCE，
∴ ∠BCE + ∠CBD = 90°，
在△BCE中，∠CEB + ∠BCE + ∠CBD = 180°，
∴ ∠CEB = 180° - 90° = 90°，即△BCE是直角三角形。
2. 求EF的长度：
∵ F是BC的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ EF = BF = CF = $\frac{1}{2}$BC，
∵ BC=12，
∴ BF=EF=6。
3. 求AF的长度：
在Rt△ABF中，AB=8，BF=6，∠ABF=90°，
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AB^2 + BF^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=\sqrt{100}=10$。
4. 求AE的最小值：
根据三角形三边关系，AE ≥ AF - EF，当且仅当A、E、F三点共线，即E落在线段AF上时等号成立，
∴ AE的最小值为10 - 6 = 4。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题属于几何最值综合题，解题的关键是通过角的等量代换推导出直角，进而确定动点的运动轨迹，再结合勾股定理和三角形三边关系求解最值，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5

【分析】
要判断各选项的正误，首先明确日销售利润=日销售量×单件销售利润。解题时先结合两个函数图象的分段区间，用待定系数法分别求出日销售量y、单件利润w关于日期t的函数解析式，再将对应日期t代入解析式，计算得到各选项对应的量，逐一验证即可。
【解析】
验证选项A：观察图①，t=30时，y=150，即第30天的销售量为150件，A正确。
验证选项B：当$0≤t≤20$时，设w关于t的函数解析式为$w=kt+b$，将$(0,25)$、$(20,5)$代入得：
$\begin{cases}b=25\\20k+b=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=25\end{cases}$，即$w=-t+25$。
当t=10时，$w=-10+25=15$，即第10天销售一件产品的利润为15元，B正确。
验证选项C：当$0≤t≤25$时，设y关于t的函数解析式为$y=k_1t+b_1$，将$(0,100)$、$(25,200)$代入得：
$\begin{cases}b_1=100\\25k_1+b_1=200\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=4\\b_1=100\end{cases}$，即$y=4t+100$。
当t=13时，$w=-13+25=12$，$y=4×13+100=152$，日销售利润为$12×152=1824$元；
第30天的日销售利润为$150×5=750$元，两者不相等，C错误。
验证选项D：当t=18时，$w=-18+25=7$，$y=4×18+100=172$，日销售利润为$7×172=1204$元；
第25天的日销售利润为$200×5=1000$元，$1204＞1000$，即第18天的日销售利润更高，D正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；分段函数计算
【点评】
本题结合销售实际场景考查一次函数的应用，需要学生具备从图象中提取信息的能力，掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，准确计算各日的销售利润即可判断选项正误，是函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
要计算DG的长度，可通过构造直角三角形利用勾股定理求解。首先连接辅助线DE，先利用等边三角形的性质和中点条件求出DE的长度以及∠DEB的度数；再根据EF⊥AC求出∠FEC的度数，推导得出∠DEG为直角；接着利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出EF的长度，结合G是EF中点得到EG的长度；最后在Rt△DEG中用勾股定理即可算出DG的长。
【解析】
解：连接DE，
∵△ABC是边长为8的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=8，
∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴BD=BE=CE=4，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠DEB=60°，DE=BE=4，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
∴∠FEC=90°-∠C=90°-60°=30°，
∴$CF=\frac{1}{2}CE=2$，
设$EG=x$，
∵G是EF的中点，
∴$EF=2x$，
在$Rt△EFC$中，由勾股定理得：$EF^2+CF^2=CE^2$，
即$(2x)^2+2^2=4^2$，
$4x^2+4=16$，解得$x=\sqrt{3}$（负值已舍去），
∴$EG=\sqrt{3}$，
∵$∠DEG+∠DEB+∠FEC=180°$，
∴$∠DEG=180°-60°-30°=90°$，
在$Rt△DEG$中，由勾股定理得：
$DG=\sqrt{DE^2+EG^2}=\sqrt{4^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+3}=\sqrt{19}$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是合理连接辅助线DE，构造出直角三角形DEG，将未知线段的长度转化为直角三角形的斜边进行求解，解题时要注意特殊角度对应的边角关系的运用。
【难度系数】
0.6

【分析】
要确定n的值，首先需要估算出$\sqrt{26}$介于哪两个相邻的正整数之间。解题时先找到和26相邻的两个正整数的完全平方数，再根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大，就能得到$\sqrt{26}$的取值范围，最后结合题设的不等式$n＜\sqrt{26}＜n+1$，即可求出n的值。
【解析】
解：$\because 5^2=25$，$6^2=36$
$\therefore 25＜26＜36$
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$
即$5＜\sqrt{26}＜6$
又$\because n$为正整数，且满足$n＜\sqrt{26}＜n+1$
$\therefore n=5$
【答案】
5
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对无理数大小的估算能力，解题的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，是同类考点中的常考题型。
【难度系数】
0.9

【分析】
要计算△ACD的面积，已知AC=2，根据三角形面积公式，只需要求出AC边上的高即可。已知AD平分∠BAC，DE⊥AB且DE=1，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AC的距离等于DE的长度，由此可求出△ACD的高，代入面积公式就能得到结果。
【解析】
过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=1（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查对角平分线性质的应用，解题的关键是通过作辅助线得到AC边上的高，结合已知条件代入面积公式求解，解题时要熟练掌握角平分线的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.8

【分析】
要比较∠BAC和∠DAE的大小，我们可以结合勾股定理，分别计算两个角所在三角形的各边长度，再用勾股定理逆定理判断三角形形状，结合等腰直角三角形的性质求出两个角的度数，就能比较大小。第一步先计算△ABC的三边长，求∠BAC的度数；第二步计算△ADE的三边长，求∠DAE的度数；最后对比两个角的大小即可。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
已知点A(3,1)，B(1,1)，C(1,3)，根据勾股定理计算边长：
A、B纵坐标相同，$AB=|3-1|=2$；
B、C横坐标相同，$BC=|3-1|=2$；
$AC=\sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$。
∵ $AB^2+BC^2=2^2+2^2=8$，$AC^2=(2\sqrt{2})^2=8$，
∴ $AB^2+BC^2=AC^2$，且$AB=BC$，
∴ △ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴ $∠ BAC=45°$。
2. 求∠DAE的度数：
已知点A(3,1)，D(4,4)，E(5,2)，根据勾股定理计算边长：
$AE=\sqrt{(5-3)^2+(2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$；
$DE=\sqrt{(5-4)^2+(2-4)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$；
$AD=\sqrt{(4-3)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
∵ $AE^2+DE^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=10$，$AD^2=(\sqrt{10})^2=10$，
∴ $AE^2+DE^2=AD^2$，且$AE=DE$，
∴ △ADE是等腰直角三角形，∠AED=90°，
∴ $∠ DAE=45°$。
因此$∠ BAC=∠ DAE$。
【答案】=
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与三角形性质的综合题型，核心是通过勾股定理计算边长，结合逆定理判断三角形的形状，进而求出角度完成比较，解题思路清晰，注重基础知识点的灵活应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先要准确理解“中高偏度值”的定义：三角形某边上中线的长与这边中点到高的距离的比值。要求AB边的中高偏度值，我们分步计算即可：第一步先利用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步用面积法求出AB边上的高CD的长度，再用勾股定理算出垂足D到端点B的距离；第三步根据直角三角形斜边中线的性质求出AB边上的中线CE的长度，再计算AB中点E到垂足D的距离，最后求CE与DE的比值即可得到结果。
【解析】
过点C作$CD⊥AB$于点D。
1. 求AB的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
2. 求高CD的长度：
由三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$，代入数值可得：
$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
3. 求BD的长度：
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$。
4. 求中线CE和距离DE的长度：
取AB的中点E，连接CE，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：
$CE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
则中点E到垂足D的距离$DE=BE-BD=\frac{5}{2}-\frac{9}{5}=\frac{7}{10}$。
5. 计算中高偏度值：
边AB的“中高偏度值”为$\frac{CE}{DE}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{7}{10}}=\frac{25}{7}$。
【答案】
$\frac{25}{7}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是先将陌生的“中高偏度值”定义转化为熟悉的线段长度计算问题，再结合直角三角形的相关性质逐步求解即可，侧重考查对新定义的理解能力和几何基础计算能力。
【难度系数】
0.6