24. (8分)如图,射线BD交△ABC的外角∠ACF的平分线CE于点P,AC的垂直平分线交BD于点Q,交AC于点G,QM⊥BC于点M,∠A=78°,∠BPC=39°,BC=7,AB=4.
(1) 求证:BD平分∠ABC;
(2) 求MC的长.
(1) 求证:BD平分∠ABC;
(2) 求MC的长.
答案：24. (1) 因为 $∠ACF=∠A+∠ABF,∠ECF=∠BPC+∠DBF,∠A=78°,∠BPC=39°$, 所以$∠ABF=∠ACF-78°,∠DBF=∠ECF-39°$.因为 CE 平分$∠ACF$,所以 $∠ACF=2∠ECF$. 所以$∠ABF=2∠ECF-78°=2(∠ECF-39°)=2∠DBF$. 所以 BD 平分$∠ABC$.
(2) 连接 AQ,CQ,过点 Q 作 $QN⊥BA$,交 BA 的延长线于点 N. 因为 QG 垂直平分 AC,所以 $AQ=CQ$. 由(1),得 BD 平分$∠ABC$,且 $QM⊥BC$,所以 $QM=QN$. 所以 $Rt△QNA≌Rt△QMC$(HL).所以 $NA=MC$. 又 $BQ=BQ$,所以 $Rt△QNB≌Rt△QMB$(HL). 所以 $BN=BM$. 又 $BC=BM+MC,BN=AB+NA$,所以 $BC=BN+MC=AB+2MC$. 又 $BC=7,AB=4$,所以 $7=4+2MC$,解得$MC=1.5$. 则 MC 的长为 1.5.
(2) 连接 AQ,CQ,过点 Q 作 $QN⊥BA$,交 BA 的延长线于点 N. 因为 QG 垂直平分 AC,所以 $AQ=CQ$. 由(1),得 BD 平分$∠ABC$,且 $QM⊥BC$,所以 $QM=QN$. 所以 $Rt△QNA≌Rt△QMC$(HL).所以 $NA=MC$. 又 $BQ=BQ$,所以 $Rt△QNB≌Rt△QMB$(HL). 所以 $BN=BM$. 又 $BC=BM+MC,BN=AB+NA$,所以 $BC=BN+MC=AB+2MC$. 又 $BC=7,AB=4$,所以 $7=4+2MC$,解得$MC=1.5$. 则 MC 的长为 1.5.
解析：
【分析】
(1) 要证明BD平分∠ABC，需证∠ABD=∠DBC。可利用三角形外角的性质，分别表示出∠ACF、∠ECF对应的外角关系，结合CE是∠ACF的平分线以及已知的角度，推导得到∠ABC=2∠DBC，即可得证。
(2) 要求MC的长，首先由QG是AC的垂直平分线，可连接AQ、CQ得到AQ=CQ；结合(1)中BD是角平分线，根据角平分线的性质，过Q作QN⊥BA延长线于N，可得QM=QN，进而通过HL证明两组直角三角形全等，将AB、BC的长度与MC建立等量关系，代入数值计算即可得到MC的长。
【解析】
(1) 证明：
根据三角形外角的性质，∠ACF是△ABC的外角，故$∠ ACF=∠ A+∠ ABC$；
$∠ ECF$是$△ PBC$的外角，故$∠ ECF=∠ BPC+∠ DBC$。
已知$∠ A=78°$，$∠ BPC=39°$，因此可得：
$∠ ABC=∠ ACF-78°$，$∠ DBC=∠ ECF-39°$。
∵ CE平分$∠ ACF$，
∴ $∠ ACF=2∠ ECF$。
将其代入$∠ ABC$的表达式：
$∠ ABC=2∠ ECF-78°=2(∠ ECF-39°)=2∠ DBC$，
即$∠ ABD=∠ DBC$，
∴ BD平分$∠ ABC$。
(2) 解：
连接AQ、CQ，过点Q作$QN⊥ BA$，交BA的延长线于点N。
∵ QG是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，得$AQ=CQ$。
由(1)知BD平分$∠ ABC$，且$QM⊥ BC$，$QN⊥ BA$，根据角平分线的性质，得$QM=QN$。
在$Rt△ QNA$和$Rt△ QMC$中：
$\begin{cases}AQ=CQ\\QN=QM\end{cases}$
∴ $Rt△ QNA≌ Rt△ QMC$（HL），因此$NA=MC$。
在$Rt△ QNB$和$Rt△ QMB$中：
$\begin{cases}BQ=BQ\\QN=QM\end{cases}$
∴ $Rt△ QNB≌ Rt△ QMB$（HL），因此$BN=BM$。
∵ $BN=AB+NA$，$BC=BM+MC$，且$NA=MC$，$BN=BM$，
∴ $BC=BN+MC=AB+NA+MC=AB+2MC$。
代入$BC=7$，$AB=4$，得：
$7=4+2MC$，解得$MC=1.5$。
【答案】
(1) 证明见解析，BD平分$∠ ABC$成立；
(2) $MC=1.5$（或$\frac{3}{2}$）
【知识点】
角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了三角形外角性质、角平分线及线段垂直平分线的应用，解题关键是合理构造辅助线，利用全等三角形实现线段的等量转化，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明BD平分∠ABC，需证∠ABD=∠DBC。可利用三角形外角的性质，分别表示出∠ACF、∠ECF对应的外角关系，结合CE是∠ACF的平分线以及已知的角度，推导得到∠ABC=2∠DBC，即可得证。
(2) 要求MC的长，首先由QG是AC的垂直平分线，可连接AQ、CQ得到AQ=CQ；结合(1)中BD是角平分线，根据角平分线的性质，过Q作QN⊥BA延长线于N，可得QM=QN，进而通过HL证明两组直角三角形全等，将AB、BC的长度与MC建立等量关系，代入数值计算即可得到MC的长。
【解析】
(1) 证明：
根据三角形外角的性质，∠ACF是△ABC的外角，故$∠ ACF=∠ A+∠ ABC$；
$∠ ECF$是$△ PBC$的外角，故$∠ ECF=∠ BPC+∠ DBC$。
已知$∠ A=78°$，$∠ BPC=39°$，因此可得：
$∠ ABC=∠ ACF-78°$，$∠ DBC=∠ ECF-39°$。
∵ CE平分$∠ ACF$，
∴ $∠ ACF=2∠ ECF$。
将其代入$∠ ABC$的表达式：
$∠ ABC=2∠ ECF-78°=2(∠ ECF-39°)=2∠ DBC$，
即$∠ ABD=∠ DBC$，
∴ BD平分$∠ ABC$。
(2) 解：
连接AQ、CQ，过点Q作$QN⊥ BA$，交BA的延长线于点N。
∵ QG是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，得$AQ=CQ$。
由(1)知BD平分$∠ ABC$，且$QM⊥ BC$，$QN⊥ BA$，根据角平分线的性质，得$QM=QN$。
在$Rt△ QNA$和$Rt△ QMC$中：
$\begin{cases}AQ=CQ\\QN=QM\end{cases}$
∴ $Rt△ QNA≌ Rt△ QMC$（HL），因此$NA=MC$。
在$Rt△ QNB$和$Rt△ QMB$中：
$\begin{cases}BQ=BQ\\QN=QM\end{cases}$
∴ $Rt△ QNB≌ Rt△ QMB$（HL），因此$BN=BM$。
∵ $BN=AB+NA$，$BC=BM+MC$，且$NA=MC$，$BN=BM$，
∴ $BC=BN+MC=AB+NA+MC=AB+2MC$。
代入$BC=7$，$AB=4$，得：
$7=4+2MC$，解得$MC=1.5$。
【答案】
(1) 证明见解析，BD平分$∠ ABC$成立；
(2) $MC=1.5$（或$\frac{3}{2}$）
【知识点】
角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了三角形外角性质、角平分线及线段垂直平分线的应用，解题关键是合理构造辅助线，利用全等三角形实现线段的等量转化，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
25. (10分)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$D$在边$AC$上(不与$A$,$C$两点重合),$DE⊥ AB$于点$E$,连接$BD$,$F$为$BD$的中点,连接$EF$,$CF$,$CE$.
(1)若$BD=10$,求$EF$的长;
(2)直接写出图中的所有等腰三角形;
(3)试猜想$∠ A$与$∠ CEF$之间的数量关系,并证明.
(1)若$BD=10$,求$EF$的长;
(2)直接写出图中的所有等腰三角形;
(3)试猜想$∠ A$与$∠ CEF$之间的数量关系,并证明.
答案：25. (1) 因为 $DE⊥AB$,所以 $∠BED=90°$. 又 F 为 BD的中点,所以 $EF=\frac{1}{2}BD$. 又 $BD=10$,所以 $EF=5$.
(2) $△DEF,△BEF,△DCF,△BCF,△CEF$ 都是等腰三角形.
(3) $∠A=∠CEF$. 证明如下:由(1),得 $∠BED=90°$. 又 $∠ACB=90°$,F 为 BD 的中点,所以 $FE=FB=\frac{1}{2}BD,FC=\frac{1}{2}BD$,即 $FE=FB=FC$. 所以$∠CEF=∠ECF,∠FEB=∠FBE,∠FCB=∠FBC$. 又 $∠EFD=∠FEB+∠FBE,∠CFD=∠FCB+∠FBC$,所以 $∠EFD=2∠FBE,∠CFD=2∠FBC$. 所以 $∠CFE=∠EFD+∠CFD=2(∠FBE+∠FBC)$. 又 $∠CFE+∠CEF+∠ECF=180°$,所以 $∠CEF=\frac{1}{2}(180°-∠CFE)=\frac{1}{2}(180°-2∠FBE-2∠FBC)=90°-∠FBE-∠FBC$. 因为 $∠A+∠ABC=90°,∠ABC=∠FBE+∠FBC$,所以 $∠A=90°-∠ABC=90°-∠FBE-∠FBC$. 所以 $∠A=∠CEF$.
(2) $△DEF,△BEF,△DCF,△BCF,△CEF$ 都是等腰三角形.
(3) $∠A=∠CEF$. 证明如下:由(1),得 $∠BED=90°$. 又 $∠ACB=90°$,F 为 BD 的中点,所以 $FE=FB=\frac{1}{2}BD,FC=\frac{1}{2}BD$,即 $FE=FB=FC$. 所以$∠CEF=∠ECF,∠FEB=∠FBE,∠FCB=∠FBC$. 又 $∠EFD=∠FEB+∠FBE,∠CFD=∠FCB+∠FBC$,所以 $∠EFD=2∠FBE,∠CFD=2∠FBC$. 所以 $∠CFE=∠EFD+∠CFD=2(∠FBE+∠FBC)$. 又 $∠CFE+∠CEF+∠ECF=180°$,所以 $∠CEF=\frac{1}{2}(180°-∠CFE)=\frac{1}{2}(180°-2∠FBE-2∠FBC)=90°-∠FBE-∠FBC$. 因为 $∠A+∠ABC=90°,∠ABC=∠FBE+∠FBC$,所以 $∠A=90°-∠ABC=90°-∠FBE-∠FBC$. 所以 $∠A=∠CEF$.
解析：
【分析】
(1) 解题思路：由DE⊥AB可知△BED是直角三角形，F是斜边BD的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，代入BD的长度即可直接求出EF的长。
(2) 解题思路：先利用直角三角形斜边中线的性质，推导得到EF=BF=DF、CF=BF=DF，即EF=CF=BF=DF，再根据“两边相等的三角形是等腰三角形”逐一列出对应的等腰三角形即可，注意不要遗漏EF=CF对应的△CEF。
(3) 解题思路：首先猜想∠A与∠CEF相等，证明时先由FE=FC得到∠CEF=∠ECF，再利用三角形外角性质将∠EFD、∠CFD分别转化为2∠FBE、2∠FBC，进而得到∠CFE=2∠ABC，结合三角形内角和表示出∠CEF，最后结合Rt△ABC中∠A与∠ABC互余的关系，即可推导二者相等。
【解析】
(1) 解：
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
又
∵F为BD的中点，
∴EF是Rt△BED斜边BD的中线，
∴$EF=\frac{1}{2}BD$，
∵BD=10，
∴$EF=\frac{1}{2}×10=5$。
(2) 解：由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得EF=BF=DF，CF=BF=DF，即EF=BF=DF=CF，
因此△DEF（EF=DF）、△BEF（EF=BF）、△DCF（CF=DF）、△BCF（CF=BF）均为等腰三角形；又EF=CF，故△CEF也为等腰三角形。
(3) 猜想：∠A=∠CEF，证明如下：
由(1)得∠BED=90°，又
∵∠ACB=90°，F为BD的中点，
∴$FE=FB=\frac{1}{2}BD$，$FC=\frac{1}{2}BD$，
∴FE=FB=FC，
∴∠CEF=∠ECF，∠FEB=∠FBE，∠FCB=∠FBC，
根据三角形外角的性质，可得∠EFD=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，∠CFD=∠FCB+∠FBC=2∠FBC，
∴∠CFE=∠EFD+∠CFD=2(∠FBE+∠FBC)=2∠ABC，
在△CEF中，∠CFE+∠CEF+∠ECF=180°，且∠CEF=∠ECF，
∴$∠CEF=\frac{1}{2}(180°-∠CFE)=\frac{1}{2}(180°-2∠ABC)=90°-∠ABC$，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，即∠A=90°-∠ABC，
∴∠A=∠CEF。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$
(2) $\boldsymbol{△DEF,△BEF,△DCF,△BCF,△CEF}$
(3) $\boldsymbol{∠A=∠CEF}$
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线定理
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题围绕三角形的核心性质展开考察，解题的关键是抓住“F为BD中点”这一突破口，灵活运用直角三角形斜边中线的性质得到边相等的关系，再结合等腰三角形、三角形内角和与外角的性质推导角的数量关系，既检验了基础性质的识记，也考察了逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：由DE⊥AB可知△BED是直角三角形，F是斜边BD的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，代入BD的长度即可直接求出EF的长。
(2) 解题思路：先利用直角三角形斜边中线的性质，推导得到EF=BF=DF、CF=BF=DF，即EF=CF=BF=DF，再根据“两边相等的三角形是等腰三角形”逐一列出对应的等腰三角形即可，注意不要遗漏EF=CF对应的△CEF。
(3) 解题思路：首先猜想∠A与∠CEF相等，证明时先由FE=FC得到∠CEF=∠ECF，再利用三角形外角性质将∠EFD、∠CFD分别转化为2∠FBE、2∠FBC，进而得到∠CFE=2∠ABC，结合三角形内角和表示出∠CEF，最后结合Rt△ABC中∠A与∠ABC互余的关系，即可推导二者相等。
【解析】
(1) 解：
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
又
∵F为BD的中点，
∴EF是Rt△BED斜边BD的中线，
∴$EF=\frac{1}{2}BD$，
∵BD=10，
∴$EF=\frac{1}{2}×10=5$。
(2) 解：由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得EF=BF=DF，CF=BF=DF，即EF=BF=DF=CF，
因此△DEF（EF=DF）、△BEF（EF=BF）、△DCF（CF=DF）、△BCF（CF=BF）均为等腰三角形；又EF=CF，故△CEF也为等腰三角形。
(3) 猜想：∠A=∠CEF，证明如下：
由(1)得∠BED=90°，又
∵∠ACB=90°，F为BD的中点，
∴$FE=FB=\frac{1}{2}BD$，$FC=\frac{1}{2}BD$，
∴FE=FB=FC，
∴∠CEF=∠ECF，∠FEB=∠FBE，∠FCB=∠FBC，
根据三角形外角的性质，可得∠EFD=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，∠CFD=∠FCB+∠FBC=2∠FBC，
∴∠CFE=∠EFD+∠CFD=2(∠FBE+∠FBC)=2∠ABC，
在△CEF中，∠CFE+∠CEF+∠ECF=180°，且∠CEF=∠ECF，
∴$∠CEF=\frac{1}{2}(180°-∠CFE)=\frac{1}{2}(180°-2∠ABC)=90°-∠ABC$，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，即∠A=90°-∠ABC，
∴∠A=∠CEF。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$
(2) $\boldsymbol{△DEF,△BEF,△DCF,△BCF,△CEF}$
(3) $\boldsymbol{∠A=∠CEF}$
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线定理
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题围绕三角形的核心性质展开考察，解题的关键是抓住“F为BD中点”这一突破口，灵活运用直角三角形斜边中线的性质得到边相等的关系，再结合等腰三角形、三角形内角和与外角的性质推导角的数量关系，既检验了基础性质的识记，也考察了逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6