21. (8分)如图,在$△ ABC$中,$BD⊥ AC$于点$D$,$CE⊥ AB$于点$E$,$F$为$BC$的中点,连接$EF$,$DF$,$DE$.
(1) 求证:$EF=DF$;
(2) 若$∠ A=60°$,$BC=6$,求$△ DEF$的周长.
(1) 求证:$EF=DF$;
(2) 若$∠ A=60°$,$BC=6$,求$△ DEF$的周长.
答案：21. (1) 因为 $BD⊥AC,CE⊥AB$,所以 $∠BDC=∠BEC=90°$. 因为 F 为 BC 的中点,所以 $DF=BF=CF=\frac{1}{2}BC,EF=\frac{1}{2}BC$,即 $EF=DF$.
(2) 由(1),得 $EF=DF=BF=CF=\frac{1}{2}BC$,所以$∠FBE=∠FEB,∠FCD=∠FDC$. 因为 $∠A=60°$,所以 $∠ABC+∠ACB=120°$. 所以 $∠BFE+∠DFC=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=120°$. 所以 $∠EFD=60°$. 所以 $△DEF$ 是等边三角形. 因为 $BC=6$,所以 $DE=EF=DF=3$,即 $△DEF$的周长为 $DE+EF+DF=9$.
(2) 由(1),得 $EF=DF=BF=CF=\frac{1}{2}BC$,所以$∠FBE=∠FEB,∠FCD=∠FDC$. 因为 $∠A=60°$,所以 $∠ABC+∠ACB=120°$. 所以 $∠BFE+∠DFC=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=120°$. 所以 $∠EFD=60°$. 所以 $△DEF$ 是等边三角形. 因为 $BC=6$,所以 $DE=EF=DF=3$,即 $△DEF$的周长为 $DE+EF+DF=9$.
解析：
【分析】
(1) 要证明$EF=DF$，首先观察已知条件：$BD⊥ AC$、$CE⊥ AB$，可得$△ BDC$和$△ BEC$均为直角三角形，$F$是公共斜边$BC$的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可推出$EF$和$DF$都等于$BC$的一半，即可证明二者相等。
(2) 求$△ DEF$的周长时，先结合(1)的结论已知$EF=DF$，可先判断$△ DEF$的形状：结合$∠ A=60°$，先算出$∠ ABC+∠ ACB$的度数，再利用等腰三角形等边对等角的性质推导$∠ EFD$的度数，若$∠ EFD=60°$，则$△ DEF$为等边三角形，再结合$BC$的长度求出边长，即可计算周长。
【解析】
(1) 证明：
$\because BD⊥ AC$，$CE⊥ AB$，
$\therefore ∠ BDC=∠ BEC=90°$，即$△ BDC$、$△ BEC$都是直角三角形。
$\because F$为$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
$\therefore DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore EF=DF$。
(2) 解：
由(1)可得$EF=DF=BF=CF=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore △ BEF$、$△ CDF$均为等腰三角形，
$\therefore ∠ FBE=∠ FEB$，$∠ FCD=∠ FDC$。
在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°$，
$\therefore ∠ BFE+∠ DFC=(180°-2∠ ABC)+(180°-2∠ ACB)=360°-2(∠ ABC+∠ ACB)=360°-2×120°=120°$，
$\therefore ∠ EFD=180°-(∠ BFE+∠ DFC)=60°$。
又$\because EF=DF$，
$\therefore △ DEF$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形。
$\because BC=6$，
$\therefore EF=DF=\frac{1}{2}BC=3$，即$DE=EF=DF=3$，
$\therefore △ DEF$的周长为$3+3+3=9$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{9}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质；等边三角形判定与性质
【点评】
本题属于三角形性质的综合基础题，解题的核心是利用直角三角形斜边中线的性质得到线段等量关系，再结合三角形内角和推导角度判断三角形形状，既考察了基础几何性质的识记，也锻炼了角度推导的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$EF=DF$，首先观察已知条件：$BD⊥ AC$、$CE⊥ AB$，可得$△ BDC$和$△ BEC$均为直角三角形，$F$是公共斜边$BC$的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可推出$EF$和$DF$都等于$BC$的一半，即可证明二者相等。
(2) 求$△ DEF$的周长时，先结合(1)的结论已知$EF=DF$，可先判断$△ DEF$的形状：结合$∠ A=60°$，先算出$∠ ABC+∠ ACB$的度数，再利用等腰三角形等边对等角的性质推导$∠ EFD$的度数，若$∠ EFD=60°$，则$△ DEF$为等边三角形，再结合$BC$的长度求出边长，即可计算周长。
【解析】
(1) 证明：
$\because BD⊥ AC$，$CE⊥ AB$，
$\therefore ∠ BDC=∠ BEC=90°$，即$△ BDC$、$△ BEC$都是直角三角形。
$\because F$为$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
$\therefore DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore EF=DF$。
(2) 解：
由(1)可得$EF=DF=BF=CF=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore △ BEF$、$△ CDF$均为等腰三角形，
$\therefore ∠ FBE=∠ FEB$，$∠ FCD=∠ FDC$。
在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°$，
$\therefore ∠ BFE+∠ DFC=(180°-2∠ ABC)+(180°-2∠ ACB)=360°-2(∠ ABC+∠ ACB)=360°-2×120°=120°$，
$\therefore ∠ EFD=180°-(∠ BFE+∠ DFC)=60°$。
又$\because EF=DF$，
$\therefore △ DEF$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形。
$\because BC=6$，
$\therefore EF=DF=\frac{1}{2}BC=3$，即$DE=EF=DF=3$，
$\therefore △ DEF$的周长为$3+3+3=9$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{9}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质；等边三角形判定与性质
【点评】
本题属于三角形性质的综合基础题，解题的核心是利用直角三角形斜边中线的性质得到线段等量关系，再结合三角形内角和推导角度判断三角形形状，既考察了基础几何性质的识记，也锻炼了角度推导的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
22. (8分)如图,在等边三角形ABC中,顶点A,C处各有一只小蚂蚁,它们同时出发,分别以相同的速度由点A向点B和由点C向点A爬行,经过t s后,它们分别爬行到了D,E两点处,设DC与BE的交点为F.
(1) 求证:$△ ACD ≌ △ CBE$;
(2) 小蚂蚁在爬行过程中,DC与BE所成的$∠ BFC$的大小有无变化?请说明理由.
(1) 求证:$△ ACD ≌ △ CBE$;
(2) 小蚂蚁在爬行过程中,DC与BE所成的$∠ BFC$的大小有无变化?请说明理由.
答案：22. (1) 由题意,得 $AD=CE,AC=CB,∠A=∠BCE=60°$,所以$△ACD≌△CBE$(SAS).
(2) $∠BFC$ 的大小无变化. 理由如下: 由(1),得$△ACD≌△CBE$. 所以 $∠ACD=∠CBE$. 因为 $△ABC$ 是等边三角形,所以 $∠A=∠ABC=∠ACB=60°$. 因为 $∠ACB=∠ACD+∠BCF$,所以$∠CBE+∠BCF=60°$. 因为 $∠BFC+∠CBE+∠BCF=180°$,所以 $∠BFC=180°-(∠CBE+∠BCF)=120°$. 所以 $∠BFC$ 的大小无变化.
(2) $∠BFC$ 的大小无变化. 理由如下: 由(1),得$△ACD≌△CBE$. 所以 $∠ACD=∠CBE$. 因为 $△ABC$ 是等边三角形,所以 $∠A=∠ABC=∠ACB=60°$. 因为 $∠ACB=∠ACD+∠BCF$,所以$∠CBE+∠BCF=60°$. 因为 $∠BFC+∠CBE+∠BCF=180°$,所以 $∠BFC=180°-(∠CBE+∠BCF)=120°$. 所以 $∠BFC$ 的大小无变化.
解析：
【分析】
(1) 要证明△ACD≌△CBE，先结合题干条件整理全等所需要素：首先等边三角形ABC可得AC=CB，∠A=∠BCE=60°；两只蚂蚁速度相同、爬行时间一致，因此爬行路程AD=CE，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 要判断∠BFC的大小是否变化，可利用第一问的全等结论推导角度关系：由全等可得对应角∠ACD=∠CBE，将角度等量代换后结合等边三角形内角为60°、三角形内角和为180°的性质，计算∠BFC的度数，若结果为定值则说明角度无变化。
【解析】
(1) 由题意得两只蚂蚁爬行速度、时间均相同，因此$AD=CE$；
∵△ABC是等边三角形，
∴$AC=CB$，$∠A=∠BCE=60°$，
在△ACD和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}AD=CE\\∠A=∠BCE\\AC=CB\end{array} $
∴$△ACD≌△CBE$(SAS)。
(2) $∠BFC$ 的大小无变化，理由如下：
由(1)得$△ACD≌△CBE$，
∴$∠ACD=∠CBE$，
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ACB=60°$，即$∠ACD+∠BCF=60°$，
将$∠ACD$替换为$∠CBE$得：$∠CBE+∠BCF=60°$，
在△BFC中，由三角形内角和为180°得：
$∠BFC=180°-(∠CBE+∠BCF)=180°-60°=120°$，
因此∠BFC始终为120°，大小无变化。
【答案】
(1) 证明见上述过程，$△ACD≌△CBE$成立；
(2) $∠BFC$大小无变化，始终为$120°$。
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形综合基础题，既考察了等边三角形的基本性质，也考察了全等三角形的判定及性质应用，第二问需要利用前一问的结论进行角度的等量代换，解题时注意前后问题的关联性即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ACD≌△CBE，先结合题干条件整理全等所需要素：首先等边三角形ABC可得AC=CB，∠A=∠BCE=60°；两只蚂蚁速度相同、爬行时间一致，因此爬行路程AD=CE，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 要判断∠BFC的大小是否变化，可利用第一问的全等结论推导角度关系：由全等可得对应角∠ACD=∠CBE，将角度等量代换后结合等边三角形内角为60°、三角形内角和为180°的性质，计算∠BFC的度数，若结果为定值则说明角度无变化。
【解析】
(1) 由题意得两只蚂蚁爬行速度、时间均相同，因此$AD=CE$；
∵△ABC是等边三角形，
∴$AC=CB$，$∠A=∠BCE=60°$，
在△ACD和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}AD=CE\\∠A=∠BCE\\AC=CB\end{array} $
∴$△ACD≌△CBE$(SAS)。
(2) $∠BFC$ 的大小无变化，理由如下：
由(1)得$△ACD≌△CBE$，
∴$∠ACD=∠CBE$，
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ACB=60°$，即$∠ACD+∠BCF=60°$，
将$∠ACD$替换为$∠CBE$得：$∠CBE+∠BCF=60°$，
在△BFC中，由三角形内角和为180°得：
$∠BFC=180°-(∠CBE+∠BCF)=180°-60°=120°$，
因此∠BFC始终为120°，大小无变化。
【答案】
(1) 证明见上述过程，$△ACD≌△CBE$成立；
(2) $∠BFC$大小无变化，始终为$120°$。
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形综合基础题，既考察了等边三角形的基本性质，也考察了全等三角形的判定及性质应用，第二问需要利用前一问的结论进行角度的等量代换，解题时注意前后问题的关联性即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
23. (8分)新素养 创新意识 在直角三角形中,若过锐角顶点的一条直线将直角三角形分成一个直角三角形和一个等腰三角形,则称这条直线是该直角三角形的“直角等腰线”.
(1) 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=22.5°$,点D在边BC上,且$∠ CAD=2∠ BAD$,判断AD是否为$Rt△ ABC$的“直角等腰线”?并说明理由;
(2) 在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ BAC=60°,BC=6$.若AD为$Rt△ ABC$的“直角等腰线”,点D在边BC上,求点D到AB的距离.
(1) 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=22.5°$,点D在边BC上,且$∠ CAD=2∠ BAD$,判断AD是否为$Rt△ ABC$的“直角等腰线”?并说明理由;
(2) 在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ BAC=60°,BC=6$.若AD为$Rt△ ABC$的“直角等腰线”,点D在边BC上,求点D到AB的距离.
答案：23. (1) AD 是 $Rt△ABC$ 的“直角等腰线”. 理由如下:因为 $∠C=90°,∠B=22.5°$,所以 $∠CAB=90°-∠B=67.5°$. 因为 $∠CAD=2∠BAD,∠CAD+∠BAD=∠CAB$, 所以 $3∠BAD=67.5°$, 即$∠BAD=22.5°$. 所以 $∠BAD=∠B$. 所以 $△ADB$ 是等腰三角形. 又 $△ACD$ 是直角三角形,所以 AD为 $Rt△ABC$ 的“直角等腰线”.
(2) 因为 $∠C=90°,∠BAC=60°$,所以 $∠B=180°-∠C-∠BAC=30°,AC⊥CD$. 因为 AD 为$Rt△ABC$的“直角等腰线”,所以 $∠DAB=30°$. 所以 $∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°$, 即 $∠DAB=∠CAD$. 所以 AD 平分$∠BAC$. 过点 D 作 $DE⊥AB$,垂足为 E,所以 $BD=2DE,CD=DE$. 所以 $BD=2CD$. 因为$BC=CD+BD,BC=6$,所以 $3CD=6$,即 $DE=CD=2$. 所以点 D 到 AB 的距离为 2.
(2) 因为 $∠C=90°,∠BAC=60°$,所以 $∠B=180°-∠C-∠BAC=30°,AC⊥CD$. 因为 AD 为$Rt△ABC$的“直角等腰线”,所以 $∠DAB=30°$. 所以 $∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°$, 即 $∠DAB=∠CAD$. 所以 AD 平分$∠BAC$. 过点 D 作 $DE⊥AB$,垂足为 E,所以 $BD=2DE,CD=DE$. 所以 $BD=2CD$. 因为$BC=CD+BD,BC=6$,所以 $3CD=6$,即 $DE=CD=2$. 所以点 D 到 AB 的距离为 2.
解析：
【分析】
(1) 解题时先根据直角三角形两锐角互余求出∠CAB的度数，再结合∠CAD=2∠BAD的数量关系求出∠BAD的度数，判断△ADB是否为等腰三角形，同时确认△ACD为直角三角形，对照“直角等腰线”的定义即可完成判断。
(2) 先根据三角形内角和求出Rt△ABC中∠B的度数，结合“直角等腰线”的定义得出△ADB为等腰三角形，推导得到AD是∠BAC的角平分线，过D作DE⊥AB，利用角平分线的性质和30°直角三角形的边的关系，结合BC的长度列方程求解，即可得到点D到AB的距离。
【解析】
(1) AD是$Rt△ABC$的“直角等腰线”，理由如下：
∵在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠B=22.5°$，
∴$∠CAB=90°-∠B=67.5°$，
∵$∠CAD=2∠BAD$，且$∠CAD+∠BAD=∠CAB$，
∴$3∠BAD=67.5°$，即$∠BAD=22.5°$，
∴$∠BAD=∠B$，
∴$△ADB$是等腰三角形，
又
∵$∠C=90°$，$△ACD$是直角三角形，符合“直角等腰线”的定义，
故AD是$Rt△ABC$的“直角等腰线”。
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠BAC=60°$，
∴$∠B=180°-∠C-∠BAC=30°$，
∵AD为$Rt△ABC$的“直角等腰线”，
∴$△ADB$为等腰三角形，$∠DAB=∠B=30°$，
∴$∠CAD=∠BAC-∠DAB=60°-30°=30°$，即AD平分$∠BAC$，
过点D作$DE⊥AB$，垂足为E，
根据角平分线的性质可得$CD=DE$，
在$Rt△BDE$中，$∠B=30°$，
∴$BD=2DE=2CD$，
∵$BC=CD+BD=6$，
∴$CD+2CD=6$，解得$CD=2$，
∴$DE=CD=2$。
【答案】
(1) AD是$Rt△ABC$的“直角等腰线”，理由见解析；
(2) 点D到AB的距离为$\boxed{2}$。
【知识点】
直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“直角等腰线”的定义，结合三角形相关性质梳理角、线段的数量关系即可求解，解题时要注意紧扣定义判断，避免漏看条件。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先根据直角三角形两锐角互余求出∠CAB的度数，再结合∠CAD=2∠BAD的数量关系求出∠BAD的度数，判断△ADB是否为等腰三角形，同时确认△ACD为直角三角形，对照“直角等腰线”的定义即可完成判断。
(2) 先根据三角形内角和求出Rt△ABC中∠B的度数，结合“直角等腰线”的定义得出△ADB为等腰三角形，推导得到AD是∠BAC的角平分线，过D作DE⊥AB，利用角平分线的性质和30°直角三角形的边的关系，结合BC的长度列方程求解，即可得到点D到AB的距离。
【解析】
(1) AD是$Rt△ABC$的“直角等腰线”，理由如下：
∵在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠B=22.5°$，
∴$∠CAB=90°-∠B=67.5°$，
∵$∠CAD=2∠BAD$，且$∠CAD+∠BAD=∠CAB$，
∴$3∠BAD=67.5°$，即$∠BAD=22.5°$，
∴$∠BAD=∠B$，
∴$△ADB$是等腰三角形，
又
∵$∠C=90°$，$△ACD$是直角三角形，符合“直角等腰线”的定义，
故AD是$Rt△ABC$的“直角等腰线”。
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠BAC=60°$，
∴$∠B=180°-∠C-∠BAC=30°$，
∵AD为$Rt△ABC$的“直角等腰线”，
∴$△ADB$为等腰三角形，$∠DAB=∠B=30°$，
∴$∠CAD=∠BAC-∠DAB=60°-30°=30°$，即AD平分$∠BAC$，
过点D作$DE⊥AB$，垂足为E，
根据角平分线的性质可得$CD=DE$，
在$Rt△BDE$中，$∠B=30°$，
∴$BD=2DE=2CD$，
∵$BC=CD+BD=6$，
∴$CD+2CD=6$，解得$CD=2$，
∴$DE=CD=2$。
【答案】
(1) AD是$Rt△ABC$的“直角等腰线”，理由见解析；
(2) 点D到AB的距离为$\boxed{2}$。
【知识点】
直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“直角等腰线”的定义，结合三角形相关性质梳理角、线段的数量关系即可求解，解题时要注意紧扣定义判断，避免漏看条件。
【难度系数】
0.7