17. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC$的平分线与$BC$的垂直平分线相交于点$D$,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别为$E$,$F$.若$AB=6$,$AC=3$,则$BE=$
1.5
.答案：17. 1.5 解析:连接 BD,CD. 因为 AD 平分$∠BAC$,$DE⊥AB,DF⊥AC$,所以 $DE=DF$. 又 $AD=AD$,所以 $Rt△ADE≌Rt△ADF$(HL). 所以 $AE=AF$. 又 DG 垂直平分 BC,所以 $BD=CD$. 所以$Rt△BDE≌Rt△CDF$(HL). 所以 $BE=CF$. 所以$AB-BE=AC+CF$,即 $AB-AC=2BE$. 所以 $BE=\frac{1}{2}(AB-AC)$. 又 $AB=6,AC=3$,所以 $BE=1.5$.
解析：
【分析】
解题时首先观察题干条件，出现角平分线和DE⊥AB、DF⊥AC的双垂直结构，首先联想到角平分线的性质可得DE=DF，可证Rt△ADE与Rt△ADF全等，得到AE=AF；再结合BC的垂直平分线这一条件，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此连接BD、CD可得BD=CD，进而可证Rt△BDE与Rt△CDF全等，得到BE=CF；最后通过线段的和差关系，将AB、AC用AE、BE、AF、CF表示，代入等量关系即可求出BE的长度。
【解析】
连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠F=∠DEB=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF，
∵AB=AE+BE，AC=AF-CF，且AE=AF，CF=BE，
∴AB - BE = AC + BE，即AB - AC = 2BE，
将AB=6，AC=3代入得：$BE=\frac{1}{2}(6-3)=1.5$。
【答案】
1.5
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形全等判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合角平分线、垂直平分线的性质得到相等线段，再通过线段的等量代换建立所求线段与已知线段的关系，有助于培养几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察题干条件，出现角平分线和DE⊥AB、DF⊥AC的双垂直结构，首先联想到角平分线的性质可得DE=DF，可证Rt△ADE与Rt△ADF全等，得到AE=AF；再结合BC的垂直平分线这一条件，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此连接BD、CD可得BD=CD，进而可证Rt△BDE与Rt△CDF全等，得到BE=CF；最后通过线段的和差关系，将AB、AC用AE、BE、AF、CF表示，代入等量关系即可求出BE的长度。
【解析】
连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠F=∠DEB=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF，
∵AB=AE+BE，AC=AF-CF，且AE=AF，CF=BE，
∴AB - BE = AC + BE，即AB - AC = 2BE，
将AB=6，AC=3代入得：$BE=\frac{1}{2}(6-3)=1.5$。
【答案】
1.5
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形全等判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合角平分线、垂直平分线的性质得到相等线段，再通过线段的等量代换建立所求线段与已知线段的关系，有助于培养几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
18. 如图，$AO⊥OM$，$OA＝4$，$B$为射线$OM$上的一个动点，分别以$OB$，$AB$为直角边，$B$为直角顶点，在$OM$的两侧分别作等腰直角三角形$OBF$和等腰直角三角形$ABE$，连接$EF$，交$OM$于点$P$，当点$B$在射线$OM$上移动时，线段$PB$的长为
2
。答案：18. 2 解析:过点 E 作 $EH⊥OM$,交 OM 于点 H,则$∠BHE=90°$. 所以 $∠HBE+∠BEH=90°$.又 $AO⊥OM$,所以 $∠AOB=90°$. 又 $△ABE$ 和$△OBF$ 都是等腰直角三角形,所以 $∠ABE=∠OBF=90°,BO=FB,AB=BE$. 又 $∠ABO+∠ABE+∠HBE=180°$,所以 $∠ABO+∠HBE=180°-∠ABE=90°$,即 $∠ABO=∠BEH$. 又$∠AOB=∠BHE$,所以 $△ABO≌△BEH$(AAS).所以 $BO=EH,OA=HB$,即 $EH=FB$. 又$∠OBF+∠FBP=180°$,所以 $∠FBP=180°-∠OBF=90°$,即 $∠FBP=∠EHP=90°$. 又$∠FPB=∠EPH$,所以 $△FBP≌△EHP$(AAS).所以 $PB=PH$. 又 $PB+PH=HB$,所以 $PB=\frac{1}{2}HB$. 又 $OA=4$,所以 $HB=4$,即 $PB=2$.
解析：
【分析】
本题属于动点背景下的线段定值求解问题，解题思路如下：首先观察到图中有多个直角和等腰直角三角形，要将未知线段PB与已知线段OA建立联系，可通过作辅助线构造全等三角形实现：第一步过点E作EH⊥OM，先证明△ABO和△BEH全等，得到EH=OB、HB=OA，结合等腰直角三角形OBF的性质可得EH=FB；第二步证明△FBP和△EHP全等，得到PB=PH，即可推出PB是HB的一半，进而结合OA的长度求出PB的定值。
【解析】
过点E作$EH⊥OM$，交OM于点H，则$∠BHE=90°$，
∴$∠HBE+∠BEH=90°$。
∵$AO⊥OM$，
∴$∠AOB=90°$。
∵$△ABE$和$△OBF$都是等腰直角三角形，
∴$∠ABE=∠OBF=90°$，$BO=FB$，$AB=BE$。
∵$∠ABO+∠ABE+∠HBE=180°$，
∴$∠ABO+∠HBE=180°-∠ABE=90°$，
∴$∠ABO=∠BEH$。
在$△ABO$和$△BEH$中：
$\{\begin{array}{l}∠AOB=∠BHE\\∠ABO=∠BEH\\AB=BE\end{array} $
∴$△ABO≌△BEH$（AAS），
∴$BO=EH$，$OA=HB$，即$EH=FB$。
∵$∠OBF+∠FBP=180°$，
∴$∠FBP=180°-∠OBF=90°$，即$∠FBP=∠EHP=90°$。
在$△FBP$和$△EHP$中：
$\{\begin{array}{l}∠FBP=∠EHP\\∠FPB=∠EPH\\FB=EH\end{array} $
∴$△FBP≌△EHP$（AAS），
∴$PB=PH$。
∵$PB+PH=HB$，
∴$PB=\frac{1}{2}HB$。
又
∵$OA=4$，$HB=OA$，
∴$HB=4$，即$PB=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何动点定值类问题，核心解题思路是通过作垂线构造全等三角形，将未知线段和已知线段的数量关系通过两次全等逐步推导得出，很好地考察了全等三角形的应用能力，解题的关键是准确找到全等三角形的对应角和对应边。
【难度系数】
0.6
本题属于动点背景下的线段定值求解问题，解题思路如下：首先观察到图中有多个直角和等腰直角三角形，要将未知线段PB与已知线段OA建立联系，可通过作辅助线构造全等三角形实现：第一步过点E作EH⊥OM，先证明△ABO和△BEH全等，得到EH=OB、HB=OA，结合等腰直角三角形OBF的性质可得EH=FB；第二步证明△FBP和△EHP全等，得到PB=PH，即可推出PB是HB的一半，进而结合OA的长度求出PB的定值。
【解析】
过点E作$EH⊥OM$，交OM于点H，则$∠BHE=90°$，
∴$∠HBE+∠BEH=90°$。
∵$AO⊥OM$，
∴$∠AOB=90°$。
∵$△ABE$和$△OBF$都是等腰直角三角形，
∴$∠ABE=∠OBF=90°$，$BO=FB$，$AB=BE$。
∵$∠ABO+∠ABE+∠HBE=180°$，
∴$∠ABO+∠HBE=180°-∠ABE=90°$，
∴$∠ABO=∠BEH$。
在$△ABO$和$△BEH$中：
$\{\begin{array}{l}∠AOB=∠BHE\\∠ABO=∠BEH\\AB=BE\end{array} $
∴$△ABO≌△BEH$（AAS），
∴$BO=EH$，$OA=HB$，即$EH=FB$。
∵$∠OBF+∠FBP=180°$，
∴$∠FBP=180°-∠OBF=90°$，即$∠FBP=∠EHP=90°$。
在$△FBP$和$△EHP$中：
$\{\begin{array}{l}∠FBP=∠EHP\\∠FPB=∠EPH\\FB=EH\end{array} $
∴$△FBP≌△EHP$（AAS），
∴$PB=PH$。
∵$PB+PH=HB$，
∴$PB=\frac{1}{2}HB$。
又
∵$OA=4$，$HB=OA$，
∴$HB=4$，即$PB=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何动点定值类问题，核心解题思路是通过作垂线构造全等三角形，将未知线段和已知线段的数量关系通过两次全等逐步推导得出，很好地考察了全等三角形的应用能力，解题的关键是准确找到全等三角形的对应角和对应边。
【难度系数】
0.6
19.（6分）（亮点原创）请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）如图①，在△ABC中，AB=AC，D，E两点分别在AB，AC上，且DE//BC，作出△ABC的中线AF；
（2）如图②，在四边形BCED中，BD=CE，∠B=∠C，M为边BC上一点，在边BC上作一点N，使CN=BM.
（1）如图①，在△ABC中，AB=AC，D，E两点分别在AB，AC上，且DE//BC，作出△ABC的中线AF；
（2）如图②，在四边形BCED中，BD=CE，∠B=∠C，M为边BC上一点，在边BC上作一点N，使CN=BM.
答案：
19. (1) 如图①,线段 AF 即为所求.
(2) 如图②,点 N 即为所求.
19. (1) 如图①,线段 AF 即为所求.
(2) 如图②,点 N 即为所求.
解析：
【分析】
（1）第一问中，△ABC是AB=AC的等腰三角形，且DE//BC，整个图形关于BC的垂直平分线（同时是△ABC的中线、高线、顶角角平分线，符合等腰三角形三线合一性质）对称。连接BE、CD，二者的交点必然在这条对称轴上，将该交点与点A连接并延长交BC于F，得到的AF就是△ABC的中线。
（2）第二问中，已知∠B=∠C、BD=CE，延长BD、CE可交于点A，得到等腰△ABC，图形仍关于BC的垂直平分线对称。要得到CN=BM，只需找到M关于对称轴的对称点即可：先作对称轴，再结合对称关系找到E与对称轴的交点，延长后与BC的交点就是所求N，满足对称后对应线段相等。
【解析】
（1）作图步骤：①连接BE、CD，两条线段交于一点；②连接点A与上述交点，延长后交BC于点F，AF即为所求中线。
原理：由AB=AC、DE//BC可推出AD=AE，可证△ABE≌△ACD，因此BE、CD的交点在等腰△ABC的对称轴上，AF即为BC边上的中线。
（2）作图步骤：①分别延长BD、CE，两条延长线交于点A；②连接BE、CD交于点T，连接AT得到对称轴；③连接DM，交AT于点J；④连接EJ并延长，交BC于点N，N即为所求点。
原理：由∠B=∠C可推出AB=AC，结合BD=CE得AD=AE，图形关于AT对称，M、N关于AT对称，因此BM=CN。
【答案】
(1) 如图①,线段 AF 即为所求.
(2) 如图②,点 N 即为所求.
【知识点】
等腰三角形性质，轴对称的性质，全等三角形判定与性质
【点评】
本题是无刻度直尺作图题，核心是利用图形的轴对称特性和等腰三角形的性质确定辅助线，侧重考查几何直观能力、对图形基本性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
（1）第一问中，△ABC是AB=AC的等腰三角形，且DE//BC，整个图形关于BC的垂直平分线（同时是△ABC的中线、高线、顶角角平分线，符合等腰三角形三线合一性质）对称。连接BE、CD，二者的交点必然在这条对称轴上，将该交点与点A连接并延长交BC于F，得到的AF就是△ABC的中线。
（2）第二问中，已知∠B=∠C、BD=CE，延长BD、CE可交于点A，得到等腰△ABC，图形仍关于BC的垂直平分线对称。要得到CN=BM，只需找到M关于对称轴的对称点即可：先作对称轴，再结合对称关系找到E与对称轴的交点，延长后与BC的交点就是所求N，满足对称后对应线段相等。
【解析】
（1）作图步骤：①连接BE、CD，两条线段交于一点；②连接点A与上述交点，延长后交BC于点F，AF即为所求中线。
原理：由AB=AC、DE//BC可推出AD=AE，可证△ABE≌△ACD，因此BE、CD的交点在等腰△ABC的对称轴上，AF即为BC边上的中线。
（2）作图步骤：①分别延长BD、CE，两条延长线交于点A；②连接BE、CD交于点T，连接AT得到对称轴；③连接DM，交AT于点J；④连接EJ并延长，交BC于点N，N即为所求点。
原理：由∠B=∠C可推出AB=AC，结合BD=CE得AD=AE，图形关于AT对称，M、N关于AT对称，因此BM=CN。
【答案】
(1) 如图①,线段 AF 即为所求.
(2) 如图②,点 N 即为所求.
【知识点】
等腰三角形性质，轴对称的性质，全等三角形判定与性质
【点评】
本题是无刻度直尺作图题，核心是利用图形的轴对称特性和等腰三角形的性质确定辅助线，侧重考查几何直观能力、对图形基本性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
20. (6分)如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$CD ⊥ AD$,$∠ DCB = ∠ B$.若$AC=10$,$AB=25$,求$CD$的长.
答案：20. 延长 CD 交 AB 于点 E. 因为 AD 平分$∠BAC$,所以$∠CAD=∠EAD$. 因为 $CD⊥AD$,所以 $∠ADE=∠ADC=90°$. 又 $AD=AD$,所以 $△ADE≌△ADC$(ASA). 所以 $AE=AC,DE=DC$,即 $CE=2CD$.因为$∠DCB=∠B$,所以 $BE=CE$,即 $BE=2CD$. 又$AB=25,AC=10$,所以 $BE=AB-AE=AB-AC=15$,即 $CD=7.5$.
解析：
【分析】
遇到“角平分线+过角边上的点作角平分线的垂线”的图形结构时，常用辅助线是延长这条垂线段，与角的另一边相交，构造全等三角形。本题中AD平分∠BAC且CD⊥AD，因此先延长CD交AB于点E，即可证△ADE和△ADC全等，得到AE=AC、DE=DC；再结合∠DCB=∠B可推出△BEC为等腰三角形，BE=CE=2CD；最后通过AB、AC的长度求出BE的长度，即可计算出CD的长。
【解析】
解：延长CD交AB于点E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD。
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°。
在$△ ADE$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}∠EAD=∠CAD \\AD=AD \\∠ADE=∠ADC\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ ADC$（ASA）。
∴$AE=AC=10$，$DE=DC$，即$CE=2CD$。
∵$∠DCB=∠B$，
∴$BE=CE$，即$BE=2CD$。
∵$AB=25$，
∴$BE=AB-AE=AB-AC=25-10=15$。
∴$2CD=15$，解得$CD=7.5$。
【答案】
$CD$的长为$\boxed{7.5}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题核心考查角平分线相关的常用辅助线构造方法，通过构造全等三角形实现线段的等量转化，再结合等腰三角形的性质建立已知线段和未知线段的联系，是三角形章节的典型几何题，熟练掌握相关模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.65
遇到“角平分线+过角边上的点作角平分线的垂线”的图形结构时，常用辅助线是延长这条垂线段，与角的另一边相交，构造全等三角形。本题中AD平分∠BAC且CD⊥AD，因此先延长CD交AB于点E，即可证△ADE和△ADC全等，得到AE=AC、DE=DC；再结合∠DCB=∠B可推出△BEC为等腰三角形，BE=CE=2CD；最后通过AB、AC的长度求出BE的长度，即可计算出CD的长。
【解析】
解：延长CD交AB于点E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD。
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°。
在$△ ADE$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}∠EAD=∠CAD \\AD=AD \\∠ADE=∠ADC\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ ADC$（ASA）。
∴$AE=AC=10$，$DE=DC$，即$CE=2CD$。
∵$∠DCB=∠B$，
∴$BE=CE$，即$BE=2CD$。
∵$AB=25$，
∴$BE=AB-AE=AB-AC=25-10=15$。
∴$2CD=15$，解得$CD=7.5$。
【答案】
$CD$的长为$\boxed{7.5}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题核心考查角平分线相关的常用辅助线构造方法，通过构造全等三角形实现线段的等量转化，再结合等腰三角形的性质建立已知线段和未知线段的联系，是三角形章节的典型几何题，熟练掌握相关模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.65