8. 如图,在$△ ABC$中,$BC=10$,$AC-AB=4$.过点$C$作$∠ BAC$的平分线的垂线,垂足为$D$,连接$BD$,则$S_{△ BDC}$的最大值为 （
A.10
B.15
C.12
D.14
A
）A.10
B.15
C.12
D.14
答案：
8. A 解析:如图,延长 AB,CD 交于点 E. 因为 AD 平分$∠BAC$,所以 $∠EAD=∠CAD$. 因为 $CD⊥AD$,所以 $∠ADE=∠ADC=90°$. 又 $AD=AD$,所以$△ADE≌△ADC$(ASA). 所以 $AE=AC,DE=DC$. 因为 $AC-AB=4$,所以 $AE-AB=4$,即 $BE=4$. 易得 $S_{△BDC}=\frac{1}{2}S_{△BEC}$,所以当 $S_{△BEC}$ 取最大值时,$S_{△BDC}$ 的值也最大. 过点 E 作 $EH⊥CB$,交 CB 的延长线于点 H. 因为 $BC=10$,所以 $S_{△BEC}=\frac{1}{2}BC·EH=5EH$. 所以当 EH 的长取最大值时,$S_{△BEC}$ 最大. 由垂线段最短,得 $EH≤BE=4$,所以 EH 的长的最大值为 4. 此时 $S_{△BEC}=5EH=20$,所以 $S_{△BDC}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}×20=10$.
8. A 解析:如图,延长 AB,CD 交于点 E. 因为 AD 平分$∠BAC$,所以 $∠EAD=∠CAD$. 因为 $CD⊥AD$,所以 $∠ADE=∠ADC=90°$. 又 $AD=AD$,所以$△ADE≌△ADC$(ASA). 所以 $AE=AC,DE=DC$. 因为 $AC-AB=4$,所以 $AE-AB=4$,即 $BE=4$. 易得 $S_{△BDC}=\frac{1}{2}S_{△BEC}$,所以当 $S_{△BEC}$ 取最大值时,$S_{△BDC}$ 的值也最大. 过点 E 作 $EH⊥CB$,交 CB 的延长线于点 H. 因为 $BC=10$,所以 $S_{△BEC}=\frac{1}{2}BC·EH=5EH$. 所以当 EH 的长取最大值时,$S_{△BEC}$ 最大. 由垂线段最短,得 $EH≤BE=4$,所以 EH 的长的最大值为 4. 此时 $S_{△BEC}=5EH=20$,所以 $S_{△BDC}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}×20=10$.
解析：
【分析】
遇到角平分线+过角边上一点作角平分线的垂线的几何题，通常可以通过延长线段构造全等三角形，利用角平分线的对称性转化边的关系。首先延长AB、CD交于点E，先证明△ADE与△ADC全等，将条件AC-AB=4转化为BE=4；再由D是CE中点可得△BDC的面积是△BEC面积的一半，因此只需先求△BEC的最大面积即可。△BEC的BC边长固定为10，当BC边上的高最大时面积最大，根据垂线段最短可知高的最大值等于BE的长度，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：延长AB，CD交于点E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD。
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°。
在△ADE和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠EAD=∠CAD\\AD=AD\\∠ADE=∠ADC\end{array} $
∴△ADE≌△ADC（ASA）。
∴AE=AC，DE=DC。
∵AC-AB=4，
∴AE-AB=BE=4。
∵D是CE中点，
∴$S_{△BDC}=\frac{1}{2}S_{△BEC}$，即要使$S_{△BDC}$最大，需先使$S_{△BEC}$最大。
过点E作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，则$S_{△BEC}=\frac{1}{2}×BC×EH=\frac{1}{2}×10×EH=5EH$。
根据垂线段最短，可得EH≤BE=4，即EH的最大值为4。
此时$S_{△BEC}$的最大值为$5×4=20$，
∴$S_{△BDC}$的最大值为$\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何综合题型，解题核心是利用角平分线的性质构造全等三角形完成边的等量转化，再结合垂线段最短的性质确定三角形高的最大值，进而求出面积最值，该构造方法是处理角平分线相关垂线问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线+过角边上一点作角平分线的垂线的几何题，通常可以通过延长线段构造全等三角形，利用角平分线的对称性转化边的关系。首先延长AB、CD交于点E，先证明△ADE与△ADC全等，将条件AC-AB=4转化为BE=4；再由D是CE中点可得△BDC的面积是△BEC面积的一半，因此只需先求△BEC的最大面积即可。△BEC的BC边长固定为10，当BC边上的高最大时面积最大，根据垂线段最短可知高的最大值等于BE的长度，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：延长AB，CD交于点E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD。
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°。
在△ADE和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠EAD=∠CAD\\AD=AD\\∠ADE=∠ADC\end{array} $
∴△ADE≌△ADC（ASA）。
∴AE=AC，DE=DC。
∵AC-AB=4，
∴AE-AB=BE=4。
∵D是CE中点，
∴$S_{△BDC}=\frac{1}{2}S_{△BEC}$，即要使$S_{△BDC}$最大，需先使$S_{△BEC}$最大。
过点E作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，则$S_{△BEC}=\frac{1}{2}×BC×EH=\frac{1}{2}×10×EH=5EH$。
根据垂线段最短，可得EH≤BE=4，即EH的最大值为4。
此时$S_{△BEC}$的最大值为$5×4=20$，
∴$S_{△BDC}$的最大值为$\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何综合题型，解题核心是利用角平分线的性质构造全等三角形完成边的等量转化，再结合垂线段最短的性质确定三角形高的最大值，进而求出面积最值，该构造方法是处理角平分线相关垂线问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
9. 新趋势 推导探究 如图，$∠ MON=30°$，点$A_1,A_2,A_3,\dots$在射线$ON$上，点$B_1,B_2,B_3,\dots$在射线$OM$上，$△ A_1B_1A_2,△ A_2B_2A_3,△ A_3B_3A_4,\dots$均为等边三角形。若$OA_1=2$，则$△ A_6B_6A_7$的边长为（
A.16
B.32
C.64
D.128
C
）A.16
B.32
C.64
D.128
答案：9. C 解析: 因为 $△A_1B_1A_2$ 为等边三角形,所以$∠B_1A_1A_2=60°,A_1B_1=A_1A_2$. 又 $∠MON=30°$,所以 $∠A_1B_1O=∠B_1A_1A_2-∠MON=30°$. 所以$∠A_1B_1O=∠MON$. 所以 $A_1B_1=OA_1$. 所以 $A_1A_2=OA_1$,即 $OA_2=2OA_1$. 同理,得 $A_2A_3=A_2B_2=OA_2=2OA_1,A_3A_4=A_3B_3=OA_3=2OA_2=2^2·OA_1$,$A_4A_5=A_4B_4=OA_4=2OA_3=2^3·OA_1$…… 所以$A_nA_{n+1}=A_nB_n=2^{n-1}·OA_1$. 又 $OA_1=2$,所以$A_nB_n=2^n$. 当 $n=6$ 时, $A_6B_6=2^6=64$. 所以$△A_6B_6A_7$ 的边长为 64.
解析：
【分析】
解题时先从第一个等边三角形入手，结合已知的∠MON=30°，利用等边三角形内角为60°的性质，通过角度计算推出第一个等边三角形的边长等于OA₁；接着用同样的方法推导后续等边三角形的边长，总结出边长的变化规律，最后将n=6代入规律即可求出△A₆B₆A₇的边长。
【解析】
解：
∵△A₁B₁A₂为等边三角形，
∴∠B₁A₁A₂=60°，A₁B₁=A₁A₂，
∵∠MON=30°，
∴∠A₁B₁O=∠B₁A₁A₂ - ∠MON=60°-30°=30°，
∴∠A₁B₁O=∠MON，
∴A₁B₁=OA₁=2，
∴A₁A₂=2，即OA₂=OA₁+A₁A₂=4=2×OA₁。
同理可得：
A₂A₃=A₂B₂=OA₂=4=2²，
A₃A₄=A₃B₃=OA₃=8=2³，
……
由此可总结规律：△AₙBₙAₙ₊₁的边长为2ⁿ，
当n=6时，△A₆B₆A₇的边长为2⁶=64。
【答案】C
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定；图形规律探究
【点评】
本题将几何性质和规律探究相结合，需要熟练掌握等边三角形和等腰三角形的相关性质，通过对前几个图形边长的推导归纳出通用规律，考查了逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从第一个等边三角形入手，结合已知的∠MON=30°，利用等边三角形内角为60°的性质，通过角度计算推出第一个等边三角形的边长等于OA₁；接着用同样的方法推导后续等边三角形的边长，总结出边长的变化规律，最后将n=6代入规律即可求出△A₆B₆A₇的边长。
【解析】
解：
∵△A₁B₁A₂为等边三角形，
∴∠B₁A₁A₂=60°，A₁B₁=A₁A₂，
∵∠MON=30°，
∴∠A₁B₁O=∠B₁A₁A₂ - ∠MON=60°-30°=30°，
∴∠A₁B₁O=∠MON，
∴A₁B₁=OA₁=2，
∴A₁A₂=2，即OA₂=OA₁+A₁A₂=4=2×OA₁。
同理可得：
A₂A₃=A₂B₂=OA₂=4=2²，
A₃A₄=A₃B₃=OA₃=8=2³，
……
由此可总结规律：△AₙBₙAₙ₊₁的边长为2ⁿ，
当n=6时，△A₆B₆A₇的边长为2⁶=64。
【答案】C
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定；图形规律探究
【点评】
本题将几何性质和规律探究相结合，需要熟练掌握等边三角形和等腰三角形的相关性质，通过对前几个图形边长的推导归纳出通用规律，考查了逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在等边三角形$ABC$中,$D$,$E$分别为边$AB$,$AC$上的动点,$BD=2AE$,连接$DE$,以$DE$为边在$△ ABC$内部作等边三角形$DEF$,连接$CF$,当点$D$从点$A$向点$B$运动(不运动到点$B$)时,$∠ ECF$大小的变化情况是 (
A.不变
B.变小
C.变大
D.先变大后变小
A
)A.不变
B.变小
C.变大
D.先变大后变小
答案：10. A 解析:在 AC 上截取 $CN=AE$,连接 FN. 因为$△ABC$ 是等边三角形,所以 $∠A=60°,AB=AC$.因为 $BD=2AE,AD=AB-BD,NE=AC-AE-CN$,所以 $AD=NE$. 因为 $△DEF$ 是等边三角形,所以 $DE=EF,∠DEF=60°$. 所以 $∠A=∠DEF=60°$. 因为 $∠DEC=∠ADE+∠A,∠DEC=∠DEF+∠NEF$,所以 $∠ADE=∠NEF$. 所以$△ADE≌△NEF$(SAS). 所以 $AE=NF,∠A=∠FNE$,即 $∠FNE=60°,FN=CN$. 所以 $∠NCF=∠NFC$. 因为 $∠FNE=∠NCF+∠NFC$,所以$∠NCF=30°$,即 $∠ECF=30°$. 所以 $∠ECF$ 大小的变化情况是不变.
方法点拨：解答本类题可以利用题中$∠A=∠DEF=60°$,构造“一线三等角”模型.
方法点拨：解答本类题可以利用题中$∠A=∠DEF=60°$,构造“一线三等角”模型.
解析：
【分析】
首先回忆等边三角形边相等、内角为60°的性质，结合已知BD=2AE与AB=AC的条件，可通过在AC上截取等于AE长的线段构造全等三角形；再利用两个等边三角形提供的等角、等边条件，结合三角形外角性质推导角相等，证明三角形全等后，转化边与角的关系，即可求出∠ECF的度数，判断其是否为定值。
【解析】
在AC上截取$CN=AE$，连接FN。
1. 因为$△ ABC$是等边三角形，所以$∠ A=60°$，$AB=AC$。
2. 已知$BD=2AE$，因此$AD=AB-BD=AB-2AE$；又$NE=AC-AE-CN=AC-2AE$，结合$AB=AC$，可得$AD=NE$。
3. 因为$△ DEF$是等边三角形，所以$DE=EF$，$∠ DEF=60°$，因此$∠ A=∠ DEF=60°$。
4. 根据三角形外角性质，$∠ DEC=∠ ADE+∠ A$，同时$∠ DEC=∠ DEF+∠ NEF$，等量代换可得$∠ ADE=∠ NEF$。
5. 在$△ ADE$和$△ NEF$中：
$\begin{cases} AD=NE \\ ∠ ADE=∠ NEF \\ DE=EF \end{cases}$
所以$△ ADE ≌ △ NEF$（SAS）。
6. 由全等性质得$AE=NF$，$∠ A=∠ FNE=60°$，结合$CN=AE$，得$FN=CN$，因此$△ FNC$为等腰三角形，$∠ NCF=∠ NFC$。
7. 又$∠ FNE$是$△ FNC$的外角，所以$∠ FNE=∠ NCF+∠ NFC=2∠ ECF=60°$，解得$∠ ECF=30°$，是固定值。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何动态问题，解题核心是通过构造辅助线利用“一线三等角”模型证明三角形全等，将动态条件转化为固定的边角关系，能够有效考查几何逻辑推理能力和辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.6
首先回忆等边三角形边相等、内角为60°的性质，结合已知BD=2AE与AB=AC的条件，可通过在AC上截取等于AE长的线段构造全等三角形；再利用两个等边三角形提供的等角、等边条件，结合三角形外角性质推导角相等，证明三角形全等后，转化边与角的关系，即可求出∠ECF的度数，判断其是否为定值。
【解析】
在AC上截取$CN=AE$，连接FN。
1. 因为$△ ABC$是等边三角形，所以$∠ A=60°$，$AB=AC$。
2. 已知$BD=2AE$，因此$AD=AB-BD=AB-2AE$；又$NE=AC-AE-CN=AC-2AE$，结合$AB=AC$，可得$AD=NE$。
3. 因为$△ DEF$是等边三角形，所以$DE=EF$，$∠ DEF=60°$，因此$∠ A=∠ DEF=60°$。
4. 根据三角形外角性质，$∠ DEC=∠ ADE+∠ A$，同时$∠ DEC=∠ DEF+∠ NEF$，等量代换可得$∠ ADE=∠ NEF$。
5. 在$△ ADE$和$△ NEF$中：
$\begin{cases} AD=NE \\ ∠ ADE=∠ NEF \\ DE=EF \end{cases}$
所以$△ ADE ≌ △ NEF$（SAS）。
6. 由全等性质得$AE=NF$，$∠ A=∠ FNE=60°$，结合$CN=AE$，得$FN=CN$，因此$△ FNC$为等腰三角形，$∠ NCF=∠ NFC$。
7. 又$∠ FNE$是$△ FNC$的外角，所以$∠ FNE=∠ NCF+∠ NFC=2∠ ECF=60°$，解得$∠ ECF=30°$，是固定值。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何动态问题，解题核心是通过构造辅助线利用“一线三等角”模型证明三角形全等，将动态条件转化为固定的边角关系，能够有效考查几何逻辑推理能力和辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.6
11. 在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢线用来固定电线杆（如图），这样做的数学原理是
三角形的稳定性
。答案：11. 三角形的稳定性
解析：
【分析】
首先观察固定电线杆的结构：电线杆、两侧的钢线与地面共同围成了三角形结构。回忆三角形的相关特性：和四边形等多边形不同，三角形的三边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，不会轻易发生形变，这个特性就是固定物体的核心原理，由此即可对应到对应的数学知识。
【解析】
观察题图可知，电线杆AO、左侧钢线AB与地面线段BO构成△ABO，电线杆AO、右侧钢线AC与地面线段CO构成△ACO，二者均为三角形结构。三角形具有稳定性，即三角形三边确定后，形状和大小固定，不易发生形变，因此可以让电线杆保持直立，不容易晃动倾倒，所以该做法的数学原理是三角形的稳定性。
【答案】
三角形的稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是数学知识在生活中的实际应用类题目，需要同学们将生活中的实际结构和几何图形对应，结合几何图形的性质解答，注重知识的学以致用。
【难度系数】
0.9
首先观察固定电线杆的结构：电线杆、两侧的钢线与地面共同围成了三角形结构。回忆三角形的相关特性：和四边形等多边形不同，三角形的三边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，不会轻易发生形变，这个特性就是固定物体的核心原理，由此即可对应到对应的数学知识。
【解析】
观察题图可知，电线杆AO、左侧钢线AB与地面线段BO构成△ABO，电线杆AO、右侧钢线AC与地面线段CO构成△ACO，二者均为三角形结构。三角形具有稳定性，即三角形三边确定后，形状和大小固定，不易发生形变，因此可以让电线杆保持直立，不容易晃动倾倒，所以该做法的数学原理是三角形的稳定性。
【答案】
三角形的稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是数学知识在生活中的实际应用类题目，需要同学们将生活中的实际结构和几何图形对应，结合几何图形的性质解答，注重知识的学以致用。
【难度系数】
0.9
12. (2025·四川资阳)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,点E在线段AB上,CE//DA.若使△BCE成为等边三角形,则增加的一个条件是
答案不唯一,如:∠BCE=∠B
.答案：12. 答案不唯一,如:∠BCE=∠B
解析：
【分析】
解题思路：首先根据平行线的性质，结合已知∠A=∠B，先判断出△BCE是等腰三角形，再结合等边三角形的判定定理，添加合适的条件即可。第一步：由CE//DA可得同位角∠A=∠BEC，结合∠A=∠B，可推出∠BEC=∠B，根据等角对等边得到CE=CB，即△BCE为等腰三角形；第二步：回忆等边三角形的判定方法：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，或三边相等的三角形是等边三角形，或三个角都相等的三角形是等边三角形，据此添加符合要求的条件即可。
【解析】
解：
∵CE//AD，
∴∠BEC=∠A（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠A=∠B，
∴∠BEC=∠B，
∴CE=CB（等角对等边），即△BCE是等腰三角形。
要使△BCE为等边三角形，可根据等边三角形的判定添加条件：
如添加∠BCE=∠B，可得∠B=∠BEC=∠BCE，三个角相等的三角形是等边三角形，即可得△BCE为等边三角形；也可添加∠B=60°、BC=BE等条件，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如：∠BCE=∠B
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【点评】
本题是开放性几何题，解题的核心是先结合已知条件推导得出△BCE为等腰三角形，再结合等边三角形的判定规则添加合理条件即可，有助于考查学生对基础几何定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据平行线的性质，结合已知∠A=∠B，先判断出△BCE是等腰三角形，再结合等边三角形的判定定理，添加合适的条件即可。第一步：由CE//DA可得同位角∠A=∠BEC，结合∠A=∠B，可推出∠BEC=∠B，根据等角对等边得到CE=CB，即△BCE为等腰三角形；第二步：回忆等边三角形的判定方法：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，或三边相等的三角形是等边三角形，或三个角都相等的三角形是等边三角形，据此添加符合要求的条件即可。
【解析】
解：
∵CE//AD，
∴∠BEC=∠A（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠A=∠B，
∴∠BEC=∠B，
∴CE=CB（等角对等边），即△BCE是等腰三角形。
要使△BCE为等边三角形，可根据等边三角形的判定添加条件：
如添加∠BCE=∠B，可得∠B=∠BEC=∠BCE，三个角相等的三角形是等边三角形，即可得△BCE为等边三角形；也可添加∠B=60°、BC=BE等条件，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如：∠BCE=∠B
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【点评】
本题是开放性几何题，解题的核心是先结合已知条件推导得出△BCE为等腰三角形，再结合等边三角形的判定规则添加合理条件即可，有助于考查学生对基础几何定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
13. (2026·江苏镇江期末)若一个直角三角形斜边上的中线与高线长分别是6和4,则该直角三角形的面积是
24
.答案：13. 24
解析：
【分析】
解题时首先提取题干关键信息：直角三角形、斜边上的中线长6、斜边上的高4。第一步先利用直角三角形斜边中线的特殊性质求出斜边的长度，第二步将斜边作为三角形的底，结合已知的斜边上的高，代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知斜边上的中线长为6，因此斜边长度为：$2×6=12$
又已知斜边上的高线长为4，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，将斜边作为底代入得：
$S=\frac{1}{2}×12×4=24$
【答案】
24
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的特殊性质，结合面积公式即可快速求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干关键信息：直角三角形、斜边上的中线长6、斜边上的高4。第一步先利用直角三角形斜边中线的特殊性质求出斜边的长度，第二步将斜边作为三角形的底，结合已知的斜边上的高，代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知斜边上的中线长为6，因此斜边长度为：$2×6=12$
又已知斜边上的高线长为4，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，将斜边作为底代入得：
$S=\frac{1}{2}×12×4=24$
【答案】
24
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的特殊性质，结合面积公式即可快速求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
14. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BCA=90°$,$CD$是高,$∠ A=30°$,$BD=4$,则$AB$的长为
16
.答案：14. 16
解析：
【分析】
要解决这道题，我们可以利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质逐步推导。首先根据大直角三角形的已知角度求出∠B的度数，再在Rt△BCD中求出∠BCD的度数，结合已知BD的长度求出BC的长度，最后回到大直角三角形Rt△ABC中，利用30°角的性质求出斜边AB的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BCA=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=60°$，
$\because CD$是AB边上的高，
$\therefore ∠ CDB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ BCD=90°-∠ B=30°$，
根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$BC=2BD$，
$\because BD=4$，
$\therefore BC=2×4=8$，
回到$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ A$所对的直角边为BC，
$\therefore AB=2BC=2×8=16$。
【答案】
16
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题的关键是结合图形找到两个直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，逐步推导即可得到结果，解题时要注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，我们可以利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质逐步推导。首先根据大直角三角形的已知角度求出∠B的度数，再在Rt△BCD中求出∠BCD的度数，结合已知BD的长度求出BC的长度，最后回到大直角三角形Rt△ABC中，利用30°角的性质求出斜边AB的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BCA=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=60°$，
$\because CD$是AB边上的高，
$\therefore ∠ CDB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ BCD=90°-∠ B=30°$，
根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$BC=2BD$，
$\because BD=4$，
$\therefore BC=2×4=8$，
回到$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ A$所对的直角边为BC，
$\therefore AB=2BC=2×8=16$。
【答案】
16
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题的关键是结合图形找到两个直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，逐步推导即可得到结果，解题时要注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.75
15. 如图，在$△ ABC$ 和$△ CDE$ 中，点$A$ 在$DE$ 上，$AB$ 与$CD$ 相交于点$F$，且$BC=DC$，$DE=3$，$∠ BCD=∠ ACE=∠ BAD$，则$AB$ 的长为________。
答案：15. 3
解析：
【分析】
要求AB的长，已知DE的长度，可通过证明△ABC与△EDC全等得到AB=DE。首先推导全等所需的等角条件：①由∠BCD=∠ACE，两角同时加公共角∠ACD可得∠ACB=∠ECD；②由∠BAD=∠BCD，结合对顶角∠AFD=∠BFC，利用三角形内角和为180°可推出∠B=∠D。再结合已知BC=DC，即可用ASA判定两三角形全等，进而得到AB的长度。
【解析】
解：
∵∠BCD=∠ACE，
∴∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD，即∠ACB=∠ECD。
∵∠BAD=∠BCD，∠AFD=∠BFC（对顶角相等），
根据三角形内角和为180°，可得∠BAD+∠D+∠AFD=∠BCD+∠B+∠BFC=180°，
∴∠B=∠D。
在△ABC和△EDC中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠D \\BC=DC \\∠ACB=∠ECD\end{array} $
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=DE，
∵DE=3，
∴AB=3。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，解题核心是利用已知等角关系推导全等所需的对应角相等，结合已知等边证明三角形全等，从而转化线段求长度。
【难度系数】
0.7
要求AB的长，已知DE的长度，可通过证明△ABC与△EDC全等得到AB=DE。首先推导全等所需的等角条件：①由∠BCD=∠ACE，两角同时加公共角∠ACD可得∠ACB=∠ECD；②由∠BAD=∠BCD，结合对顶角∠AFD=∠BFC，利用三角形内角和为180°可推出∠B=∠D。再结合已知BC=DC，即可用ASA判定两三角形全等，进而得到AB的长度。
【解析】
解：
∵∠BCD=∠ACE，
∴∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD，即∠ACB=∠ECD。
∵∠BAD=∠BCD，∠AFD=∠BFC（对顶角相等），
根据三角形内角和为180°，可得∠BAD+∠D+∠AFD=∠BCD+∠B+∠BFC=180°，
∴∠B=∠D。
在△ABC和△EDC中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠D \\BC=DC \\∠ACB=∠ECD\end{array} $
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=DE，
∵DE=3，
∴AB=3。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，解题核心是利用已知等角关系推导全等所需的对应角相等，结合已知等边证明三角形全等，从而转化线段求长度。
【难度系数】
0.7
16. 亮点原创·已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AF ⊥ BC$于点$F$，$D$，$E$两点都在边$BC$上，连接$AD$，$AE$，$∠ BAD = ∠ CAE$。若$BC=6$，$EF=2$，则$CD$的长为
1或5
。答案：16. 1 或 5 解析: 因为 $AB=AC,BC=6,AF⊥BC$,所以 $CF=\frac{1}{2}BC=3,∠AFB=∠AFC=90°$,$∠BAF=∠CAF$. 当 D,E 两点分别在 BF,CF 上时,因为 $∠BAD=∠CAE$,所以 $∠BAF-∠BAD=∠CAF-∠CAE$,即 $∠DAF=∠EAF$. 又 $AF=AF$,所以$△ADF≌△AEF$(ASA). 所以 $DF=EF$. 又$EF=2$,所以 $DF=2$,即 $CD=CF+DF=5$; 当 D,E两点分别在 CF,BF 上时,同理,得$△ADF≌△AEF$(ASA). 所以 $DF=EF=2$. 则 $CD=CF-DF=1$. 综上,CD 的长为 1 或 5.
解析：
【分析】
首先根据等腰三角形$AB=AC$且$AF⊥BC$，利用等腰三角形三线合一的性质，可得$F$是$BC$中点，且$∠BAF=∠CAF$。结合已知$∠BAD=∠CAE$，可推导出$∠DAF=∠EAF$，再结合公共边$AF$和直角相等，可证明$△ ADF$和$△ AEF$全等，得到$DF=EF$。由于$D$、$E$在$BC$上的位置不确定，需分两种情况讨论：一种是$D$在$BF$上、$E$在$CF$上，另一种是$D$在$CF$上、$E$在$BF$上，分别计算$CD$的长度即可。
【解析】
$\because AB=AC$，$AF⊥BC$，$BC=6$，
$\therefore$ 由等腰三角形三线合一的性质可得：$CF=BF=\frac{1}{2}BC=3$，$∠AFB=∠AFC=90°$，$∠BAF=∠CAF$。
分两种情况讨论：
① 当$D$、$E$两点分别在$BF$、$CF$上时：
$\because ∠BAD=∠CAE$，
$\therefore ∠BAF-∠BAD=∠CAF-∠CAE$，即$∠DAF=∠EAF$。
在$△ ADF$和$△ AEF$中：
$\begin{cases}∠DAF=∠EAF \\AF=AF \\∠AFD=∠AFE=90°\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ AEF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore DF=EF=2$，
$\therefore CD=CF+DF=3+2=5$；
② 当$D$、$E$两点分别在$CF$、$BF$上时：
同理可得$△ ADF≌△ AEF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore DF=EF=2$，
$\therefore CD=CF-DF=3-2=1$。
综上，$CD$的长为$1$或$5$。
【答案】
$1$或$5$
【知识点】
等腰三角形三线合一；全等三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形的综合应用题，解题的关键是利用等腰三角形的性质找到全等的判定条件，易错点是未考虑$D$、$E$的位置有两种可能，从而出现漏解的情况，解题时需结合图形全面分析所有可能的位置关系。
【难度系数】
0.6
首先根据等腰三角形$AB=AC$且$AF⊥BC$，利用等腰三角形三线合一的性质，可得$F$是$BC$中点，且$∠BAF=∠CAF$。结合已知$∠BAD=∠CAE$，可推导出$∠DAF=∠EAF$，再结合公共边$AF$和直角相等，可证明$△ ADF$和$△ AEF$全等，得到$DF=EF$。由于$D$、$E$在$BC$上的位置不确定，需分两种情况讨论：一种是$D$在$BF$上、$E$在$CF$上，另一种是$D$在$CF$上、$E$在$BF$上，分别计算$CD$的长度即可。
【解析】
$\because AB=AC$，$AF⊥BC$，$BC=6$，
$\therefore$ 由等腰三角形三线合一的性质可得：$CF=BF=\frac{1}{2}BC=3$，$∠AFB=∠AFC=90°$，$∠BAF=∠CAF$。
分两种情况讨论：
① 当$D$、$E$两点分别在$BF$、$CF$上时：
$\because ∠BAD=∠CAE$，
$\therefore ∠BAF-∠BAD=∠CAF-∠CAE$，即$∠DAF=∠EAF$。
在$△ ADF$和$△ AEF$中：
$\begin{cases}∠DAF=∠EAF \\AF=AF \\∠AFD=∠AFE=90°\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ AEF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore DF=EF=2$，
$\therefore CD=CF+DF=3+2=5$；
② 当$D$、$E$两点分别在$CF$、$BF$上时：
同理可得$△ ADF≌△ AEF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore DF=EF=2$，
$\therefore CD=CF-DF=3-2=1$。
综上，$CD$的长为$1$或$5$。
【答案】
$1$或$5$
【知识点】
等腰三角形三线合一；全等三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形的综合应用题，解题的关键是利用等腰三角形的性质找到全等的判定条件，易错点是未考虑$D$、$E$的位置有两种可能，从而出现漏解的情况，解题时需结合图形全面分析所有可能的位置关系。
【难度系数】
0.6