1. 如果无理数$m$的值介于两个连续正整数之间，即满足$a＜m＜b$（其中$a,b$为连续正整数），那么称无理数$m$的“雅区间”为$(a,b)$。例如：$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}$的“雅区间”为$(2,3)$。若某一无理数的“雅区间”为$(a,b)$，且满足$3＜\sqrt{a}+b≤13$，其中$\begin{cases}x=b, \\ y=\sqrt{a}\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$bx+ay=p$的一组正整数解，则$p=$ ______ 。
答案：33或127 解析: 由题意，得$a,b$为连续正整数，$\sqrt{a}$为正整数，且$3＜\sqrt{a}+b≤13$，所以$a=4$，$b=5$或$a=9$，$b=10$。当$a=4$，$b=5$时，$x=b=5$，$y=\sqrt{a}=2$。则$p=bx+ay=5×5+4×2=33$；当$a=9$，$b=10$时，$x=b=10$，$y=\sqrt{a}=3$。则$p=bx+ay=10×10+9×3=127$。综上，$p=33$或127。
典例② 下表是平方根和立方根的部分内容：
【类比探索】
（1）填写下表：
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：；
（2）① $\frac{81}{16}$的四次方根是，② 0的四次方根是，③ －625（填“有”或“没有”）四次方根；
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：；
【拓展应用】
（3）① 计算：$\sqrt[4]{(-\frac{2}{3})^4} =\_\_\_\_\_\_\sqrt[4]{8}$。
母题分析▶（1）因为$(±1)^4＝1,(±2)^4＝16,(±3)^4＝81$，所以表格中的数据依次为$±1,±2,±3$。类比平方根和立方根的定义，得一般地，如果一个数$x$的四次方等于$a$，即$x^4＝a$，那么这个数$x$就叫作$a$的四次方根。（2）① 因为$(±\frac{3}{2})^4＝\frac{81}{16}$，所以$\frac{81}{16}$的四次方根是$±\frac{3}{2}$；② 0的四次方根是0；③ －625没有四次方根。类比平方根和立方根的性质，得一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根。（3）① $\sqrt[4]{(-\frac{2}{3})^4}＝\frac{2}{3}$；② 因为$(\sqrt{3})^4＝9,(\sqrt[4]{8})^4＝8,9＞8$，所以$\sqrt{3}＞\sqrt[4]{8}$。
【答案】（1）$±1$ $±2$ $±3$ 一般地，如果一个数$x$的四次方等于$a$，即$x^4＝a$，那么这个数$x$就叫作$a$的四次方根
（2）① $±\frac{3}{2}$ ② 0 ③ 没有 一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根
（3）① $\frac{2}{3}$ ② $＞$
【类比探索】
（1）填写下表：
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：；
（2）① $\frac{81}{16}$的四次方根是，② 0的四次方根是，③ －625（填“有”或“没有”）四次方根；
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：；
【拓展应用】
（3）① 计算：$\sqrt[4]{(-\frac{2}{3})^4} =\_\_\_\_\_\_\sqrt[4]{8}$。
母题分析▶（1）因为$(±1)^4＝1,(±2)^4＝16,(±3)^4＝81$，所以表格中的数据依次为$±1,±2,±3$。类比平方根和立方根的定义，得一般地，如果一个数$x$的四次方等于$a$，即$x^4＝a$，那么这个数$x$就叫作$a$的四次方根。（2）① 因为$(±\frac{3}{2})^4＝\frac{81}{16}$，所以$\frac{81}{16}$的四次方根是$±\frac{3}{2}$；② 0的四次方根是0；③ －625没有四次方根。类比平方根和立方根的性质，得一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根。（3）① $\sqrt[4]{(-\frac{2}{3})^4}＝\frac{2}{3}$；② 因为$(\sqrt{3})^4＝9,(\sqrt[4]{8})^4＝8,9＞8$，所以$\sqrt{3}＞\sqrt[4]{8}$。
【答案】（1）$±1$ $±2$ $±3$ 一般地，如果一个数$x$的四次方等于$a$，即$x^4＝a$，那么这个数$x$就叫作$a$的四次方根
（2）① $±\frac{3}{2}$ ② 0 ③ 没有 一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根
（3）① $\frac{2}{3}$ ② $＞$
答案：解：
(1) 表格中$x$对应的数值依次为$\boldsymbol{\pm1}$，$\boldsymbol{\pm2}$，$\boldsymbol{\pm3}$；
四次方根定义：一般地，如果一个数$x$的四次方等于$a$，即$x^4=a$，那么这个数$x$就叫作$a$的四次方根。
(2) ① $\frac{81}{16}$的四次方根是$\boldsymbol{\pm\frac{3}{2}}$；
② 0的四次方根是$\boldsymbol{0}$；
③ $-625$ $\boldsymbol{没有}$四次方根；
四次方根的性质：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根。
(3) ① $\sqrt[4]{(-\frac{2}{3})^4}=\boldsymbol{\frac{2}{3}}$；
② $\sqrt{3}$ $\boldsymbol{＞}$ $\sqrt[4]{8}$。
(1) 表格中$x$对应的数值依次为$\boldsymbol{\pm1}$，$\boldsymbol{\pm2}$，$\boldsymbol{\pm3}$；
四次方根定义：一般地，如果一个数$x$的四次方等于$a$，即$x^4=a$，那么这个数$x$就叫作$a$的四次方根。
(2) ① $\frac{81}{16}$的四次方根是$\boldsymbol{\pm\frac{3}{2}}$；
② 0的四次方根是$\boldsymbol{0}$；
③ $-625$ $\boldsymbol{没有}$四次方根；
四次方根的性质：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根。
(3) ① $\sqrt[4]{(-\frac{2}{3})^4}=\boldsymbol{\frac{2}{3}}$；
② $\sqrt{3}$ $\boldsymbol{＞}$ $\sqrt[4]{8}$。