典例② 定义:用$(a,b)$表示一个数对,其中$a$为任意实数,$b≥0$,记$\sqrt[3]{a}=m$,$-\sqrt{b}=n$,将数对$(m,n)$和$(n,m)$称为数对$(a,b)$的一对“开方对称数对”.例如:数对$(8,25)$的“开方对称数对”为$(2,-5)$和$(-5,2)$.若数对$(a,b)$的一个“开方对称数对”是$(-4,-5)$,则$a+b$的值是.
【思路点拨】情况一:若$(m,n)=(-4,-5)$,则$\sqrt[3]{a}=-4$,$-\sqrt{b}=-5$.所以$a=(-4)^3=-64$,$b=25$.所以$a+b=-64+25=-39$;情况二:若$(n,m)=(-4,-5)$,则$-\sqrt{b}=-4$,$\sqrt[3]{a}=-5$.所以$b=4^2=16$,$a=(-5)^3=-125$.所以$a+b=-125+16=-109$.综上,$a+b$的值是$-39$或$-109$.
【答案】$-39$或$-109$
【要点提示】根据“开方对称数对”的定义,分两种情况讨论求值.
【思路点拨】情况一:若$(m,n)=(-4,-5)$,则$\sqrt[3]{a}=-4$,$-\sqrt{b}=-5$.所以$a=(-4)^3=-64$,$b=25$.所以$a+b=-64+25=-39$;情况二:若$(n,m)=(-4,-5)$,则$-\sqrt{b}=-4$,$\sqrt[3]{a}=-5$.所以$b=4^2=16$,$a=(-5)^3=-125$.所以$a+b=-125+16=-109$.综上,$a+b$的值是$-39$或$-109$.
【答案】$-39$或$-109$
【要点提示】根据“开方对称数对”的定义,分两种情况讨论求值.
答案：解：分两种情况讨论：
情况一：若该“开方对称数对”为$(m,n)$，即$m=-4$，$n=-5$。
由$\sqrt[3]{a}=-4$，得$a=(-4)^3=-64$。
由$-\sqrt{b}=-5$，得$\sqrt{b}=5$，即$b=5^2=25$。
此时$a+b=-64+25=-39$。
情况二：若该“开方对称数对”为$(n,m)$，即$n=-4$，$m=-5$。
由$\sqrt[3]{a}=-5$，得$a=(-5)^3=-125$。
由$-\sqrt{b}=-4$，得$\sqrt{b}=4$，即$b=4^2=16$。
此时$a+b=-125+16=-109$。
综上，$a+b$的值是$-39$或$-109$。
情况一：若该“开方对称数对”为$(m,n)$，即$m=-4$，$n=-5$。
由$\sqrt[3]{a}=-4$，得$a=(-4)^3=-64$。
由$-\sqrt{b}=-5$，得$\sqrt{b}=5$，即$b=5^2=25$。
此时$a+b=-64+25=-39$。
情况二：若该“开方对称数对”为$(n,m)$，即$n=-4$，$m=-5$。
由$\sqrt[3]{a}=-5$，得$a=(-5)^3=-125$。
由$-\sqrt{b}=-4$，得$\sqrt{b}=4$，即$b=4^2=16$。
此时$a+b=-125+16=-109$。
综上，$a+b$的值是$-39$或$-109$。
2.（2026·江苏扬州期中）我们把不超过实数$ x $的最大整数称为$ x $的整数部分，记作$[x]$，又把$ x - [x] $称为$ x $的小数部分，记作$\{x\}$。例如：$[2.5] = 2$，$[\sqrt{5}] = 2$，$[-2.3] = -3$，所以$\{2.5\} = 0.5$，$\{\sqrt{5}\} = \sqrt{5} - 2$，$\{-2.3\} = (-2.3) - (-3) = 0.7$。
（1）$[π] = \_\_\_\_\_\_$，$\{π\} = \_\_\_\_\_\_$，$[-π] = \_\_\_\_\_\_$，$\{-π\} = \_\_\_\_\_\_$；
（2）已知$[4 + \sqrt{7}] = a$，$\{4 + \sqrt{7}\} = b$，则$a^2 + b^2 + 4b$的值为________。
（1）$[π] = \_\_\_\_\_\_$，$\{π\} = \_\_\_\_\_\_$，$[-π] = \_\_\_\_\_\_$，$\{-π\} = \_\_\_\_\_\_$；
（2）已知$[4 + \sqrt{7}] = a$，$\{4 + \sqrt{7}\} = b$，则$a^2 + b^2 + 4b$的值为________。
答案：（1）3 $π-3$ $-4$ $4-π$ 解析: 因为$3＜π＜4$，所以$-4＜-π＜-3$，即$[π]=3$，$\{π\}=π-3$，$[-π]=-4$，$\{-π\}=-π-(-4)=4-π$。
（2）39 解析: 因为$4＜7＜9$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$，即$[\sqrt{7}]=2$。所以$[4+\sqrt{7}]=6$。所以$\{4+\sqrt{7}\}=(4+\sqrt{7})-6=\sqrt{7}-2$。因为$[4+\sqrt{7}]=a$，$\{4+\sqrt{7}\}=b$，所以$a=6$，$b=\sqrt{7}-2$，即$b+2=\sqrt{7}$。又$(b+2)^2=b^2+4b+4$，所以$b^2+4b=(b+2)^2-4$，即$a^2+b^2+4b=a^2+(b+2)^2-4=6^2+(\sqrt{7})^2-4=39$。
（2）39 解析: 因为$4＜7＜9$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$，即$[\sqrt{7}]=2$。所以$[4+\sqrt{7}]=6$。所以$\{4+\sqrt{7}\}=(4+\sqrt{7})-6=\sqrt{7}-2$。因为$[4+\sqrt{7}]=a$，$\{4+\sqrt{7}\}=b$，所以$a=6$，$b=\sqrt{7}-2$，即$b+2=\sqrt{7}$。又$(b+2)^2=b^2+4b+4$，所以$b^2+4b=(b+2)^2-4$，即$a^2+b^2+4b=a^2+(b+2)^2-4=6^2+(\sqrt{7})^2-4=39$。
典例① 小林在学习了估算以后，做了进一步的思考：若一个正数的算术平方根在两个相邻整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根会与其中哪个整数更接近呢？
要研究这个问题，我们可以先从特例入手，得出猜想，再用字母进行一般验证.
（1）2.5的算术平方根在整数1和2之间，且2.5与1和4同样接近，则2.5的算术平方根与整数1和2中的更接近；
（2）请判断56.5的算术平方根在哪两个相邻整数之间，与其中哪个整数更接近？写出你的判断过程；
（3）通过对特例的研究，请写出你的猜想，并进行验证.
母题分析▶（1）利用$1.5^2$和2.5的大小比较确定.（2）先确定56.5的算术平方根在哪两个相邻整数之间，再类比（1）确定与哪个整数最接近.（3）通过（1）（2）进行猜想并证明猜想正确.
【答案】（1）2 解析:因为$1.5^2=2.25$,所以$1.5＜\sqrt{2.5}$.所以2.5的算术平方根与整数2更接近.
（2）因为$7^2=49,8^2=64$,且$49＜56.5＜64$,所以56.5的算术平方根在整数7和8之间.因为
$7.5^2=56.25$,且$56.25＜56.5$,所以$7.5＜\sqrt{56.5}$.所以56.5的算术平方根与整数8更接近.
（3）猜想:若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间,且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近,则这个正数的算术平方根与较大数更接近.验证如下:设$a＜\sqrt{x}＜a+1(a,x$均大于$0)$,且$x=\frac{(a+1)^2+a^2}{2}=a^2+a+\frac{1}{2}$.因为$(a+\frac{1}{2})^2=a^2+a+\frac{1}{4}＜a^2+a+\frac{1}{2}$,所以$x$的算术平方根与$a+1$更接近.
要研究这个问题，我们可以先从特例入手，得出猜想，再用字母进行一般验证.
（1）2.5的算术平方根在整数1和2之间，且2.5与1和4同样接近，则2.5的算术平方根与整数1和2中的更接近；
（2）请判断56.5的算术平方根在哪两个相邻整数之间，与其中哪个整数更接近？写出你的判断过程；
（3）通过对特例的研究，请写出你的猜想，并进行验证.
母题分析▶（1）利用$1.5^2$和2.5的大小比较确定.（2）先确定56.5的算术平方根在哪两个相邻整数之间，再类比（1）确定与哪个整数最接近.（3）通过（1）（2）进行猜想并证明猜想正确.
【答案】（1）2 解析:因为$1.5^2=2.25$,所以$1.5＜\sqrt{2.5}$.所以2.5的算术平方根与整数2更接近.
（2）因为$7^2=49,8^2=64$,且$49＜56.5＜64$,所以56.5的算术平方根在整数7和8之间.因为
$7.5^2=56.25$,且$56.25＜56.5$,所以$7.5＜\sqrt{56.5}$.所以56.5的算术平方根与整数8更接近.
（3）猜想:若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间,且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近,则这个正数的算术平方根与较大数更接近.验证如下:设$a＜\sqrt{x}＜a+1(a,x$均大于$0)$,且$x=\frac{(a+1)^2+a^2}{2}=a^2+a+\frac{1}{2}$.因为$(a+\frac{1}{2})^2=a^2+a+\frac{1}{4}＜a^2+a+\frac{1}{2}$,所以$x$的算术平方根与$a+1$更接近.
答案：解：
（1）$\boldsymbol{2}$
（2）判断过程如下：
因为$7^2=49$，$8^2=64$，且$49＜56.5＜64$，
所以$7＜\sqrt{56.5}＜8$，即56.5的算术平方根在相邻整数7和8之间。
又因为$7.5^2=56.25$，且$56.25＜56.5$，
所以$\sqrt{56.5}＞7.5$，
因此56.5的算术平方根与整数8更接近。
（3）猜想：若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根与较大的整数更接近。
验证如下：
设$a＜\sqrt{x}＜a+1$（$a$，$x$均大于0），由题意得
$x=\frac{a^2+(a+1)^2}{2}=a^2+a+\frac{1}{2}$。
因为$(a+\frac{1}{2})^2=a^2+a+\frac{1}{4}$，且$a^2+a+\frac{1}{4}＜a^2+a+\frac{1}{2}$，
所以$(a+\frac{1}{2})^2 ＜ x$，
可得$\sqrt{x}＞a+\frac{1}{2}$，即$\sqrt{x}$更接近$a+1$，
因此这个正数的算术平方根与较大的整数更接近。
（1）$\boldsymbol{2}$
（2）判断过程如下：
因为$7^2=49$，$8^2=64$，且$49＜56.5＜64$，
所以$7＜\sqrt{56.5}＜8$，即56.5的算术平方根在相邻整数7和8之间。
又因为$7.5^2=56.25$，且$56.25＜56.5$，
所以$\sqrt{56.5}＞7.5$，
因此56.5的算术平方根与整数8更接近。
（3）猜想：若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根与较大的整数更接近。
验证如下：
设$a＜\sqrt{x}＜a+1$（$a$，$x$均大于0），由题意得
$x=\frac{a^2+(a+1)^2}{2}=a^2+a+\frac{1}{2}$。
因为$(a+\frac{1}{2})^2=a^2+a+\frac{1}{4}$，且$a^2+a+\frac{1}{4}＜a^2+a+\frac{1}{2}$，
所以$(a+\frac{1}{2})^2 ＜ x$，
可得$\sqrt{x}＞a+\frac{1}{2}$，即$\sqrt{x}$更接近$a+1$，
因此这个正数的算术平方根与较大的整数更接近。