10. (2026·江苏徐州期中)用四舍五入法将2 330万精确到百万位是
$2.3×10^7$
.答案：$2.3×10^7$ 解析: 先确定百万位上的数字是3，再看下一位(十万位)上的数字是3，由四舍五入，得近似值，即2 330万$\approx2.3×10^7$(精确到百万位)。
典例① 观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① $\sqrt{1^3}=1$；
② $\sqrt{1^3+2^3}=1+2=3$；
③ $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=1+2+3=6$；
④ $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=1+2+3+4=10$。
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=($ ______ $)^2=$ ______；
（2）$\sqrt{1^3+2^3+3^3+···+(n-1)^3+n^3}=$ ______（用含$n$的代数式表示）；
（3）简便计算：$11^3+12^3+13^3+···+19^3+20^3$。
【思路点拨】（1）根据算式所呈现的规律填写；（2）得到$\sqrt{1^3+2^3+3^3+···+(n-1)^3+n^3}=1+2+3+···+(n-1)+n$是解题的关键，再利用前后相加法求和即可；（3）需要将算式转化为从1开始连续自然数的立方和，再利用规律解题。
【答案】（1）$1+2+3+4+5$ $225$
（2）$\dfrac{n(n+1)}{2}$
（3）由（2），得$11^3+12^3+13^3+···+19^3+20^3=1^3+2^3+3^3+···+19^3+20^3-(1^3+2^3+3^3+···+9^3+10^3)=(\dfrac{20×21}{2})^2-(\dfrac{10×11}{2})^2=44100-3025=41075$。
① $\sqrt{1^3}=1$；
② $\sqrt{1^3+2^3}=1+2=3$；
③ $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=1+2+3=6$；
④ $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=1+2+3+4=10$。
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=($ ______ $)^2=$ ______；
（2）$\sqrt{1^3+2^3+3^3+···+(n-1)^3+n^3}=$ ______（用含$n$的代数式表示）；
（3）简便计算：$11^3+12^3+13^3+···+19^3+20^3$。
【思路点拨】（1）根据算式所呈现的规律填写；（2）得到$\sqrt{1^3+2^3+3^3+···+(n-1)^3+n^3}=1+2+3+···+(n-1)+n$是解题的关键，再利用前后相加法求和即可；（3）需要将算式转化为从1开始连续自然数的立方和，再利用规律解题。
【答案】（1）$1+2+3+4+5$ $225$
（2）$\dfrac{n(n+1)}{2}$
（3）由（2），得$11^3+12^3+13^3+···+19^3+20^3=1^3+2^3+3^3+···+19^3+20^3-(1^3+2^3+3^3+···+9^3+10^3)=(\dfrac{20×21}{2})^2-(\dfrac{10×11}{2})^2=44100-3025=41075$。
答案：解：
（1）根据算式呈现的规律可得：
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=(1+2+3+4+5)^2=225$
故依次填写：$1+2+3+4+5$；$225$。
（2）由规律可知$\sqrt{1^3+2^3+\dots+n^3}=1+2+3+\dots+n$，
根据等差数列求和公式得$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，
故$\sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+(n-1)^3+n^3}=\frac{n(n+1)}{2}$。
（3）简便计算过程：
$\begin{aligned}11^3+12^3+13^3+\dots+19^3+20^3&=(1^3+2^3+3^3+\dots+20^3)-(1^3+2^3+3^3+\dots+10^3)\\&=(\frac{20×21}{2})^2-(\frac{10×11}{2})^2\\&=210^2-55^2\\&=44100-3025\\&=41075\end{aligned}$
（1）根据算式呈现的规律可得：
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=(1+2+3+4+5)^2=225$
故依次填写：$1+2+3+4+5$；$225$。
（2）由规律可知$\sqrt{1^3+2^3+\dots+n^3}=1+2+3+\dots+n$，
根据等差数列求和公式得$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，
故$\sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+(n-1)^3+n^3}=\frac{n(n+1)}{2}$。
（3）简便计算过程：
$\begin{aligned}11^3+12^3+13^3+\dots+19^3+20^3&=(1^3+2^3+3^3+\dots+20^3)-(1^3+2^3+3^3+\dots+10^3)\\&=(\frac{20×21}{2})^2-(\frac{10×11}{2})^2\\&=210^2-55^2\\&=44100-3025\\&=41075\end{aligned}$
1. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地在数轴上用点$ A_1 $表示$ \sqrt{2} $. 记点$ A_1 $右侧最近的整数点为点$ B_1 $，以点$ B_1 $为圆心，$ A_1B_1 $的长为半径画半圆，交数轴于点$ A_2 $；记点$ A_2 $右侧最近的整数点为点$ B_2 $，以点$ B_2 $为圆心，$ A_2B_2 $的长为半径画半圆，交数轴于点$ A_3 $，如此继续，则$ A_{2026}B_{2026} $的长为
$\sqrt{2}-1$
.答案：$\sqrt{2}-1$ 解析: 由题意，得点$A_1$表示的数为$\sqrt{2}$。因为$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$。所以点$B_1$表示的数为2。所以$A_1B_1=2-\sqrt{2}$，即点$A_2$表示的数为$2+2-\sqrt{2}=4-\sqrt{2}$。因为$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$-2＜-\sqrt{2}＜-1$。所以$2＜4-\sqrt{2}＜3$。所以点$B_2$表示的数为3。所以$A_2B_2=3-(4-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$。同理，得$A_3B_3=2-\sqrt{2}$，$A_4B_4=\sqrt{2}-1$，$A_5B_5=2-\sqrt{2}$，$A_6B_6=\sqrt{2}-1$……以此类推，当$n$为奇数时，$A_nB_n=2-\sqrt{2}$；当$n$为偶数时，$A_nB_n=\sqrt{2}-1$。所以$A_{2026}B_{2026}=\sqrt{2}-1$。