典例① 如图，在四边形ABCD中，$∠ BAD=90°$，$AB=BC=AD=5$，$AC⊥ CD$，则$CD^2=$.
【思路点拨】过点B作$BE⊥ AC$于点E，则$∠ AEB=90°$.所以$∠ ABE+∠ BAC=90°$.又$∠ BAD=90°$，所以$∠ BAC+∠ DAC=90°$，即$∠ ABE=∠ DAC$.又$AB=BC$，$AC⊥ CD$，所以$AC=2AE$，$∠ DCA=90°$，即$∠ AEB=∠ DCA$.又$AB=DA$，所以$△ ABE≌△ DAC$（AAS）.所以$AE=DC$，即$AC=2DC$.设$CD=x$，则$AC=2x$.在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=5$，由勾股定理，得$AC^2+CD^2=AD^2$，所以$(2x)^2+x^2=25$，即$x^2=5$.所以$CD^2=x^2=5$.
【答案】5
【思路点拨】过点B作$BE⊥ AC$于点E，则$∠ AEB=90°$.所以$∠ ABE+∠ BAC=90°$.又$∠ BAD=90°$，所以$∠ BAC+∠ DAC=90°$，即$∠ ABE=∠ DAC$.又$AB=BC$，$AC⊥ CD$，所以$AC=2AE$，$∠ DCA=90°$，即$∠ AEB=∠ DCA$.又$AB=DA$，所以$△ ABE≌△ DAC$（AAS）.所以$AE=DC$，即$AC=2DC$.设$CD=x$，则$AC=2x$.在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=5$，由勾股定理，得$AC^2+CD^2=AD^2$，所以$(2x)^2+x^2=25$，即$x^2=5$.所以$CD^2=x^2=5$.
【答案】5
答案：$\boldsymbol{5}$
解析：
解：
过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$，则$∠ AEB=90°$。
$\because AB=BC$，$BE⊥ AC$，
$\therefore AC=2AE$（等腰三角形三线合一）。
$\because ∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ DAC = 90°$。
又$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABE + ∠ BAC = 90°$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ DAC$。
$\because AC⊥ CD$，
$\therefore ∠ DCA = 90° = ∠ AEB$。
在$△ ABE$和$△ DAC$中：
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ DCA \\∠ ABE = ∠ DAC \\AB = DA\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ DAC \ (\mathrm{AAS})$。
$\therefore AE = CD$，结合$AC=2AE$可得$AC=2CD$。
设$CD=x$，则$AC=2x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC^2 + CD^2 = AD^2$，
代入$AD=5$，得$(2x)^2 + x^2 = 5^2$，
即$5x^2 = 25$，
解得$x^2=5$，
即$CD^2=5$。
最终
过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$，则$∠ AEB=90°$。
$\because AB=BC$，$BE⊥ AC$，
$\therefore AC=2AE$（等腰三角形三线合一）。
$\because ∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ DAC = 90°$。
又$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABE + ∠ BAC = 90°$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ DAC$。
$\because AC⊥ CD$，
$\therefore ∠ DCA = 90° = ∠ AEB$。
在$△ ABE$和$△ DAC$中：
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ DCA \\∠ ABE = ∠ DAC \\AB = DA\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ DAC \ (\mathrm{AAS})$。
$\therefore AE = CD$，结合$AC=2AE$可得$AC=2CD$。
设$CD=x$，则$AC=2x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC^2 + CD^2 = AD^2$，
代入$AD=5$，得$(2x)^2 + x^2 = 5^2$，
即$5x^2 = 25$，
解得$x^2=5$，
即$CD^2=5$。
最终
1. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,分别以$△ ABC$的三条边为直角边作三个等腰直角三角形:$△ ABD$、$△ ACE$和$△ BCF$.若图中阴影部分的面积$S_1=6.5,S_2=3.5,S_3=5.5$,则$S_4=$
2.5
.答案：2.5 解析:设两个空白部分的面积之和为 S,△ABC 的边 BC,AC,AB 的长分别为 a,b,c. 因为△ABD、△ACE 和 △BCF 均为等腰直角三角形,所以$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} AB^2 = \frac{1}{2} c^2$,$S_{△ ACE} = \frac{1}{2} AC^2 = \frac{1}{2} b^2$,$S_{△ BCF} = \frac{1}{2} BC^2 = \frac{1}{2} a^2$. 因为$∠BAC = 90°$,所以$AC^2+AB^2=BC^2$,所以$b^2+c^2=a^2$,即$\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}a^2$. 所以$S_{△ ACE}+S_{△ ABD}=S_{△ BCF}$. 所以$S_4+S+S_1=S_2+S+S_3$,即$S_4+S_1=S_2+S_3$. 又$S_1=6.5,S_2=3.5,S_3=5.5$,所以$S_4+6.5=3.5+5.5$,即$S_4=2.5$.
典例② 新素养 推理能力 将等腰直角三角板按如图所示的方式放置，直角顶点C在直线m上，分别过A，B两点作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D.
(1) 求证:CE=BD；
(2) 若在$Rt△ AEC$中，CE，AE，AC的长分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理.
【思路点拨】(1) 此图符合“一线三等角”模型，可证$△ CAE≌△ BCD$，得$CE=BD$.(2) 分别用两种不同的方法计算梯形AEDB的面积，借助等积法来验证.
【答案】(1) 由题意，得$AC=CB$，$∠ ACB=90°$.所以$∠ ACE+∠ BCD=180°-∠ ACB=90°$.因为$AE⊥ m$，$BD⊥ m$，所以$∠ CEA=∠ BDC=90°$.所以$∠ ACE+∠ CAE=90°$.所以$∠ CAE=∠ BCD$.所以$△ CAE≌△ BCD(AAS)$.所以$CE=BD$.
(2) 由(1)，得$△ CAE≌△ BCD$，所以$CE=BD$，$AE=CD$.又$CE=a$，$AE=b$，$AC=c$，所以$BD=a$，$CD=b$，$BC=c$，即$DE=a+b$.所以$S_{梯形AEDB}=\frac{1}{2}(BD+AE)· DE=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$.又$S_{梯形AEDB}=S_{△ CAE}+S_{△ BCD}+S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，所以$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=ab+\frac{1}{2}c^2$.整理，得$a^2+b^2=c^2$.
(1) 求证:CE=BD；
(2) 若在$Rt△ AEC$中，CE，AE，AC的长分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理.
【思路点拨】(1) 此图符合“一线三等角”模型，可证$△ CAE≌△ BCD$，得$CE=BD$.(2) 分别用两种不同的方法计算梯形AEDB的面积，借助等积法来验证.
【答案】(1) 由题意，得$AC=CB$，$∠ ACB=90°$.所以$∠ ACE+∠ BCD=180°-∠ ACB=90°$.因为$AE⊥ m$，$BD⊥ m$，所以$∠ CEA=∠ BDC=90°$.所以$∠ ACE+∠ CAE=90°$.所以$∠ CAE=∠ BCD$.所以$△ CAE≌△ BCD(AAS)$.所以$CE=BD$.
(2) 由(1)，得$△ CAE≌△ BCD$，所以$CE=BD$，$AE=CD$.又$CE=a$，$AE=b$，$AC=c$，所以$BD=a$，$CD=b$，$BC=c$，即$DE=a+b$.所以$S_{梯形AEDB}=\frac{1}{2}(BD+AE)· DE=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$.又$S_{梯形AEDB}=S_{△ CAE}+S_{△ BCD}+S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，所以$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=ab+\frac{1}{2}c^2$.整理，得$a^2+b^2=c^2$.
答案：证明：(1) 由题意得，$AC=CB$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACE + ∠ BCD = 180° - ∠ ACB = 90°$。
$\because AE ⊥ m$，$BD ⊥ m$，
$\therefore ∠ CEA = ∠ BDC = 90°$，
$\therefore ∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
$\therefore ∠ CAE = ∠ BCD$。
在$△ CAE$和$△ BCD$中，
$\begin{cases}∠ CEA = ∠ BDC \\∠ CAE = ∠ BCD \\AC = CB\end{cases}$
$\therefore △ CAE ≌ △ BCD \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore CE = BD$。
(2) 由(1)的全等结论可得：$CE=BD$，$AE=CD$。
$\because CE=a$，$AE=b$，$AC=c$，
$\therefore BD=a$，$CD=b$，$BC=c$，
$\therefore DE = CE + CD = a + b$。
计算梯形$AEDB$的面积：
$S_{\mathrm{梯形}AEDB} = \frac{1}{2}(AE + BD) · DE = \frac{1}{2}(b+a)(a+b) = \frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2$。
同时梯形$AEDB$的面积也可表示为三个三角形面积之和：
$S_{\mathrm{梯形}AEDB} = S_{△ CAE} + S_{△ BCD} + S_{△ ABC}$
$= \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$
$= ab + \frac{1}{2}c^2$。
因此可得等式：
$\frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$，
整理后得：$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
$\therefore ∠ ACE + ∠ BCD = 180° - ∠ ACB = 90°$。
$\because AE ⊥ m$，$BD ⊥ m$，
$\therefore ∠ CEA = ∠ BDC = 90°$，
$\therefore ∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
$\therefore ∠ CAE = ∠ BCD$。
在$△ CAE$和$△ BCD$中，
$\begin{cases}∠ CEA = ∠ BDC \\∠ CAE = ∠ BCD \\AC = CB\end{cases}$
$\therefore △ CAE ≌ △ BCD \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore CE = BD$。
(2) 由(1)的全等结论可得：$CE=BD$，$AE=CD$。
$\because CE=a$，$AE=b$，$AC=c$，
$\therefore BD=a$，$CD=b$，$BC=c$，
$\therefore DE = CE + CD = a + b$。
计算梯形$AEDB$的面积：
$S_{\mathrm{梯形}AEDB} = \frac{1}{2}(AE + BD) · DE = \frac{1}{2}(b+a)(a+b) = \frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2$。
同时梯形$AEDB$的面积也可表示为三个三角形面积之和：
$S_{\mathrm{梯形}AEDB} = S_{△ CAE} + S_{△ BCD} + S_{△ ABC}$
$= \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$
$= ab + \frac{1}{2}c^2$。
因此可得等式：
$\frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$，
整理后得：$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。