2. 新趋势 传统文化 我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示就用了这种分割方法.若$AE=6$，正方形$ODCE$的边长为2，则$BD$的长为
4
. 答案：4 解析:由题意,得 OF=OD=OE=CE=CD=2,AF=AE=6,BF=BD,∠C=90°,所以 AC=8. 设 BF=BD=x,则 BC=2+x,AB=6+x. 又$AC^2+BC^2=AB^2$,所以$8^2+(2+x)^2=(6+x)^2$,解得 x=4. 则 BD 的长为 4.
典例③ 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB=9 m，BC=12 m，CD=8 m，AD=17 m，且∠ABC=90°，则这块菜地的面积为 m²。
【思路点拨】如图，连接AC。因为∠ABC=90°，AB=9 m，BC=12 m，所以AC=√(AB²+BC²)=15 m。又CD=8 m，AD=17 m，所以AC²+CD²=AD²，即△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。所以四边形ABCD的面积为S△ABC + S△ACD = (1/2)AB·BC + (1/2)AC·CD = 114 m²，即这块菜地的面积为114 m²。
【答案】114
【思路点拨】如图，连接AC。因为∠ABC=90°，AB=9 m，BC=12 m，所以AC=√(AB²+BC²)=15 m。又CD=8 m，AD=17 m，所以AC²+CD²=AD²，即△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。所以四边形ABCD的面积为S△ABC + S△ACD = (1/2)AB·BC + (1/2)AC·CD = 114 m²，即这块菜地的面积为114 m²。
【答案】114
答案：$\boldsymbol{114}$
解析：
解：连接AC。
∵ ∠ABC=90°，AB=9 m，BC=12 m，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\ \mathrm{m}$。
∵ CD=8 m，AD=17 m，
∴ $AC^2+CD^2=15^2+8^2=289$，$AD^2=17^2=289$，
∴ $AC^2+CD^2=AD^2$，
∴ △ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}AB· BC+\frac{1}{2}AC· CD$
$=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×15×8$
$=54+60=114\ \mathrm{m}^2$。
∵ ∠ABC=90°，AB=9 m，BC=12 m，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\ \mathrm{m}$。
∵ CD=8 m，AD=17 m，
∴ $AC^2+CD^2=15^2+8^2=289$，$AD^2=17^2=289$，
∴ $AC^2+CD^2=AD^2$，
∴ △ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}AB· BC+\frac{1}{2}AC· CD$
$=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×15×8$
$=54+60=114\ \mathrm{m}^2$。
3. 如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，BD为边AC上的中线，且BD=4，求△ABC的面积。
答案：延长 BD 到点 E,使 DE=BD,连接 CE. 因为 BD 为边 AC 上的中线,所以 AD=CD. 又∠ADB=∠CDE,所以△ADB≌△CDE(SAS). 所以 AB=CE,$S_{△ ADB}=S_{△ CDE}$. 又 AB=10,BD=4,所以 CE=10,DE=4,即 BE=BD+DE=8. 又 BC=6,所以$BC^2+BE^2=100=CE^2$,即∠CBE=90°. 所以$S_{△ CBE}=\frac{1}{2}BC·BE=24$. 所以$S_{△ ABC}=S_{△ ADB}+S_{△ BCD}=S_{△ CDE}+S_{△ BCD}=S_{△ CBE}=24$.
典例④ 如图，A，B，C，D四点均在正方形格点上，则$∠ DAC - ∠ BAC =$°。
【思路点拨】如图，取格点E，连接AE，DE。由勾股定理，得$AD=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$AB=AE=DE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。所以$AD^2=AE^2+DE^2$。所以$∠ AED=90°$，即$△ ADE$为等腰直角三角形。则$∠ DAE=∠ ADE=45°$。因为$AC ⊥ BE$，所
以$∠ BAC=∠ EAC$。所以$∠ DAE=∠ DAC - ∠ EAC=∠ DAC - ∠ BAC$。所以$∠ DAC - ∠ BAC=45°$。
【答案】45
名师大招▶网格中求角的和差，先用勾股定理求出线段长，再构造全等三角形或等腰三角形或直角三角形，把两个角转化成一个新角。
【思路点拨】如图，取格点E，连接AE，DE。由勾股定理，得$AD=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$AB=AE=DE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。所以$AD^2=AE^2+DE^2$。所以$∠ AED=90°$，即$△ ADE$为等腰直角三角形。则$∠ DAE=∠ ADE=45°$。因为$AC ⊥ BE$，所
以$∠ BAC=∠ EAC$。所以$∠ DAE=∠ DAC - ∠ EAC=∠ DAC - ∠ BAC$。所以$∠ DAC - ∠ BAC=45°$。
【答案】45
名师大招▶网格中求角的和差，先用勾股定理求出线段长，再构造全等三角形或等腰三角形或直角三角形，把两个角转化成一个新角。
答案：$\boldsymbol{45}$
解析：
解：取格点E，连接AE，DE，设每个小正方形的边长为1。
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$AB=AE=DE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
因此$AD^2=10$，$AE^2+DE^2=5+5=10$，即$AD^2=AE^2+DE^2$。
所以$△ AED$是直角三角形，
又因为$AE=DE$，所以$△ ADE$为等腰直角三角形，
可得$∠ DAE=45°$。
由图可知$AC⊥ BE$，且$AB=AE$，根据等腰三角形三线合一性质，得$∠ BAC=∠ EAC$。
因此$∠ DAE=∠ DAC-∠ EAC=∠ DAC-∠ BAC$，
即$∠ DAC-∠ BAC=45°$。
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$AB=AE=DE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
因此$AD^2=10$，$AE^2+DE^2=5+5=10$，即$AD^2=AE^2+DE^2$。
所以$△ AED$是直角三角形，
又因为$AE=DE$，所以$△ ADE$为等腰直角三角形，
可得$∠ DAE=45°$。
由图可知$AC⊥ BE$，且$AB=AE$，根据等腰三角形三线合一性质，得$∠ BAC=∠ EAC$。
因此$∠ DAE=∠ DAC-∠ EAC=∠ DAC-∠ BAC$，
即$∠ DAC-∠ BAC=45°$。