4. 如图,在边长为1的小正方形网格中,△ABC和△ADE的顶点都在小正方形网格的格点上,则∠ABC+∠ADE=
45°
。答案：
45° 解析:如图,取格点 F,连接 BF,CF. 由题意,得 AE=FE=1,∠AED=∠FEB=90°,DE=BE=2,所以△AED≌△FEB(SAS). 所以∠ADE=∠FBE. 所以∠ABC+∠ADE=∠ABC+∠FBE=∠FBC. 由勾股定理,得$BF^2=1^2+2^2=5$,$BC^2=1^2+3^2=10$,$CF^2=1^2+2^2=5$,所以 BF=CF,$BF^2+CF^2=BC^2$. 所以△BFC 为等腰直角三角形,且∠BFC=90°. 所以∠FBC=45°,即∠ABC+∠ADE=45°.
45° 解析:如图,取格点 F,连接 BF,CF. 由题意,得 AE=FE=1,∠AED=∠FEB=90°,DE=BE=2,所以△AED≌△FEB(SAS). 所以∠ADE=∠FBE. 所以∠ABC+∠ADE=∠ABC+∠FBE=∠FBC. 由勾股定理,得$BF^2=1^2+2^2=5$,$BC^2=1^2+3^2=10$,$CF^2=1^2+2^2=5$,所以 BF=CF,$BF^2+CF^2=BC^2$. 所以△BFC 为等腰直角三角形,且∠BFC=90°. 所以∠FBC=45°,即∠ABC+∠ADE=45°.
典例⑤ 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，点$D$在边$BC$上，把$△ ABC$沿直线$AD$折叠，使得点$B$的对应点$B'$落在$AC$的延长线上，则$CD=\_\_\_\_\_\_$。
【思路点拨】因为$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，所以$∠ B'CD=180°-∠ ACB=90°$。由勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$。由折叠的性质，得$AB'=AB=10$，$B'D=BD$，所以$B'C=4$。设$CD=x$，则$B'D=BD=BC-CD=8-x$。又$CD^2+B'C^2=B'D^2$，所以$x^2+4^2=(8-x)^2$，解得$x=3$。则$CD=3$。
【答案】3
【名师大招▶解决折叠问题，主要分为三步：① 找：找对应线段、对应角；② 设：设未知数，并用未知数表示其他线段长；③ 列：根据等量关系列方程。】
【思路点拨】因为$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，所以$∠ B'CD=180°-∠ ACB=90°$。由勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$。由折叠的性质，得$AB'=AB=10$，$B'D=BD$，所以$B'C=4$。设$CD=x$，则$B'D=BD=BC-CD=8-x$。又$CD^2+B'C^2=B'D^2$，所以$x^2+4^2=(8-x)^2$，解得$x=3$。则$CD=3$。
【答案】3
【名师大招▶解决折叠问题，主要分为三步：① 找：找对应线段、对应角；② 设：设未知数，并用未知数表示其他线段长；③ 列：根据等量关系列方程。】
答案：解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
由折叠的性质可知：$AB'=AB=10$，$B'D=BD$。
$\therefore B'C=AB'-AC=10-6=4$。
设$CD=x$，则$BD=BC-CD=8-x$，即$B'D=8-x$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ B'CD=180°-∠ ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ B'CD$中，由勾股定理得：
$CD^2+B'C^2=B'D^2$，
即$x^2+4^2=(8-x)^2$，
整理得$16x=48$，
解得$x=3$。
$\therefore CD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
由折叠的性质可知：$AB'=AB=10$，$B'D=BD$。
$\therefore B'C=AB'-AC=10-6=4$。
设$CD=x$，则$BD=BC-CD=8-x$，即$B'D=8-x$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ B'CD=180°-∠ ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ B'CD$中，由勾股定理得：
$CD^2+B'C^2=B'D^2$，
即$x^2+4^2=(8-x)^2$，
整理得$16x=48$，
解得$x=3$。
$\therefore CD=3$。
5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=6$,$BC=4$,$D$是$AC$的中点,$E$是$BC$上一点,连接$BD$,$DE$.将$△ CDE$沿$DE$翻折,点$C$落在$BD$上的点$F$处,则$CE$的长是（
A.$1.5$
B.$2$
C.$2.5$
D.$3$
A
）A.$1.5$
B.$2$
C.$2.5$
D.$3$
答案：A 解析:因为 AC=6,D 为 AC 的中点,所以 CD=3. 又∠C=90°,BC=4,所以$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=5$. 由折叠的性质,得 DF=CD=3,EF=CE,∠EFD=∠C=90°,所以 BF=2,∠BFE=90°. 设 EF=CE=x,则 BE=4-x. 又$EF^2+BF^2=BE^2$,所以$x^2+2^2=(4-x)^2$,解得 x=1.5. 则 CE 的长为 1.5.
典例 如图，在等边三角形ABC中，点P在其内部，且$BP=12$，$CP=5$，$∠ CPB=150°$，将$△ ABP$绕点B按逆时针方向旋转$60°$得到$△ CBD$.
（1）求点P与点D之间的距离；
（2）求线段AP的长.
【思路点拨】作辅助线构建等边三角形与直角三角形.
【答案】（1）如图，连接PD.因为$△ ABC$是等边三角形，所以$∠ ABC=60°$，$BA=BC$.因为$△ CBD$是$△ ABP$绕点B按逆时针方向旋转$60°$得到的，所以$△ CBD ≌ △ ABP$.所以$BP=BD$，$∠ PBD=60°$.所以$△ PBD$是等边三角形.所以$PD=BP$.又$BP=12$，所以$PD=12$，即点P与点D之间的距离是12.
（2）由（1），得$△ CBD ≌ △ ABP$，$△ PBD$是等边三角形，$PD=12$，所以$AP=CD$，$∠ BPD=60°$.因为$∠ CPB=150°$，所以$∠ DPC=90°$，即$△ PCD$是直角三角形.所以$CP^2 + PD^2 = CD^2$.又$CP=5$，所以$CD^2=5^2 + 12^2$，即$CD=13$.所以$AP=13$.
【要点提示】（1）连接PD.根据等边三角形的判定和性质以及旋转的性质得出$△ PBD$是等边三角形；（2）利用等边三角形的性质确定$△ PCD$是直角三角形，再运用勾股定理解答.
（1）求点P与点D之间的距离；
（2）求线段AP的长.
【思路点拨】作辅助线构建等边三角形与直角三角形.
【答案】（1）如图，连接PD.因为$△ ABC$是等边三角形，所以$∠ ABC=60°$，$BA=BC$.因为$△ CBD$是$△ ABP$绕点B按逆时针方向旋转$60°$得到的，所以$△ CBD ≌ △ ABP$.所以$BP=BD$，$∠ PBD=60°$.所以$△ PBD$是等边三角形.所以$PD=BP$.又$BP=12$，所以$PD=12$，即点P与点D之间的距离是12.
（2）由（1），得$△ CBD ≌ △ ABP$，$△ PBD$是等边三角形，$PD=12$，所以$AP=CD$，$∠ BPD=60°$.因为$∠ CPB=150°$，所以$∠ DPC=90°$，即$△ PCD$是直角三角形.所以$CP^2 + PD^2 = CD^2$.又$CP=5$，所以$CD^2=5^2 + 12^2$，即$CD=13$.所以$AP=13$.
【要点提示】（1）连接PD.根据等边三角形的判定和性质以及旋转的性质得出$△ PBD$是等边三角形；（2）利用等边三角形的性质确定$△ PCD$是直角三角形，再运用勾股定理解答.
答案：解：
(1) 连接PD。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=60°，BA=BC。
∵ △CBD是△ABP绕点B按逆时针方向旋转60°得到的，
∴ △CBD≌△ABP，
∴ BP=BD，∠PBD=60°，
∴ △PBD是等边三角形，
∴ PD=BP。
又∵ BP=12，
∴ PD=12，即点P与点D之间的距离是12。
(2) 由(1)得△CBD≌△ABP，△PBD是等边三角形，PD=12，
∴ AP=CD，∠BPD=60°。
∵ ∠CPB=150°，
∴ ∠DPC=∠CPB - ∠BPD=150°-60°=90°，即△PCD是直角三角形。
在Rt△PCD中，由勾股定理得：$CP^2 + PD^2 = CD^2$，
∵ CP=5，
∴ $CD^2=5^2 + 12^2=169$，
∴ CD=13，
∴ AP=13。
答：(1) 点P与点D之间的距离为12；(2) 线段AP的长为13。
(1) 连接PD。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=60°，BA=BC。
∵ △CBD是△ABP绕点B按逆时针方向旋转60°得到的，
∴ △CBD≌△ABP，
∴ BP=BD，∠PBD=60°，
∴ △PBD是等边三角形，
∴ PD=BP。
又∵ BP=12，
∴ PD=12，即点P与点D之间的距离是12。
(2) 由(1)得△CBD≌△ABP，△PBD是等边三角形，PD=12，
∴ AP=CD，∠BPD=60°。
∵ ∠CPB=150°，
∴ ∠DPC=∠CPB - ∠BPD=150°-60°=90°，即△PCD是直角三角形。
在Rt△PCD中，由勾股定理得：$CP^2 + PD^2 = CD^2$，
∵ CP=5，
∴ $CD^2=5^2 + 12^2=169$，
∴ CD=13，
∴ AP=13。
答：(1) 点P与点D之间的距离为12；(2) 线段AP的长为13。