已知$M,N$分别为$∠ AOB$(锐角)的边$OA$,$OB$上的两点,把$∠ AOB$沿$MN$折叠,点$O$落在$∠ AOB$所在平面内的点$C$处.
(1) 如图①,若点$C$在$∠ AOB$内部,$∠ CMA=20°$,$∠ CNB=50°$,求$∠ AOB$的度数;
(2) 如图②,若$∠ AOB=45°$,$ON^2=2$,折叠后点$C$在直线$OB$的上方,$CM$与$OB$交于点$E$,且$MN=ME$,求折痕$MN$的长;
(3) 如图③,若折叠后,直线$MC⊥ OB$,垂足为$E$,且$OM=5$,$ME=3$,求此时$ON$的长.
(1) 如图①,若点$C$在$∠ AOB$内部,$∠ CMA=20°$,$∠ CNB=50°$,求$∠ AOB$的度数;
(2) 如图②,若$∠ AOB=45°$,$ON^2=2$,折叠后点$C$在直线$OB$的上方,$CM$与$OB$交于点$E$,且$MN=ME$,求折痕$MN$的长;
(3) 如图③,若折叠后,直线$MC⊥ OB$,垂足为$E$,且$OM=5$,$ME=3$,求此时$ON$的长.
答案：
(1) 因为 ∠CMA = 20°,∠CNB = 50°,∠CMA + ∠CMO=180°,∠CNB + ∠CNO=180°,所以∠CMO=180°-∠CMA = 160°,∠CNO = 180°-∠CNB = 130°. 由折叠的性质,得$∠OMN = \frac{1}{2}∠CMO = 80°$,$∠ONM = \frac{1}{2}∠CNO = 65°$. 又∠AOB + ∠OMN + ∠ONM = 180°,所以 ∠AOB = 180°-∠OMN -∠ONM=35°.
(2) 由折叠的性质,得∠EMN = ∠OMN,所以∠OME=2∠OMN. 因为∠AOB=45°,所以∠MNE=∠AOB+∠OMN=45°+∠OMN. 因为 MN=ME,所以∠OEM=∠MNE=45°+∠OMN. 因为∠AOB + ∠OME + ∠OEM=180°,所以 45°+2∠OMN+45°+∠OMN=180°,即∠OMN=30°. 过点 N 作 ND⊥OM 于点 D,则∠ODN=∠MDN=90°. 所以∠AOB + ∠OND=90°,即∠OND=∠AOB=45°. 所以 OD=DN. 因为$ON^2=2$,$OD^2+DN^2=ON^2$. 所以$DN^2=\frac{1}{2}ON^2=1$,即 DN=1. 所以 MN=2DN=2.
(3) 因为 ME⊥OB,所以∠OEM=90°. 若点 N 在线段 OE 上,如图①. 在 Rt△OEM 中,OM=5,ME=3,所以$OE^2=OM^2-ME^2=4^2$. 所以 OE=4. 由折叠的性质,得 CM=OM=5,CN=ON,所以 CE=CM-ME=2. 在 Rt△CEN 中,EN=OE-ON=4-ON,且$EN^2+CE^2=CN^2$,所以$(4-ON)^2+2^2=ON^2$,解得$ON=\frac{5}{2}$;若点 N 在线段 OE 的延长线上,如图②. 由折叠的性质,得 CM=OM=5,CN=ON,所以 CE=CM+ME=8. 在 Rt△CEN 中,EN=ON-OE=ON-4,且$EN^2+CE^2=CN^2$,所以$(ON-4)^2+8^2=ON^2$,解得 ON=10. 综上,ON 的长为$\frac{5}{2}$或 10.
(1) 因为 ∠CMA = 20°,∠CNB = 50°,∠CMA + ∠CMO=180°,∠CNB + ∠CNO=180°,所以∠CMO=180°-∠CMA = 160°,∠CNO = 180°-∠CNB = 130°. 由折叠的性质,得$∠OMN = \frac{1}{2}∠CMO = 80°$,$∠ONM = \frac{1}{2}∠CNO = 65°$. 又∠AOB + ∠OMN + ∠ONM = 180°,所以 ∠AOB = 180°-∠OMN -∠ONM=35°.
(2) 由折叠的性质,得∠EMN = ∠OMN,所以∠OME=2∠OMN. 因为∠AOB=45°,所以∠MNE=∠AOB+∠OMN=45°+∠OMN. 因为 MN=ME,所以∠OEM=∠MNE=45°+∠OMN. 因为∠AOB + ∠OME + ∠OEM=180°,所以 45°+2∠OMN+45°+∠OMN=180°,即∠OMN=30°. 过点 N 作 ND⊥OM 于点 D,则∠ODN=∠MDN=90°. 所以∠AOB + ∠OND=90°,即∠OND=∠AOB=45°. 所以 OD=DN. 因为$ON^2=2$,$OD^2+DN^2=ON^2$. 所以$DN^2=\frac{1}{2}ON^2=1$,即 DN=1. 所以 MN=2DN=2.
(3) 因为 ME⊥OB,所以∠OEM=90°. 若点 N 在线段 OE 上,如图①. 在 Rt△OEM 中,OM=5,ME=3,所以$OE^2=OM^2-ME^2=4^2$. 所以 OE=4. 由折叠的性质,得 CM=OM=5,CN=ON,所以 CE=CM-ME=2. 在 Rt△CEN 中,EN=OE-ON=4-ON,且$EN^2+CE^2=CN^2$,所以$(4-ON)^2+2^2=ON^2$,解得$ON=\frac{5}{2}$;若点 N 在线段 OE 的延长线上,如图②. 由折叠的性质,得 CM=OM=5,CN=ON,所以 CE=CM+ME=8. 在 Rt△CEN 中,EN=ON-OE=ON-4,且$EN^2+CE^2=CN^2$,所以$(ON-4)^2+8^2=ON^2$,解得 ON=10. 综上,ON 的长为$\frac{5}{2}$或 10.
典例① 已知$m,x,y$均为正整数，且$x≠y$，当$m=x^2+y^2$时，我们称正整数$m$为“可媲美勾股数”，把$x$与$y$的积称为$m$的“勾股值”，用$A(m)$表示，即$A(m)=xy$.例如：$13=3^2+2^2$，$A(13)=3×2=6$，13就是一个“可媲美勾股数”，6是13的勾股值.
（1）下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有（填序号）；
① 5； ② 25； ③ 49.
（2）求$A(65)-A(20)$的值；
（3）已知正整数$m$为“可媲美勾股数”，且满足$18＜m＜60$，$m$的勾股值为$\frac{m-9}{2}$，求$m$的值.
母题分析▶（1）根据定义验证“可媲美勾股数”即可；（2）通过简单练习，进一步理解和运用新定义，熟练运用运算规则；（3）综合分析问题条件，将问题转化为不等式、完全平方公式及代数变形的综合运用.
【答案】（1）①②
（2）因为$20=2^2+4^2$，所以$A(20)=2×4=8$.又$65=1^2+8^2=4^2+7^2$，所以分类讨论如下：当$65=4^2+7^2$时，$A(65)=4×7=28$.所以$A(65)-A(20)=28-8=20$；当$65=1^2+8^2$时，$A(65)=1×8=8$.所以$A(65)-A(20)=8-8=0$.综上，$A(65)-A(20)$的值为20或0.
（3）由题意，设$m=x^2+y^2(x＞y)$，$A(m)=xy=\frac{m-9}{2}$，所以$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=m-2×\frac{m-9}{2}=9$.所以$x-y=3$，即$x=y+3$.所以$m=(y+3)^2+y^2$.因为$18＜m＜60$，所以当$y=2$时，$m=5^2+2^2=29$；当$y=3$时，$m=6^2+3^2=45$.综上，$m$的值是29或45.
（1）下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有（填序号）；
① 5； ② 25； ③ 49.
（2）求$A(65)-A(20)$的值；
（3）已知正整数$m$为“可媲美勾股数”，且满足$18＜m＜60$，$m$的勾股值为$\frac{m-9}{2}$，求$m$的值.
母题分析▶（1）根据定义验证“可媲美勾股数”即可；（2）通过简单练习，进一步理解和运用新定义，熟练运用运算规则；（3）综合分析问题条件，将问题转化为不等式、完全平方公式及代数变形的综合运用.
【答案】（1）①②
（2）因为$20=2^2+4^2$，所以$A(20)=2×4=8$.又$65=1^2+8^2=4^2+7^2$，所以分类讨论如下：当$65=4^2+7^2$时，$A(65)=4×7=28$.所以$A(65)-A(20)=28-8=20$；当$65=1^2+8^2$时，$A(65)=1×8=8$.所以$A(65)-A(20)=8-8=0$.综上，$A(65)-A(20)$的值为20或0.
（3）由题意，设$m=x^2+y^2(x＞y)$，$A(m)=xy=\frac{m-9}{2}$，所以$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=m-2×\frac{m-9}{2}=9$.所以$x-y=3$，即$x=y+3$.所以$m=(y+3)^2+y^2$.因为$18＜m＜60$，所以当$y=2$时，$m=5^2+2^2=29$；当$y=3$时，$m=6^2+3^2=45$.综上，$m$的值是29或45.
答案：解：
(1) 验证各数：
① $5=1^2+2^2$，满足定义，是“可媲美勾股数”；
② $25=3^2+4^2$，满足定义，是“可媲美勾股数”；
③ 49无法表示为两个不相等正整数的平方和，不是“可媲美勾股数”。
故答案为$\boldsymbol{①②}$。
(2) 因为$20=2^2+4^2$，所以$A(20)=2×4=8$。
又$65=1^2+8^2=4^2+7^2$，分两种情况计算：
当$65=4^2+7^2$时，$A(65)=4×7=28$，此时$A(65)-A(20)=28-8=20$；
当$65=1^2+8^2$时，$A(65)=1×8=8$，此时$A(65)-A(20)=8-8=0$。
综上，$A(65)-A(20)$的值为20或0。
(3) 由题意，设$m=x^2+y^2$（$x＞y$，$x,y$均为正整数），且$A(m)=xy=\frac{m-9}{2}$。
由完全平方公式变形得：
$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=m-2×\frac{m-9}{2}=9$
因为$x,y$为正整数，所以$x-y=3$，即$x=y+3$。
代入得$m=(y+3)^2+y^2$。
又$18＜m＜60$，逐一取正整数验证：
当$y=2$时，$m=5^2+2^2=29$，满足条件；
当$y=3$时，$m=6^2+3^2=45$，满足条件。
其余正整数$y$对应的$m$均不满足$18＜m＜60$。
综上，$m$的值为29或45。
(1) 验证各数：
① $5=1^2+2^2$，满足定义，是“可媲美勾股数”；
② $25=3^2+4^2$，满足定义，是“可媲美勾股数”；
③ 49无法表示为两个不相等正整数的平方和，不是“可媲美勾股数”。
故答案为$\boldsymbol{①②}$。
(2) 因为$20=2^2+4^2$，所以$A(20)=2×4=8$。
又$65=1^2+8^2=4^2+7^2$，分两种情况计算：
当$65=4^2+7^2$时，$A(65)=4×7=28$，此时$A(65)-A(20)=28-8=20$；
当$65=1^2+8^2$时，$A(65)=1×8=8$，此时$A(65)-A(20)=8-8=0$。
综上，$A(65)-A(20)$的值为20或0。
(3) 由题意，设$m=x^2+y^2$（$x＞y$，$x,y$均为正整数），且$A(m)=xy=\frac{m-9}{2}$。
由完全平方公式变形得：
$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=m-2×\frac{m-9}{2}=9$
因为$x,y$为正整数，所以$x-y=3$，即$x=y+3$。
代入得$m=(y+3)^2+y^2$。
又$18＜m＜60$，逐一取正整数验证：
当$y=2$时，$m=5^2+2^2=29$，满足条件；
当$y=3$时，$m=6^2+3^2=45$，满足条件。
其余正整数$y$对应的$m$均不满足$18＜m＜60$。
综上，$m$的值为29或45。